利用向量法，巧解三角形

童波

［摘? 要］ 縱觀近幾年全國高考數學卷，向量法應用的比例一直居高不下，甚至還有穩中上升的趨勢. 文章以“正（余）弦定理”教學為例，從教學內容的分析與教學實錄的開展出發，對如何利用向量法，巧解三角形談一些看法與思考.

［關鍵詞］ 向量法；三角形；正（余）弦定理

實踐證明，能建立空間直角坐標系的問題，大部分都可以用向量法來解決. 與傳統解題方法相比，向量法雖然計算量偏大，卻具有將復雜問題變簡單的功效. 遇到解三角形類的問題，也可以巧借向量的代數運算功能將復雜的問題變得簡單，讓解題變得更加科學合理. 因此，筆者從正（余）弦定理的教學實錄出發，談一些看法.

[?]教學內容分析

正弦定理的證明方法，教材提供了幾何法與向量法兩種，幾何法將斜三角形的邊角關系轉化成直角三角形的邊角關系進行證明；向量法則將向量等式轉化成數量等式，然后對向量邊長進行轉化. 余弦定理的證明方法，教材僅提供了向量法一種，且只用了寥寥幾行字，就揭示了向量法的優勢. 從教材所提供的證明方法來看，利用向量法證明正弦、余弦定理是編者倡導的證明方法，體現出了向量法在解決三角形問題中的優越性.

[?]教學簡錄

為了讓學生充分感知向量法的工具性與便利性，筆者結合學情，在實際教學中，將正弦、余弦定理進行了整合處理，獲得了不錯的教學成效.

1. 教學目標

（1）帶領學生經歷用向量法對三角形邊角關系進行研究的過程，讓學生體驗向量運算的基本方法，感知向量法在解決三角形問題中的工具性特征與實際價值.

（2）掌握正弦、余弦定理的相關知識.

2. 教學過程

（1）創設情境，引出主題

情境作為一種特殊的教學環境，是教者為了促進學者學習，結合學情與教學目標有針對性創設的一種支持性的教學環境［1］. 情境的應用，不僅能激發學生的探索欲，還能突出教學的針對性，充分發揮情感在課堂教學中的促進作用，提高學習效率.

情因境生，境為情設. 良好的教學情境，能有效激發學生的探究熱情，讓學生產生新的認知，有新的收獲. 本堂課以激發學生的自主探究為主，教學對象為邏輯思維較強的高中生，因此在情境選擇上，可應用充滿“數學味”的問題情境，引導學生直接切入主題.

問題情境：三角形邊角關系的研究，除了可以從幾何的角度進行外，還有其他研究途徑嗎？

師：大家都清楚，向量作為數學工具的一種，既具備“形”的特征，又含有“數”的意義. 三角形的邊角特征就可以用這種集“數形”特征于一體的向量來刻畫. 那么，什么樣的向量關系式能刻畫出△ABC三邊之間的關系呢？

生1：++=0.

師：不錯，這就是三角形最基本的向量等式，該等式不僅刻畫了三角形三邊之間的關系，還蘊含了三角形三角之間的關系.

在問題情境的引導下，教師以“如何用向量關系式刻畫△ABC三邊之間的關系”為切入口，引導學生回顧三角形最基本的向量等式，讓學生快速明確本節課的主題，也為接下來的探究活動奠定基礎.

（2）多重方案，引發探究

師：式子++=0刻畫的是向量之間的關系，若要將該式轉化成三角形邊角之間的關系，該怎么處理呢？

生2：應該要進行某種運算吧？（不太確定）

師：大家分析一下，怎樣實施運算可以進行轉化？

生3：向量加減法不能得到邊角之間的關系，從數量積的運算角度考慮，數量積運算的介入，結合其定義，能夠獲得邊角之間的關系.

設計意圖：以問題啟發學生從“數量積運算”的角度進行轉化，不僅能獲得想要的邊角之間的關系，還能將向量等式轉化成數量等式，這一過程具有培養學生目標意識的重要作用.

師：說一說你們的轉化方法.

（學生合作交流，匯報結論）

方案1：

生4：等式++=0移項后可得=-①，在等式①的兩邊同時點乘，得2=·（-），即a2=abcosC+accosB，化簡后可得a=bcosC+ccosB.

師：非常好，在等式的兩邊同時點乘，就是將原來的向量等式轉化成了數量等式，為接下來研究三角形的邊角關系提供了支持. 類似于此，在等式①的兩邊還可以點乘其他向量嗎？若可以，能得到怎樣的結論？

生5：等式++=0移項后可得=-②，在等式②的兩邊同時點乘，經過化簡可得b=acosC+ccosA.

生6：等式++=0移項后可得=-③，在等式③的兩邊同時點乘，經過化簡可得c=acosB+bcosA.

師：不錯，這三個等式被稱為三角形的射影定理.

設計意圖：引導學生感知在等式的兩邊同時點乘向量的過程，旨在激發學生的探究欲. 雖然本節課并沒有將射影定理作為教學任務，但射影定理是本節課實施探究的載體，因此有必要帶領學生進行一定了解.

方案2：

師：對于++=0這個式子，是否存在其他的數量化處理方式？

生7：等式++=0移項后可得=-，將移項后的式子兩邊同時平方，可得2=（-）2，即2=2+2-2·，也就是a2=b2+c2-2bccosA.

師：不錯，將等式的兩邊同時平方，也就是將原式轉化成了數量等式，獲得了三角形邊角關系的等式. 類似于此，我們還能如何進行平方？獲得什么結論呢？

生8：同樣經過移項，可得=-，將等式兩邊同時平方，整理可得b2=a2+c2-2accosB.

生9：原式移項后可得=-，將等式兩邊同時平方，整理可得c2=a2+b2-2abcosC.

師：非常好！我們將移項后的等式兩邊同時平方，能將向量等式數量化，整理后所獲得的三個邊角關系的等式，被稱為余弦定理.

設計意圖：教師通過適當的點撥，引導學生自主操作——移項后等式兩邊同時平方，將向量等式數量化，余弦定理的發現水到渠成.

方案3：

師：對于式子++=0，是否還存在其他數量化處理的方法？

一石激起千層浪，隨著問題的驅動，點燃了學生思維的火花，此時課堂氛圍達到了高潮，學生一個個都躍躍欲試，進入了深度探究的狀態.

生10：將等式++=0的兩邊直接平方，可得（++）2=0，經過整理可得a2+b2+c2=2bccosA+2accosB+2abcosC.

師：很好，這種方法同樣可將向量等式數量化. 從以上幾種轉化策略不難看出，要么平方，要么點乘特殊的向量. 如方案1，點乘的向量是三角形三邊所在的向量，具有與對應邊平行的特征. 大家思考一下，除了以上幾種向量外，是否還存在其他特殊的向量可以用來點乘呢？

（學生沉思）

設計意圖：教師提出“平行”這個詞語，意在給學生一種指向與暗示，引導學生發現另一種特殊向量——法向量也可作為點乘向量.

方案4：

生11：假設∠C是△ABC中最大的角，++=0移項后可得=-，在該式的兩邊同時點乘的法向量，可得·-·=0，也就是b·

·cos∠DAC-c·

·cos∠DAB=0.

如圖1所示，假設∠C是銳角，那么=.

如圖2所示，假設∠C是鈍角，那么==.

同理可得，==.

師：非常好！將等式的兩邊點乘的法向量，成功地將原向量等式數量化，化簡等式后即得本節課的教學重點——正弦定理. 觀察以上幾種解題方案，不難發現，向量等式是解決問題的起點，是實施運算的基礎，在等式的兩邊作數量積是解題的關鍵.

（師生共同總結正弦定理與余弦定理）

綜上分析，方案2和方案3是通過平方作數量積，方案1和方案4是通過點乘特殊向量作數量積，不論哪種方法的應用，都是將向量等式轉化成數量等式. 通過多種方案的展示，不僅可以拓展學生的視野，還能開拓學生的思維，讓正弦、余弦定理的形成更加自然.

（3）知識應用

任何結論的獲得都是為應用奠定基礎，正弦、余弦定理也不例外. 基于以上定理的形成過程，筆者呈現出以下經典例題，供學生探討分析，并通過試題變式，培養學生實際應用的靈活性，以促進學生數學思維的發展.

例題 如圖3所示，在△ABC中，已知∠BAC=60°，AB=8，AC=5，點D為BC邊的中點，則中線AD的長度是多少？

分析：從常規解法來看，本題可以借助余弦定理獲得第三條邊BC的長度，再結合中線定理知AD=，進而獲得AD的長；也可以借助中線的向量性質，列式=（+），該式的兩邊同時平方，解得

=.

變式：如圖4所示，在△ABC中，已知AB=8，AC=5，點D為BC邊上接近點B的三等分點，在AD=的情況下，∠BAC的度數是多少？

分析：此變式的常規解決方法用在△ABC與△ABD中，借助余弦定理建立關于BC與cosB的方程組，獲得BC的長度，然后在△ABC中，結合余弦定理得到∠A的度數；也可以用向量法，得=+，等式兩邊同時平方，整理得cosA=，所以∠A=60°.

設計意圖：通過典型例題與其變式讓學生感知，用向量法解決三角形問題，具備顯著的簡潔、直接等優勢，明確此類問題解決的關鍵在于將向量等式兩邊同時平方進行轉化，獲得數量等式.

在學以致用的基礎上，本節課也接近尾聲，此時教師可以帶領學生站在同一高位，一起回顧本節課的教學重點與難點，厘清整個學習思路，力爭將這種學習方法延續到后期更多的學習中，形成一種學習技能.

[?]教學思考

1. 設計合理的教學流程

新課標提出：數學課堂教學需建立在學習者原有的認知水平與知識經驗基礎上進行，教學活動的開展，應一直位于學生認知的最近發展區［2］. 由此可見，研究學生原有的認知結構與認知水平是教學設計的根本，也是各類教學活動開展的起點.

學生在本節課上課前已經掌握了向量的相關知識，教師進行課堂設計時，就是以此為基準的，利用充滿“數學味”的問題情境直奔教學主題，讓學生快速進入學習狀態. 同樣，在探究活動環節中，教師的追問是基于學生的認知經驗進行的，每個問題都緊貼著學生的最近發展區. 因此獲得了較好的教學成效.

2. 提供充足的探究空間

動手操作、自主探究與合作交流是學習數學的重要方式，學生通過親身經歷，將一些實際的數學問題抽象成模型. 因此，新課標對于課堂探究活動的開展，提出了更加明確的要求——要求教師為學生提供充足的探究空間與時間，讓學生自主建構新知，而非由教師機械地告知.

探究活動在傳統教學中的應用較少，有些“老教師”對于教學設計意圖的把握不太精準，導致實施過程中障礙重重. 鑒于此，教師應不斷更新教育教學理念，通過提升自身的綜合素養與專業水平，為學生提供真正意義上的探究空間，以調動學生學習的積極性，促進學生思維品質（敏捷性、深刻性、廣闊性等）的發展.

本節課中，教師通過簡單明了的問題驅動，引發學生的探究欲，并在適當的時機給予點撥與引導，讓學生自主探索出三種解題方案，總結出正弦、余弦定理. 這種教學方法，讓學生體驗知識的“再發現”過程，感知學習的樂趣，建立學習信心.

3. 靈活用好數學教材

教材是實施教學的依據，但教材的安排適用于一般情況，而具體教學的實施，受學情、學校背景等綜合因素的影響，需教師結合實際情況作一些調整. 本節課從教材出發，結合了學生實際情況，打破了教材原有編排，重新整合了教材內容，因勢利導地實施教學，充分挖掘了教材的教學功能.

4. 增強課堂教學節奏感

教學設計應結合教學內容與學情，把握好每個環節的節奏，讓學生在張弛有序的氛圍中感知學習的快樂. 例如，本節課方案4的探究環節，學生想不到點乘向量，沉思時間過長，課堂氛圍顯得較為沉悶. 究其原因在于教師所設置的問題沒有明確的指向性，學生一時找不到思考方向. 教師若在此環節用“問題串”的形式，為學生的思維搭建“腳手架”，則會出現不一樣的教學效果.

參考文獻：

［1］? 馬復. 設計合理的數學教學［M］. 北京：高等教育出版社，2003.

［2］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版） ［M］.北京：人民教育出版社，2018.