深度探究 提升實效

徐彩鳳

［摘? 要］ 基于深度學習的數學探究活動促使學生主動參與、積極體驗、深入思考，它指向發展學生的高階思維，培養學生創新意識和實踐能力.文章以“用向量法研究三角形的性質”為例，結合教學實踐探討數學深度探究活動教學策略.

［關鍵詞］ 深度探究；核心素養；教學策略；向量法

2019年6月，《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中指出：深化課堂教學改革，要注重加強課題研究、項目設計、研究性學習等跨學科綜合性教學，認真開展驗證性實驗和探究性實驗教學.數學探究是深化數學課堂教學的重要抓手之一，在發展學生認知能力、思維發展和創新意識上起著重要作用.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》也指出：數學探究所涉及的數學素養的發展具有連續性和階段性.教師應整體設計探究活動，引導學生從模仿到自主，從局部到整體，經歷“選題、開題、做題、結題”的活動過程，積累發現、提出、分析和解決問題的經驗，積累獨立思考和合作交流的經驗. 然而在數學探究活動實踐中，不少教師對待探究活動只是走過場，“淺層探究”的課堂現象層出不窮. 因此如何開展數學深度探究活動是廣大一線教師必須面對的問題. 數學深度探究是一種讀懂學生、立足教法、根植教材的活動，關注學生的深層動機、切身體驗、深度理解、高階思維、遷移應用［1］. 本文結合《人教A版普通高中教科書·數學（必修第二冊）》中的數學探究“用向量法研究三角形的性質”（第二課時），對數學深度探究活動的模式、策略進行初步探討.

[?]緊扣教學本質，確定素養導向學習目標

向量是溝通幾何和代數的橋梁，通過向量運算來發現和證明圖形性質是打破傳統綜合法證明幾何問題的有力抓手，提供了幾何運算推理的新途徑，體現了向量法的程序性和普適性.平面向量是體現“數”與“形”融合的重要載體，用向量法研究三角形的性質蘊含著典型的數形結合思想方法：由形到數（向量表示）→數的運算（向量運算）→由數到形（向量到形）［2］.

在平面幾何中，學生已研究過三角形，知道了三角形的一些基本性質，但他們所掌握的三角形知識有限，對三角形的認識還不夠深入，例如他們對三角形的外心、中線、重心、角平分線、內心、高、垂心等只有初步認識.在第一課時中，采用“三步曲”，通過向量運算、邏輯推理，重新證明了已學的三角形性質（中位線定理、直角三角形的中線等于斜邊的一半等）. 在采用向量法證明三角形的三條中線交于一點的過程中，得到了初中數學教科書中沒有涉及的一個重要性質——三角形的重心是中線的三等分點，從而體驗了向量法在解決幾何問題中的優勢，同時簡單經歷了課題探究活動的四個環節——選題、開題、做題與結題.因此，以三角形為研究對象，用向量法對它的性質進行再研究，可以使學生在已有認識的基礎上，更系統地掌握三角形的性質，積累“研究—個幾何對象”的活動經驗，進一步了解研究一個幾何圖形的內容、路徑、方法等，加深理解向量法在研究幾何問題中的作用.

基于以上分析，確定素養導向下的學習目標：

（1）通過向量法深入研究三角形的性質，體驗數學探究的過程和方法，在得到一些三角形性質并撰寫和交流研究報告的活動中，培養應用數學抽象、直觀想象等思維方式發現和提出有意義的數學問題的能力.

（2）通過合作交流發現和提出問題，探索和表述論證過程，培養有邏輯地表達和交流的能力.

（3）積累數學活動經驗，提升數學抽象、邏輯推理、數學運算和直觀想象等素養.

策略解讀：教師設計深度探究活動時，要對教材及數學課程標準進行整體性、系統性的研讀，深度挖掘探究內容.分析學生的認知起點和認知經驗后，再對探究內容進行選擇，確定適合學生的學習任務，確保學生能夠產生深層動機，主動去挑戰困難、克服困難.

[?]整體設計活動，聚焦引領性學習主題

全班分為四個小組，第一小組：三角形邊角要素（角與角、邊與邊、邊與角）之間關系的探究；第二小組：三角形高線性質的進一步探究；第三小組：三角形中線性質的進一步探究；第四小組：三角形角平分線性質的進一步探究.由于這是第一次放手讓學生自主探究，有別于課堂上對某個具體問題的探究活動，這是一個全新的挑戰，時間長達一周.學生在發現和提出問題、如何進行研究等方面面臨困惑，教師需要實時跟蹤并進行必要的指導. 學生通過自我研討、小組討論、教師指導獲得了相應的效果，在此選取第二、第三、第四小組在課堂上的表現展示如下：

1. 探究問題1：三角形高線性質的進一步探究（由第二小組完成）

如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，則·=0①.

將向量恒等式=+代入①式得（+）·=0，即

2+

·

·cos（π-B）=0，化簡得BC2=BD·AB.同理，把=+代入①式得AC2=AD·AB. 考慮到=+，=+，同時代入①式得CD2=AD·BD. 于是得到以下結論：

結論1：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.此結論稱作直角三角形射影定理，又稱為歐幾里得定理.

如圖2所示，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. AD，BE，CF分別是邊BC，AC，AB上的高，在+=的兩邊同時點乘，得到2+·=·，即c2+accos（π-B）=bccosA，化簡得acosB+bcosA=c. 于是得到以下結論：

結論2：ccosB+bcosC=a，acosC+ccosA=b，acosB+bcosA=c. （射影定理）

設AD，BE和CF相交于點O，則O是△ABC的垂心，有·=0，·=0，·=0，即·（-）=0，·（-）=0，·（-）=0，整理后得以下結論：

結論3：O是△ABC的垂心?·=·=·.

在此過程中，教師引導學生發現“化斜為直”是研究三角形的基本思路，因此研究三角形的高線從直角三角形入手，抓住·=0進行向量恒等式代換運算得到新的結論.而對于一般的三角形來說，要得到邊的關系，嘗試在+=的兩邊同時點乘或或得到新的結論，使學生經歷從特殊到一般的探究過程.

2. 探究問題2：三角形中線性質的進一步探究（由第三小組完成）

如圖3所示，在△ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，O是△ABC的重心，用向量法可以得到以下結論：

結論1：=2，=2，=2.

已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，將中線對應的向量=（+）兩邊平方得2=（+）2=（c2+2bccosA+b2），再由余弦定理通過變形得

2=（2b2+2c2-a2），于是有以下結論：

結論2：中線長AD=.

結合三角形回路++=0，將三條中線對應的向量=（+）， =（+），=（+）相加，發現正好構成兩個三角形回路，于是得到以下結論：

結論3：++=0.

由結論1得=，=，=，將其相加并結合結論3得到以下結論：

結論4：O是△ABC的重心?++=0.

重心是特殊點，對于其他點，它與三個頂點形成的向量會有怎樣的關系呢？于是嘗試著任取一點P，得++=（+）+（+）+（+）=3. 于是有以下結論：

結論5：對于任意一點P，++=3. （O為△ABC的重心）

對比結論4和結論5，發現結論4是結論5當點P與點O重合的特殊情形，即實現了從特殊到一般的轉變. 另外，結合結論1和結論4可得以下結論：

結論6：++=0.

由結論6得到O也是△DEF的重心，于是對于任意一點P，有++=3，結合結論5可得以下結論：

結論7：++=++.

以上7個結論由回路定理出發，得出一系列關于中線向量形式的結論.

設A（x，y），B（x，y），C（x，y），O（x，y），由++=0得（x-x，y-y）+（x-x，y-y）+（x-x，y-y）=（0，0），即（x+x+x-3x，y+y+y-3y）=（0，0），所以3x=

x

+x

+x，

3y=y

+y

+y.于是得到以下結論：

結論8：重心O的坐標為

，

.

3. 探究問題3：三角形角平分線性質的進一步探究（由第四小組完成）

如圖4所示，在△ABC中，角A的平分線AD交BC于點D，則可得以下結論：

結論1：（角平分線的向量形式）=λ

+

.

設=k，則-=k（-），即=+.結合角平分線的向量形式可得AB=AC，即AB=kAC. 于是可得以下結論：

結論2：=（角平分線定理）.

如圖5所示，在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.AD，BE，CF分別是角A，B，C的平分線，AD，BE，CF相交于一點O，則稱O是△ABC的內心.

由角平分線定理得==，則=，所以=. 又BO是△ABC的角平分線，則===，所以=.即==+=+（-）=+. 于是有以下結論：

結論3：O是△ABC的內心?a+b+c=0.

策略解讀：在長達一周的小組合作交流中，學生的探究熱情達到了空前高峰. 在此過程中，學生通過發現問題、提出問題，在組間不斷進行嘗試，在思維碰撞中親身經歷發現和建構知識的過程，切身體驗后再進行思考和總結，實現了深度探究.

[?]突出問題導向，做好難點突破

數學探究是以一類問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動.設計好的問題有利于激發學生的參與度，能循序漸進地將新知識建構到認知結構中，做好難點突破，達到深度理解. 例如角平分線組（第四小組）在開始探究時遇到了不少困難，于是教師設計了以下三個問題啟發學生思考：

問題1：類比中線的向量形式，角平分線是否也可以用向量形式表示呢？

問題2：三角形的角平分線平分頂角，那么它的邊之間有什么數量關系呢？

問題3：三角形的角平分線的交點叫做內心，內心與三個頂點有什么關系？你能類比垂心和重心寫出內心關于向量，，的表達式嗎？

[?]延伸和拓展，發散學生的思維

如圖6所示，在△ABC中，A′，B′，C′分別是邊BC，CA，AB的中點，故將△A′B′C′稱為△ABC的“中位三角形”. 已知G，H分別是△ABC的重心和垂心，O是△ABC的外心，也是△A′B′C′的垂心. 圖中蘊含著非常豐富的三角形性質，從線共點、點共線、邊的關系、角的關系、長度、面積等不同角度入手，發現和證明這些性質.

策略解讀：引入著名的“歐拉定理”，即三角形的外心、重心、垂心三點共線（稱為歐拉線），且=. 學生先直觀感知“三心”之間的關系，大膽猜想結論，再借助幾何畫板初步驗證，最后進行嚴謹證明.這樣處理是為了發展學生的高階思維能力，提升其直觀想象能力和邏輯推理能力，進一步感受向量法解決平面幾何問題的本質，形成“直觀感知—操作確認—思辨論證”的數學探究思想.

[?]多元探究評價，鞏固探究成果

當學生完成探究后，由教師評價并組織學生自評、互評.數學探究活動強調多元評價，通過多元評價，可以使學生積累探究活動經驗，學會如何提出觀點，如何發表意見，如何開展團隊合作，從而培養學生的探究能力和數學素養，并激勵學生以更加飽滿的熱情投入新的數學探究活動提升探究效果，鞏固探究成果.

為了使本次的數學探究活動更具延伸性，教師設計了以下課后探究思考題：

（1）請查找平面向量“奔馳定理”相關資料，深入探究三角形“四心”的向量表達式；

（2）你還有更多的發現嗎？你能用向量法研究多邊形的性質嗎？

綜合上述深度探究實踐活動，構建了數學深度探究模式圖（如圖7所示）.

總之，數學探究活動是綜合性的實踐活動，是綜合提升學生的數學核心素養的有效載體.每一個參加數學探究活動的學生都應該自己主動發現、提出、分析、解決問題，這正是時代需要的問題意識、創新精神和實踐能力［3］.教學中要認真落實修訂版課程標準對數學探究的要求，設計素養導向下的學習目標，確定學生自覺發展的最近發展區，提供恰當的教學材料，幫助學生“親身”經歷知識的發現和建構過程［4］，從而發展學生的無限創造力.

參考文獻：

［1］? 彭玉潔，虞秀云. 讓深度探究促發數學思考——以“直線與平面垂直的判定”為例［J］. 數學教學通訊，2021（03）：24-26.

［2］? 陳利利，張曜光. “用向量法研究三角形的性質”教學設計、教學反思與點評［J］. 中學數學教學參考，2020（13）：24-30.

［3］? 張艷嬌. 談“數學建?；顒优c數學探究活動”如何在教科書中落實——以人教A版高中數學教科書為例［J］. 中學數學雜志，2020（09）：1-7.

［4］? 郭華. 深度學習之“深”［J］. 新課程評論，2018（06）：11-16.