“做”出來的數(shù)學(xué)有余聲

王蒙

［摘 要］蟬鳴有余聲，數(shù)學(xué)也有余聲。數(shù)學(xué)的余聲是用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)去實(shí)現(xiàn)問題解決、探尋知識(shí)本源、追覓知識(shí)歸宿。由扶到放，實(shí)現(xiàn)問題解決，這是做；由行到思，探尋知識(shí)本源，這是真做；從思生新，追覓知識(shí)歸宿，這是產(chǎn)生新價(jià)值。

［關(guān)鍵詞］做數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；創(chuàng)新意識(shí)；數(shù)學(xué)余聲

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）26-0093-03

筆者曾見過齊白石先生的《貝葉知了圖》，一張紙上只在三分之一的部分畫了一只抱葉而落的蟬，蟬的旁邊寫著“鳴蟬抱葉落，及地有余聲”，整幅畫有了聲音一般。筆者仿佛看到一只蟬趴在高高的樹梢上，一陣風(fēng)過，蟬隨葉落，葉隨風(fēng)飄，不僅有蟬的聲音，還有落葉的聲音，葉落后，蟬鳴仍在耳邊回蕩。

筆者一直思考：數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)有余聲，什么樣的數(shù)學(xué)課能有余聲呢？

陶行知先生說：“我們要在做上教，在做上學(xué)。拿做來教乃是真教，拿做來學(xué)方是實(shí)學(xué)。在勞力上勞心，一邊做，一邊想，必然產(chǎn)生新的價(jià)值?！睌?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰恰是通過對(duì)素材進(jìn)行數(shù)學(xué)化的操作（做數(shù)學(xué)）來教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、提高實(shí)踐能力、獲得解決問題的方法、提升思維品質(zhì)，說明“做”出來的數(shù)學(xué)確實(shí)有余聲。

一、做：由扶到放，實(shí)現(xiàn)問題解決

由扶到放，是成長的途徑?！胺觥笔侵笇?dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生用最短的時(shí)間獲得數(shù)學(xué)方法?！胺拧笔悄７潞蛧L試，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)方法為基礎(chǔ)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，掌握知識(shí)技能。就如兒童學(xué)走路一樣，需要由扶（家長耐心指導(dǎo)）到放（兒童模仿和嘗試）。“做數(shù)學(xué)”也需要由扶到放，這與陶行知先生“把解決方法的手續(xù)程序安排停當(dāng)，指導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生以最短的時(shí)間，經(jīng)過相類的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)生相類的理想，自己將這個(gè)方法找出來，并解決其他問題”的思想不謀而合。

1.在指導(dǎo)中獲得數(shù)學(xué)方法

正如陶行知先生說的“接知如接枝”，我們必須讓從自己經(jīng)驗(yàn)里生長出來的知識(shí)做根，這樣別人相類的經(jīng)驗(yàn)才能接上去。學(xué)生如果沒有“做數(shù)學(xué)”的經(jīng)驗(yàn)，不會(huì)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，就無法獲得數(shù)學(xué)方法，也不能解決其他問題，何談數(shù)學(xué)的余聲？所以教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”。必須說明的是，這里的“指導(dǎo)”不是指教師完全的包辦，而是指適時(shí)的演示與點(diǎn)撥。

例如，教學(xué)五年級(jí)上冊“平行四邊形的面積”時(shí)，教師用課件演示圖形的轉(zhuǎn)化過程，指出“借助平移將不規(guī)則的圖形變成規(guī)則圖形，這樣的方法就是轉(zhuǎn)化”。又如，教學(xué)蘇教版教材三年級(jí)上冊“軸對(duì)稱圖形”的折紙實(shí)驗(yàn)時(shí)，為了向?qū)W生說明“對(duì)折”，教師邊折紙邊講解，指出“將一張紙的一半折過去，邊對(duì)著邊，就是對(duì)折”。

以上案例中，教師的指導(dǎo)不僅為學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)提供了可能，還在演示和點(diǎn)撥中滲透了“轉(zhuǎn)化”和“對(duì)稱”的數(shù)學(xué)思想方法。

2.在模仿中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

指導(dǎo)是“扶”，模仿就是“扶放結(jié)合”。指導(dǎo)為學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐提供了標(biāo)準(zhǔn)和模板，照這種標(biāo)準(zhǔn)或模板學(xué)著做就是模仿。通過模仿，學(xué)生手腦協(xié)同參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)“再創(chuàng)造”。由此，學(xué)生會(huì)想問題，會(huì)做事情，在學(xué)習(xí)過程中實(shí)現(xiàn)教育目標(biāo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在教學(xué)“平行四邊形的面積”相關(guān)的實(shí)驗(yàn)時(shí)，教師利用課件演示轉(zhuǎn)化的思想方法，學(xué)生通過模仿進(jìn)行動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，將平行四邊形紙片轉(zhuǎn)化為長方形，并通過交流總結(jié)平行四邊形轉(zhuǎn)化前后的共同點(diǎn)。

上述實(shí)驗(yàn)突出了兩個(gè)層次的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一是每個(gè)學(xué)生都經(jīng)歷了將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的探索過程，積累了轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)；二是學(xué)生的交流總結(jié)為接下來的公式推導(dǎo)提供了經(jīng)驗(yàn)和素材。

3.在嘗試中掌握知識(shí)技能

“做數(shù)學(xué)”分為兩種，一種是已經(jīng)知曉數(shù)學(xué)知識(shí)，需要通過個(gè)體不斷嘗試實(shí)現(xiàn)自我構(gòu)建，另一種更為開放，是不知曉數(shù)學(xué)知識(shí)，需要自身探索，在操作、觀察、對(duì)比、推理等活動(dòng)中不斷嘗試與調(diào)整。這兩種“做”都以學(xué)生的嘗試為重要基礎(chǔ)，嘗試的過程不需要教師過多指導(dǎo)，學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐、獨(dú)立思考、合作交流的過程中掌握知識(shí)技能，解決實(shí)際問題。

在教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，學(xué)生先嘗試從給出的4根小棒中任選3根，看能否圍成一個(gè)三角形，并根據(jù)結(jié)果將小棒分類。接著，學(xué)生從小棒長度關(guān)系出發(fā)，嘗試歸納不能圍成三角形的原因及能圍成三角形的規(guī)律。最后，學(xué)生重復(fù)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想。

學(xué)生在不斷嘗試中動(dòng)手操作、觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證，經(jīng)歷知識(shí)生成、再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的過程，掌握知識(shí)技能。

二、真做：由行到思，探尋知識(shí)本源

陶行知提出：“真正之做只是在勞力上勞心，用心以制力。在勞力上勞心，是一切發(fā)明之母。事事在勞力上勞心，便可得事物之真理。”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！睂W(xué)生獲得的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能對(duì)于世間無窮的真理來說，仍是有限的。要想有所提升，學(xué)生就需要學(xué)會(huì)思考，探尋知識(shí)的本源。數(shù)學(xué)學(xué)科是一棵枝繁葉茂的大樹，數(shù)學(xué)的本源是數(shù)學(xué)學(xué)科生長的根本，能給予數(shù)學(xué)學(xué)科源源不斷的養(yǎng)料。數(shù)學(xué)知識(shí)的本源在哪里？就在數(shù)學(xué)的基本原理、基本思想和基本結(jié)構(gòu)中。抓住知識(shí)的本源，才能養(yǎng)好這棵大樹。

1.在說理中明確數(shù)學(xué)原理

教育心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，低年級(jí)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)往往從動(dòng)作表征開始，通過操作積累感性認(rèn)識(shí)。學(xué)生的言物表達(dá)可以有效促進(jìn)自身的思考，通過說一說讓學(xué)生的思考順著正確的、積極的思維方向，能幫助學(xué)生從言物階段逐漸過渡到言理階段，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言說數(shù)學(xué)的習(xí)慣，用語言進(jìn)一步推動(dòng)思維的發(fā)展。

教學(xué)算式“36-8”的計(jì)算原理，教師提問：“結(jié)果是不是28呢？你能用小棒來驗(yàn)證一下嗎？”問題一出，學(xué)生思如泉涌，有的說：“先拿走6根，再從一捆10根中拿走2根，剩下2捆和8根，就是28根?！庇械恼f：“從一捆里直接拿走8根，還剩2捆加2根與原來的6根，就是28根?！边€有的說：“一捆是10根，與6根合起來有16根，從16根中拿走8根，還剩2捆和8根，最后也剩28根?！睂W(xué)生通過說理將新知轉(zhuǎn)化為舊知，他們從數(shù)的本質(zhì)上思考退位減并敘述退位減的算理，在算中說、說中悟、悟中明。

2.在提問中綻放數(shù)學(xué)思想

著名數(shù)學(xué)家弗利德曼說：“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個(gè)特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的。”“好問題”驅(qū)動(dòng)深度思維，精彩的問題都是學(xué)生真實(shí)的心聲，是他們對(duì)問題強(qiáng)烈的思考。

教學(xué)習(xí)題“用6個(gè)5、6個(gè)0組成一個(gè)十二位數(shù)，最多讀幾個(gè)‘零’？”時(shí)，問題一出，學(xué)生眼睛盯著黑板，頭腦在思考。有學(xué)生說：“最多讀5個(gè)‘零’?！苯處熣堖@位學(xué)生到前面講述自己的想法，只見他拿起粉筆在黑板上圈圈畫畫，寫出505005050505，道：“0在5與5中間才讀‘零’，連續(xù)兩個(gè)0只讀1個(gè)‘零’，因此，5與5之間盡量只放1個(gè)0，才能讀出最多的‘零’。又因?yàn)樽钋懊娴臄?shù)字不能為0，導(dǎo)致有連續(xù)兩個(gè)0或0在億級(jí)（萬級(jí)、個(gè)級(jí)）末尾，而0在億級(jí)（萬級(jí)、個(gè)級(jí)）末尾不讀，所以讀5個(gè)‘零’?！彪S即，其他學(xué)生動(dòng)手圈圈畫畫起來，得出“我發(fā)現(xiàn)用這個(gè)思路也可以解決4個(gè)6、4個(gè)0組成的八位數(shù)最多讀幾個(gè)‘零’”“4個(gè)0和其他4個(gè)非0的數(shù)組成八位數(shù)，最多讀出3個(gè)‘零’”等發(fā)現(xiàn)。

課到此處，教師欣喜，這就是模型思想在圈圈畫畫中的悄然滲透。

3.在遷移中凸顯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

皮亞杰指出：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種結(jié)構(gòu)始終是完全開放的。當(dāng)數(shù)學(xué)實(shí)體從一個(gè)水平轉(zhuǎn)移到另一個(gè)水平時(shí)，它們的功能會(huì)不斷改變，對(duì)這類實(shí)體進(jìn)行的運(yùn)演，反過來，又成為理論研究的對(duì)象?！苯Y(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)的基本特征，教數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這種“授之以漁”式的教學(xué)，抓住了數(shù)學(xué)知識(shí)的本源。

在“認(rèn)識(shí)千米”一課的教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生尋找數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生理解知識(shí)間的聯(lián)系。上課前5分鐘，教師回顧學(xué)過的長度單位并歸納它們之間的進(jìn)率，發(fā)現(xiàn)長度單位之間的進(jìn)率都是10，隨后引導(dǎo)學(xué)生想象：“如果繼續(xù)下去，該是什么長度單位？”學(xué)生順勢遷移，提出十米、百米、千米等長度單位。教師板書并揭示：“這些長度單位在數(shù)學(xué)里都是存在的，只不過十米和百米用得不多，千米是國際通用長度單位。”

三、新價(jià)值：從思生新，追覓知識(shí)歸宿

我們不僅要搞清楚“知識(shí)從哪兒來”，還要弄清楚“知識(shí)到哪兒去”，猶如修棧搭橋，確立了起點(diǎn)和終點(diǎn)，便可著手設(shè)計(jì)和規(guī)劃，形成聯(lián)系前后的知識(shí)研究路徑。

筆者曾見過需要十人合抱的大樹，它樹葉繁茂，根莖發(fā)達(dá)。正如前文所述，數(shù)學(xué)學(xué)科就如一棵大樹，要問對(duì)大樹來說最重要的是什么，便是深扎泥土、不斷生長。因此，筆者認(rèn)為學(xué)習(xí)知識(shí)最重要的事是讓知識(shí)成長得更好。如何才是成長得更好？枝繁葉茂式的舉一反三、抽出新芽式的別出心裁、春風(fēng)吹又生式的“新”益求“新”。

1.在自主中舉一反三

孔子說：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也?！边@里的“一”是自己的經(jīng)驗(yàn)，知識(shí)從這里生長。當(dāng)一個(gè)人的行為到達(dá)自主階段，說明他已經(jīng)獲得需要的知識(shí)、技能，并能在勞力上勞心，能從這些經(jīng)驗(yàn)中生長出其他知識(shí)，為創(chuàng)新做好準(zhǔn)備。

在蘇教版教材四年級(jí)下冊“相遇問題”的例題教學(xué)中，教師沒有直接評(píng)講而是先讓學(xué)生自主畫線段圖，通過展示學(xué)生的作品明確畫線段圖需要增加“時(shí)間”這個(gè)條件，并通過交流討論得出線段圖的正確畫法。例題的學(xué)習(xí)基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，成為那個(gè)“一”，而課本中設(shè)計(jì)的“試一試”“練一練”則是新知的“反三”，學(xué)生很快就厘清思路，確定了解題方法。一節(jié)課下來，學(xué)生動(dòng)手的時(shí)間居多，教師只是在旁引導(dǎo)，學(xué)生通過舉一反三弄懂一類問題，學(xué)生學(xué)得開心，教師教得也舒服。

2.在聯(lián)想中別出心裁

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維如果長期處于碎片化狀態(tài)，學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)就會(huì)加重，甚至?xí)饾u喪失學(xué)習(xí)的自信和自主發(fā)展的能力。教師需要適時(shí)的推想，從點(diǎn)狀知識(shí)出發(fā)，聯(lián)系相似的知識(shí)，打破思維定式，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)及線、由線到面的思維建構(gòu)，為創(chuàng)新打開一扇窗。

如在用數(shù)對(duì)確定位置的練習(xí)教學(xué)中，學(xué)習(xí)了“數(shù)對(duì)中第一個(gè)數(shù)字表示列，第二個(gè)數(shù)字表示行”后，學(xué)生聯(lián)想：“第一個(gè)數(shù)字與第二個(gè)數(shù)字相同的數(shù)對(duì)具有怎樣的特征？”于是教師給出數(shù)對(duì)（1，1）、（2，2）、（3，3）等，讓這些位置的學(xué)生站起來。大家發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生都在一條斜線上。隨即，又有學(xué)生聯(lián)想：“數(shù)對(duì)中兩個(gè)數(shù)字之和相同的一組數(shù)對(duì)又有怎樣的特征？”教師抓住契機(jī)，讓在（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6）這些位置上的學(xué)生站起來。大家發(fā)現(xiàn)，這些學(xué)生也是在同一條斜線上。教師不由得在想：今后他們學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)會(huì)聯(lián)想到今天的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的。

在這一過程中，基于行與列分別相同的數(shù)對(duì)的特點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)想，學(xué)生的思維得以發(fā)散，打開函數(shù)思想的新世界，為學(xué)生的創(chuàng)造學(xué)習(xí)打開了一扇窗。

3.在創(chuàng)造中“新”益求“新”

數(shù)學(xué)源于生活而又用于生活，要使學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問題時(shí)能自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，教師就要以課堂教學(xué)為契機(jī)，根據(jù)學(xué)生的能力水平，引導(dǎo)學(xué)生從參與者變?yōu)樵O(shè)計(jì)者。學(xué)生在自我設(shè)計(jì)中加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，這種設(shè)計(jì)的思維是生生不息的，能源源不斷地產(chǎn)生新的東西，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)自我超越和自我頓悟，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。

如在“多邊形內(nèi)角和”的教學(xué)中，教師基于課題引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的圖形，如三角形、四邊形等，著眼于已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形內(nèi)角和，提出問題：“要知道任意一個(gè)多邊形的內(nèi)角和，有什么好辦法？”學(xué)生獨(dú)立思考后，設(shè)計(jì)出研究思路：從特殊的圖形開始研究，看看有什么規(guī)律，再用這一規(guī)律解決問題。從簡單圖形入手探索規(guī)律，是從特殊到一般的研究思路，是學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)的體現(xiàn)。

“做數(shù)學(xué)”不但要做，還要做好。怎樣做才叫好？一邊行一邊想就會(huì)越做越好，這樣的做是真做。“真做”源源不斷，思想就會(huì)生生不息。生生不息的“思”催生思維上的頓悟，必定產(chǎn)生新價(jià)值，這種新價(jià)值也是源源不斷，生生不息的?！白觥背鰜淼臄?shù)學(xué)不僅教會(huì)學(xué)生顯性的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，還讓學(xué)生獲得“帶得走”的數(shù)學(xué)思想和創(chuàng)新意識(shí)。做上行，行上思，思出新，做出來的數(shù)學(xué)有余聲。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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[3] 周衛(wèi)東.有“核仁”的數(shù)學(xué)課[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（06）：39-40.

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（責(zé)編 楊偲培）