小學數學教學滲透模型思想的實踐策略

任學紅

[摘? 要] 《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。”小學數學教學中模型思想的滲透就是要讓學生經歷從實際情境中抽象出數學問題、解決問題的過程，使學生初步形成模型思想，這是現代教育理念對數學教學的必然要求，也是培養學生數學結構性思維的重要方式。數學學習只有深入“模型”“建模”的意義，才是一種真正的數學學習。

[關鍵詞] 小學數學;模型思想;教學策略;核心素養

史寧中教授說：“模型思想是2011版課標提出的十個核心概念之一，是一種數學的基本思想。”數學模型是用數學語言概括性地描述事物特征、空間形式及數量關系的一種數學結構。小學數學中的數學模型主要包含用字母、數字或其他數學符號表示的代數式、函數、方程及各種圖形、圖表等。數學的本質就是在不斷抽象和概括的過程中豐富與發展起來的，構建數學模型，就是運用數學思想方法、知識與技能去解決問題。在建模的過程中，教師可以培養學生的數學應用意識，有效提升學生的數學素養，幫助學生在深刻理解知識的同時，讓數學思維走向深刻。

一、建模的基礎：精選問題，創設情境

數學建模的過程，就是通過建立模型的方法來解決實際問題的數學活動過程。而數學模型都是具有生活背景的，這也是數學建模的基礎，因此，模型的建立應該基于具體的現實生活，通過創設問題情境的方式，喚起學生對知識的渴望與追求，讓學生經歷從生活原型問題逐步抽象到數學問題的過程，從而學會運用建模的方法來解決問題。

以教學“路程、時間與速度”為例，本節課教學的重點在于如何引導學生構建路程、時間與速度三個量之間的函數模型。為了能調動學生的學習興趣，在導入環節中，筆者創設了如下問題情境：

情境1：第一場比賽

師：在一次體育課上，米小圈、鐵頭和姜小牙因為誰跑得快的問題爭論不休，于是肌肉老師為他們舉行了一場50米的比賽，比賽結果如表1所示。

師：從表1的數據中，你可以得到哪些信息？

生1：我發現他們三人的路程一樣，但時間不一樣。

生2：我發現鐵頭跑得最快，因為他只用了8秒。

師：那也就是說，在路程相等的情況下，比快慢只需要比時間多少就行了？

情境2：第二場比賽

師：肌肉老師和鐵頭又來了一場比賽，其比賽結果如表2所示。

生3：我覺得還是鐵頭跑得快，因為他和肌肉老師雖然都只用了8秒，但是鐵頭跑了50米，比肌肉老師的48米要多。

師：如果時間相等，比快慢只需要比路程多少就行了？

情境3：第三場比賽

師：如果鐵頭和肌肉老師的用時不同、路程也不同時，如何才能分出他們誰快誰慢呢？（如表3）

生4：我認為可以比速度。肌肉老師的速度為48÷8=6（米/秒），鐵頭的速度為50÷10=5（米/秒），所以肌肉老師更快。

在這一環節中，筆者結合學生生活中比較熟悉的“米小圈”這一人物形象和體育課中的比賽活動，創設了跑步比賽的問題情境，同時，將不同的數據巧妙地融入問題情境中，讓學生由淺入深，逐步感受到跑得快或慢與時間和路程有關。當時間不同、路程也不同時，就需要運用求速度的數學模型“路程÷時間=速度”來判斷，這樣學生的建模意識也就慢慢形成了。

二、建模的關鍵：去偽存真，揭示本質

數學建模的過程，就是引導學生對問題進行抽絲剝繭，發現數學本質，并構建模型的過程，也是進行數學化和再創造的過程。在課堂教學中，教師應給予學生充分的時間，讓他們自主地進行觀察、實驗、操作、比較、分析、概括，最終從具體的問題中抽象出數學模型，并用數學語言進行描述或刻畫，這也是數學建模最為關鍵的一個環節。

以教學“乘法分配律”為例，為了讓學生從千變萬化的數學問題中抽象出其不變的數學本質，即“乘法分配律”，筆者在課堂中設計了以下教學環節：

環節1：數形結合，建立等式

PPT出示圖1，并提問：小劉家準備裝修，客廳和餐廳鋪地磚，請問小劉一共需要購買多少塊地磚？

生1：我是這樣分步計算的，首先算出客廳需要的塊數10×5=50（塊），然后算出餐廳需要的塊數3×5=15（塊），最后計算總和50+15=65（塊）。

生2：我是合起來計算的，10×5+3×5=65（塊），直接得到地磚總數。

生3：我把客廳和餐廳的兩個圖拼接在一起，發現行數是5，列數是13，所以地磚的總數為（10+3）×5=65（塊）。

師：你們覺得這些方法有什么不同之處嗎？

生4：一種是分開算，一種是合起來算，但計算結果都是一樣的。

對于學生給出的結論，筆者并未急于評價，而是繼續設計了第二個環節，幫助學生抽絲剝繭，理解乘法分配律的數學本質，并提煉出其數學模型。

環節2：抽絲剝繭，理解本質

圖2為書房和臥室的平面圖，請你幫小劉計算下書房和臥室的面積一共是多少？

生5：4×6+5×6=54（平方米）。

生6：（4+5）×6=54（平方米）。

師：生6，為什么可以這樣計算呢？

生6：因為我發現書房和臥室都是長方形，而且他們的長都為6，所以我按照剛才生3的方法，將兩個長方形拼接在一起，這樣就只需要將它們的寬相加，再乘以6就可以算出總面積。

師：不錯。小劉準備去買地磚和墻磚了，如果地磚需要買40塊，每塊50元;墻磚需要買20塊，每塊60元。購買兩種瓷磚一共需要多少元？

生7：我認為可以合起來算，（20+40）×（60+50）=6600（元）。

生8：我認為地磚和墻磚的價格不一樣、塊數不一樣，不能這樣計算，應該是分別算出地磚和墻磚的錢然后相加，20×60+40×50=3200（元）。

師：現在出現了不同的意見，那么究竟誰對誰錯呢？首先我們來看看到底能不能合起來計算。如果用長方形的長表示瓷磚的價格，寬表示購買瓷磚的數量，那么，兩個長方形的面積表示什么呢？

生9：第一個長方形的面積表示墻磚的總價，第二個長方形的面積表示地磚的總價。

師：那現在你們覺得能不能合在一起計算呢？

生10：不能，兩個長方形的長和寬都不相同，不能合成一個大的長方形進行計算。

師：那如果想要合起來計算，可以怎么做呢？

生11：可以將價格改成一樣的。

生12：也可以將購買的數量改成一樣的。

相較于其他運算律，乘法分配律是學生最易混淆、犯錯的地方，這是由于其結構更復雜、意義更隱蔽、表達更抽象造成的。為了幫助學生更好地突破這一難點，在本節課的教學中，筆者從學生熟悉的方格計算入手，將面積、價格、總塊數等一些毫不相干的問題串聯起來，讓學生通過逐層抽絲剝繭，發現其數學計算的核心本質，建立起乘法分配律的數學模型，以此深化學生對乘法分配律的理解和認知，進而促使學生的思維水平發生質的飛躍。

三、建模的延伸：舉一反三，遷移運用

數學教學中滲透模型的最終目的是讓學生能夠運用所構建的模型，解決生活中的實際問題，一方面讓學生充分體會到數學模型在生活中的實際應用價值，另一方面培養學生舉一反三、學以致用和解決問題的能力，并促使學生的低階思維逐漸向高階思維漫溯。

以教學“植樹問題”為例，“人們在全長100米的小路邊植樹，每隔5米栽種一棵樹，兩端都要栽，一共需要栽種多少棵樹？”在構建模型環節，筆者引導學生將問題中的100米改為10米、15米、20米……再結合線段圖，在直觀理解的基礎上找到規律，從而得出“植樹棵樹=間隔數+1”的數學模型。為了能促進學生進一步理解這一數學模型，筆者繼續設計了遷移運用環節，幫助學生鞏固與內化知識。

師：如圖4所示，假設現有10朵蘑菇，那么有多少朵花呢？

生1：根據植樹問題的數學模型，我認為可以把花當作是樹，這樣就需要兩端都栽樹，所以花的朵數應該為間隔數+1，也就是蘑菇的朵數+1=11（朵）。

生2：我覺得也可以把蘑菇當作是樹，那么花就變成了蘑菇之間的間隔數，由于兩端不需要栽樹，所以花的朵數應該為蘑菇朵數-1+2，同樣是11朵。

師：生1和生2的做法都對，雖然思路不一樣，但是殊途同歸，結果是相同的。事實上，在我們的日常生活中還有很多問題可以利用植樹問題的數學模型來解決，你們知道有哪些嗎？

生3：我覺得鋸木頭的問題可以用植樹模型來求解，比如，將一根木頭鋸成6段，需要鋸幾次？如果將鋸的次數看作是樹，那么兩端都不需要種樹。因此，需要鋸的次數為鋸的段數-1=6-1=5（次）。

生4：還有爬樓問題也可以用植樹模型來解決。

……

通過遷移運用這一環節，教師加深了學生對植樹問題數學模型的理解和運用，讓他們學會舉一反三、遷移運用，促進了學生模型思想的形成。

數學的核心問題，就是數學的建模與用模的問題。在解決數學問題的過程中，建模也是一種有效的方法，它可以幫助學生梳理條件、降低思考難度、提高思考效率。因此，教師應引導學生經歷觀察、思考、歸類、抽象與總結的過程，逐步培養學生數學建模的思想、方法，使學生形成良好的思維習慣和用數學的能力，增強應用意識，提升數學能力和數學素養，為他們的終身學習、可持續發展奠定基礎。