立足概念教學，培育核心素養

李艾

【摘要】核心素養的發展打破了傳統的教育理念與課堂模式，數學核心素養包含以下六大方面：邏輯推理、數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。在高中數學概念教學中，尤其需要重視對學生的核心素養的培養。本文以《三角函數的概念》為例，借助課堂實錄，以問題串的形式闡述了如何設計合理的教學方案，把握教學內容的本質，逐漸滲透數學素養。

【關鍵詞】高中數學;核心素養;概念教學;三角函數的概念;教學設計

數學教育基本理念是“以學生的發展為本，立德樹人、提升學生的核心素養，培養學生的科學精神和創新意識，實現不同學生的不同發展，培養具有終身學習能力、適應社會需要的人才”，數學的本質實際上是數學知識的內在聯系、數學規律的形成過程、數學思想方法的提煉以及數學理性精神的體驗，教師通過問題的驅動引導學生在課堂中通過活動探究分析、解決問題，學生在活動的探究過程中，通過體驗數學知識的形成過程，體會數學原理的理性精神和科學精神，并在知識的探索過程中逐步摸索其中包含的數學思想方法、數學研究工具，掌握和理解數學的本質，提高學生學習的能力，最終實現學生發展。因此，在數學課堂中通過問題的驅動，使學生在知識自然生成中掌握數學的本質是有效而合理的教學方法，這個教學模式也可以為現在的數學教育改革找到新的方向。

筆者實錄了“三角函數的概念（人教A版2019） ”一課，對教學進行分析評價，加深學生對“三角函數的概念”的理解，培養學生的學習能力，從而實現學生的素養的發展。

一、課堂實錄（節選片段）

1.在活動中完成數學抽象

創設情境，提出問題1：深圳美麗的“灣區之光”，坐落在深圳的前海灣之畔，半徑約56米，轉動一圈約36分鐘。當摩天輪一圈又一圈重復轉動時，上面的轎廂就在做周而復始，循環往復的運動。現已知某游客乘坐在客艙P，從距離地面最近的位置A出發，轉盤逆時針方向勻速旋轉。如何刻畫（描述）摩天輪中客艙P的位置變化？

師生活動：在教師的引導下得出摩天輪上座艙P的運動可以近似看做質點在做圓周運動。

設計意圖：通過自然而真實的問題讓學生感受三角函數的實際背景。引導學生從數學建模的角度研究運動、變化規律，學會用數學的角度看世界，體現三角函數概念引入的必要性，為抽象三角函數做準備。

2.在活動中建成數學模型

問題2：如下圖所示，圓O上的點P以A為起點，做逆時針方向旋轉。用哪些變量刻畫（描述）點P的位置變化？

師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行交流，得出描述點P的變量有圓的半徑，圓的位置，角速度、時間、角a的終邊位置、點P的坐標等。

追問：當確定圓心和半徑后，P點的位置是否由角a的終邊唯一確定呢？

設計意圖：通過逐步引導學生篩查變量，最終確定刻畫點P的變量為角a、點P的坐標，讓學生在此活動中體驗數學建模過程中尋找變量——篩查變量環節。

問題3：單位圓O上的點P以A為起點，做逆時針方向旋轉。能否建立一個函數模型刻畫（描述）點P的位置變化？

追問1：什么是函數？

追問2：根據圓的對稱性該如何建系呢？

問題4：如何把角a與點P（x，y）的坐標的對應關系轉化到數集到數集的對應關系呢？

師生活動：對于R中的任意一個角a，它的終邊OP與單位圓交點為p（x，y），無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的。這里有兩個對應關系：f ：實數a（弧度）對應于點P的縱坐標y;g ：實數a（弧度）對應于點P的縱坐標x。

設計意圖：通過問題鏈引導學生逐步尋找到合適的變量來刻畫“周而復始”的勻速圓周運動，體會數形結合思想方法，學習用數學的思維思考世界。

3.在已有的數學現實上構建概念

例1：根據“點P的縱坐標y，橫坐標x都是角a的函數”的關系，求f（a）、g（a）.

設計意圖：通過實例運算，幫助學生進一步理解“角的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標都是圓心角a（弧度）的函數”，并引出三角函數的定義。

問題5：任意角三角函數與初中所學銳角三角函數的區別與聯系是什么？

設計意圖：找到銳角三角函數與任意角三角函數的區別與聯系，使學生體會兩個定義的相融性。

4.在計算中進一步深化概念

例2：已知角a終邊上的點，求角a的正弦、余弦和正切值。

師生活動：提問學生，教師再總結出從定義出發求三角函數值的步驟，并得出最終答案。

設計意圖：通過對三角函數概念的簡單應用，理解用定義求三角函數值的基本步驟，進一步深化定義的內涵。

問題6：已知角終邊上的任意一點，如何求它的三角函數值？

變式1：已知角a的終邊經過點p（-12，5），求角a的正弦、余弦和正切值。

變式2：已知角a的終邊經過點p（x，y），求角a的正弦、余弦和正切值。

師生活動：1.教師引導學生根據定義作圖表示sina、cosa、tana;2.學生觀察所做的圖形，找出點P的橫縱坐標與sina、cosa、tana的關系，并寫出相應答案。由變式1的特殊情況引導學生觀察分別表示什么，并找到它們與任意角a之間的關系。3.學生給出相應的證明。

設計意圖：通過分析題目，引導學生找到兩個三角形，并利用它們的相似關系，通過三角形的定義來證明，深化學生對定義的理解，讓學生從另一個角度來理解三角函數的定義，培養學生的直觀想象和邏輯推理素養。

5.在小結提升中，形成結構

師生活動：學生回答下列問題：三角函數的概念是什么？三角函數是用來刻畫“周期運動”的函數模型，你能從定義中體會到這一點嗎？知道角終邊上的點如何求三角函數值？在建構三角函數的概念過程中，我們采用了怎樣的探究過程與方法？5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C

設計意圖：學生通過回顧本節課構建的知識和應用的方法，積累研究數學問題的方法與活動經驗，學會學數學。

二、感悟結語

本節課的指導思想是從發展學生的核心素養出發，將任意角三角函數的概念課作為載體，使數學抽象的三個階段真正落實在課堂教學中。以“如何描述周期現象”為出發點，讓學生體驗“周期現象——圓周運動——單位圓上質點的旋轉運動”，明確研究對象，形成第一次抽象;分析變量，鎖定變量，找出變量的對應關系，形成第二次抽象;最后給出定義，用數學的符號語言加以表達，完成第三次抽象。

在學習三角函數概念之前，學生已經對函數的一般概念、冪函數、指數函數及對數函數有一定的認知和研究。這些認知準備對分析“周而復始”運動變化中涉及的量及其關系、認識其中的對應關系并給出定義等都能起到引導作用。但是，之前學習的基本初等函數，涉及的變量比較少，解析式都有明確的運算定義，在三角函數中，影響單位圓上點的坐標變化的因素較多，對應關系不是代數運算關系，是“a與x，y 直接對應”，是不需要計算的。雖然角a，x，y都是實數，實際上是“幾何元素之間的對應關系”。因此，三角函數中的這種對應關系，與學生的已有經驗認知相差較大，由此產生了一大難點就是理解三角函數的對應關系，包括影響單位圓上點的位置的變量篩查和對三角函數的對應關系的理解。

為了突出重點，突破難點，在本節課的教學中，筆者設定了這樣的邏輯主線：1.情境鋪墊出來的第一步就是研究在圓周運動中，點P位置的刻畫;2.模型構建過程的因素分析，通過變量篩查和分析，鎖定角度和坐標刻畫點P;3.怎樣建立角度與坐標的函數關系。

通過本節課，筆者認為，數學的本質是數學學習的核心，在數學教學中教師應瞄準學生如何“學習”，而不是把知識直接呈現給學生，讓學生參與到課堂，喚醒學生的思考能力，讓學生在探究思考的過程中能夠理解知識的生成過程，體會到數學學習的方法、工具，從而培養學生的學習能力。

參考文獻：

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[2]鄭夢華.促進自然生成 凸顯數學本質——以“三角函數的概念”教學為例[J].中學教學研究，2021（11）.

[3]宋扣蘭.基于發展學生核心素養的高中數學核心概念教學設計研究[J].數理化解題研究，2021（33）.

責任編輯? 鐘春雪5FD3B7F4-E4D7-438E-ABC8-CB991A41398C