回歸數學教材 重視習題探究

袁濤 賀文

［摘? 要］ 教材是實現課程目標、實施課堂教學的重要資源，高考中的很多試題都是來自教材習題的變式與重組. 文章以教材為“源”，通過對一道圓錐曲線練習題的探究與猜想，總結出“雙k法”的一般性結論能夠廣泛應用于“弦中點”類問題求解. 學生在習題的探究過程中可以深化對問題的理解，實現對問題本質的認識，如此方能實現數學的發展.

［關鍵詞］ 數學教材；習題探究；圓錐曲線；弦中點

[?]問題背景

隨著新一輪課程改革的穩步推進，“多考一點想，少考一點算”逐漸成為命制高考數學試題的一條基本理念，更多以能力立意命制的試題出現在學生的面前. 這既是立足于培養學生具有終生發展的必備品格與關鍵能力，也是使得學生從標準答案與題海戰術中解放出來的關鍵. 源于教材，高于教材，是高考試題的真實寫照［1］. 回歸教材，回到課本，是遵循教育規律、辦好教育的根本所在. 數學教材為學生的學習活動提供了主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標，實施數學教學的重要資源［2］. 同時，教材是制定教學大綱和高考考試大綱的基本依據，只需稍微注意，不難發現近幾年的數學高考試題都有不少源于教材本身的一些題目，這些試題所呈現出的“樣貌”是教材中的例題、習題的變式與重組. 可見，教材中的試題值得教師和學生深入研究，并且具有多數練習資料所不能比擬的作用. 深度挖掘教材中的習題，避免機械重復的試題訓練，是減輕教師負擔、減少師生學習壓力、學生深度掌握知識的有效途徑.

文中筆者以橢圓章節的一道練習題為伊始，通過對該習題進行探究發現，從題目中得出的結論能夠廣泛應用于圓錐曲線“弦中點”類問題求解，且在圓與雙曲線章節中存在同類型題目，反映出了試題的解法源于教材、高于教材且應用于教材的特點. 因此，筆者特別整理了此問題，同大家分享.

[?]“源”題呈現

題目1 （新人教A版高中數學教材第116頁“拓廣探索”第14題）已知橢圓+=1，一組平行直線的斜率是.

（1）這組直線何時與橢圓相交？

（2）當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.

分析：本題第（1）問研究的是直線與曲線的交點問題，因此只需設出直線方程并聯立橢圓方程，消去一個未知量，根據一元二次方程有兩解的情況即可求解. 這也是解決交點問題的常規思路. 第（2）問是“弦中點”問題，一般采用的方法是“點差法”；而本題中的直線斜率已知，因此可以根據第（1）問的直線與曲線聯立后的結果更快地得出答案.

解析：（1）設這一組平行直線的方程為y=x+m，將直線方程代入橢圓方程，可得9x2+4

x+m2=36，整理得18x2+12mx+4m2-36=0. 由直線與橢圓相交可得判別式Δ>0，因此144m2-72（4m2-36）>0，解得-3

（2）證明：由第（1）問中的直線方程與曲線方程聯立后可得18x2+12mx+4m2-36=0，則兩根之和x+x=-=-m，因此可得弦中點的橫坐標x=-m；由直線y=x+m可得弦中點的縱坐標y=m. 因此弦中點的坐標為

-m，m

. 由

x=-m，

y=m，消去m可得y=-x，則這組平行直線被橢圓截得的線段的中點在直線y=-x上.

反思：求解第（2）問后，筆者發現直線被橢圓截得弦的中點與原點連線的斜率與原直線斜率的乘積與橢圓的方程有關，暫且設弦中點為M，弦兩端點為A，B，則有k·k=×

-=-，而這里的4和9正好是橢圓+=1的短半軸平方（b2）和長半軸平方（a2）. 那么這是不是一個巧合呢？兩者之間是否存在必然的聯系？

猜想1：橢圓+=1被直線y=x+m截得弦的中點M與原點連線的斜率k與原直線的斜率的乘積為定值，且為-=-.

證明：設橢圓+=1與直線y=x+m相交于點A（x，y），B（x，y），線段AB的中點為M（x，y），由題意可得+=1，+=1，兩式相減可得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0①.

因為點M（x，y）是線段AB的中點，所以x+x=2x，y+y=2y，①式可以整理成-=·=·. 因為k=，k=，所以-=·=k·k，即直線AB的斜率與直線OM的斜率的乘積為定值-.

從上面的證明過程可以看出，在求解的過程中進行移項整理，可以得出兩直線斜率乘積的形式，并且這個斜率乘積為定值，這個定值與橢圓的a，b有關.

猜想2：當焦點在x軸上時，對于一般的橢圓方程和斜率存在的任意直線，當直線與橢圓相交于A，B兩點時，線段AB的中點M（即弦中點）與原點連線的斜率與直線的斜率的乘積是否為定值，即k·k=-？

已知橢圓+=1（a>b>0），O為坐標原點，過點M（x，y）且不平行于坐標軸的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則有k·k=-÷= -.

證明：設橢圓與直線l的交點為A（x，y），B（x，y），線段AB的中點M（x，y），由題意得+=1，+=1. 兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，移項整理得-==·k=k·k. 可得k·k=-.

同理可得：當焦點在y軸上時，有k·k=-.

猜想3：橢圓是圓錐曲線中的一種，那么對于不同類型的圓錐曲線方程，是否也會出現弦中點與原點連線的斜率與原直線的斜率的乘積為一個定值的情況呢？

不妨設圓、橢圓以及雙曲線這三類圓錐曲線的一般方程為mx2+ny2=1，O為坐標原點，過點M（x，y）且不平行于坐標軸的直線l與圓錐曲線相交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則有k·k=-. 當m，n都為正數且相等時，該圓錐曲線為圓；當m，n異號時，該圓錐曲線為雙曲線；當m，n為正數且不相等時為橢圓. （由于拋物線的一般方程不能用mx2+ny2=1來表示，并且運用點差法求解時，不會出現斜率乘積的形式，故在此只討論圓、橢圓以及雙曲線三種形式）

證明：設曲線與直線l的交點為A（x，y），B（x，y），線段AB的中點M（x，y），由題意得mx+ny=1，mx+ny=1. 兩式相減得m（x+x）（x-x）+n（y+y）（y-y）=0，移項可得m（x+x）（x-x）=-n（y+y）（y-y），整理得-==k·=k·=k·k，即k·k= -.

結論：在可以表示為mx2+ny2=1的圓錐曲線中，對斜率存在的任意直線，若直線與曲線相交，交點設為A，B，弦AB的中點設為M，則弦中點M與原點O連線的斜率與直線AB的斜率的乘積為定值，即k·k=-.

當然，對于題目中所總結的此類二級結論在解答題中不可直接使用，但是遇到此類問題時可以轉化到這類思路上進行求解，有了思路后再補充推導過程也是正確的求解方案. 在選擇題、填空題中遇到此類問題時，利用此結論（下文簡稱“雙k法”）可較快地求解出正確答案.

3. 拓展延伸

圓錐曲線求解的相關問題中，這樣一類“弦中點”問題是一節重要的內容，并且有著不同類型的考查方式. 基于此，筆者進一步探究，發現在圓錐曲線的不同章節中存在“弦中點”類問題，并且此類問題在高考中也有著廣泛的應用，都可采用“雙k法”進行求解. 因此下文筆者將從探究的角度，以新人教A版高中數學教材中的兩道圓錐曲線習題和歷年真題中出現的幾種“弦中點”類問題為例，探究“雙k法”在此類問題中的應用.

1. 教材再探

題目2 （新人教A版高中數學教材第128頁“拓廣探索”第13題）已知雙曲線x2-=1，過點P（1，1）的直線l與雙曲線相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？為什么？

分析：此題亦是直線與曲線交點的問題，可以聯立直線方程與曲線方程，得出一個一元二次方程，根據韋達定理和中點坐標即可解出直線方程，再根據判別式是否有解進行判定即可；也可以采用本文的一般結論即“雙k法”求解.

解析：假設這樣的直線l存在，由題可知直線l的斜率k存在，根據k·k=-可得k×1=-1÷

-

=2，所以k=2，可得直線l的方程為y-1=2（x-1）?y=2x-1. 將直線l方程與雙曲線方程聯立可得x2-=1?-2x2+4x-3=0，根據Δ=b2-4ac=16-4×（-2）×（-3）= -10<0，可得直線l與雙曲線無交點，因此P不是線段AB的中點.

題目3 （新人教A版高中數學教材第99頁“拓廣探索”第14題）如圖（略），圓x2+y2=8內有一點P（-1，2），AB為過點P且傾斜角為α的弦.

（1）當α=135°時，求AB的長.

（2）是否存在弦AB被點P平分？若存在，寫出直線AB的方程；若不存在，請說明理由.

解析：略（可用“雙k法”求解）.

反思：題目2與題目3同樣是圓錐曲線“弦中點”問題，且都能應用出自教材習題本身的結論，體現出了試題的解法源于教材、高于教材并且應用于教材的特點，需要教師與學生一起挖掘其中的價值. 以上三道題目都出自“拓廣探索”，這抑或是編者對讀者的一種暗示，引導讀者進行習題探究.

2. 真題鏈接

類型1：求“中點弦”所在的直線方程問題.

例1 （2006年北京卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個焦點為F，F，點P在橢圓C上且PF垂直于FF，PF=，PF=.

（1）求橢圓C的方程.

（2）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A，B兩點，且A，B關于點M對稱，求直線l的方程.

解析：（1）橢圓C的方程+=1（解答略）.

（2）圓的標準方程可化為（x+2）2+（y-1）2=5，可得圓心M（-2，1），直線l的斜率k必然存在，由k·k=-可知k·k=-，因為k=-，所以k=. 直線l的點斜式方程為y-1=（x+2），整理得8x-9y+25=0.

評注：此題若聯立橢圓方程與直線方程進行計算，除了草稿本上大量的化簡過程外，必要的書寫步驟也是相對復雜. 計算后通過對比可以發現，運用“雙k法”使得求解過程大大簡化，并且提高了正確率，避免了大量的代數運算，即使加上推導過程，與傳統方法相比也簡化很多. 下文所舉的題目類型，筆者不再展示求解過程，讀者可自行解答.

例2 （2008年北京卷）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為1，當直線BD過點（0，1）時，求直線AC的方程.

類型2：求曲線方程問題.

例3 （2010年全國卷）已知雙曲線E的中心為原點，F（3，0）是E的焦點，過F的直線l與雙曲線E交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程為________.

例4 （2013年全國Ⅰ卷）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標M為（1，-1），求橢圓C的方程.

類型3：求參數的取值范圍問題.

例5 （2015年浙江卷）已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A，B關于直線y=mx+對稱.

（1）求實數m的取值范圍；

（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標原點）.

例6 （2018年全國Ⅲ卷）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1，m）（m>0）.

（1）證明：k<-；

（2）設F為C的右焦點，P為C上一點，且++=0，證明：

，

，

成等差數列，并求該數列的公差.

“弦中點”問題考查的題型遠不止以上幾類，本文只是舉出了幾種典型的例子進行拓展分析，意不在于題型的歸納，而是方法的總結和本質的把握. 題型千變萬化，不變的數學本質本就隱含在習題之中，需要注意的亦是對教材的深入研究.

[?]結束語

數學是模式的科學，數學的本質特征就是在模式化的個體抽象中對模式進行研究［3］. 波利亞認為，在解決一個問題后，要善于去總結一個模式，并把它儲存起來，以后才可以隨時用它去解決類似的問題，進而提高自己的解題能力. 因此在教學和學習過程中，要善于對教材中的題目進行深度挖掘，總結一般的解題模式，而這正是提高解題能力、獲得數學發展的有效途徑. 此外，教材是數學工作者集體智慧的結晶，具有很強的學術性、規范性和指導性，回歸教材是教師做好教育工作、學生學好數學知識的重要基礎. 例題與習題既是數學教科書的重要組成部分，也是數學教學的重要內容［4］. 在教學過程中，教師要對教材進行深入研究，對教材中的例題、習題進行深度挖掘，發現其中隱含的潛在價值；并且適當結合高考試題，對教材中的習題進行變式探究，將課本中的習題鏈接上高考，把學生從“題海”中解救出來，真正發揮數學教材的教育價值. 通過對教材中的習題進行探究，還可以聚焦對問題的思考和探索，讓學生在研究狀態中學習，深化對問題的理解，真正實現對問題本質的認識以及對思想方法的領悟，實現在數學學習中持續發展.

參考文獻：

［1］? 陳炳泉. 從課本題目到高考試題的變式研究［J］. 數學通報，2019，58（11）：38-41.

［2］? 余小芬.回歸教材 高三復習的正道——以人教版函數與導數為例［J］. 數學通報，2018，57（12）：9-13.

［3］? 鄭毓信. 數學教育哲學［M］. 成都：四川教育出版社，2001.

［4］? 吳立寶. 初中數學教材代數內容的國際比較研究［J］. 數學教育學報，2016，25（04）：33-36+62.