讓兒童悟得數學

摘 要：數學教學，要盡量讓兒童能自己“悟”出來，引導和啟發兒童多悟數學的知識本質、思想精髓、問題關鍵和學科價值。讓兒童悟得數學，需要遵循兒童先行、悟創結合、整體建構三項原則，運用“體驗在前，反思在后”“建構與解構兼備”兩種模式。

關鍵詞：兒童悟得數學；感悟；體悟；頓悟

*本文系全國教育科學“十三五”規劃2020年度教育部重點課題“小學數學核心知識建構的教學研究”（課題編號：DHA200370）階段性研究成果。

“悟”是形聲字，“忄”（心）表意，“吾”表聲。古人認為心是思維的器官，“悟”字代表著心的覺醒。“悟”在《現代漢語詞典》（第 7 版）中的解釋為“了解；領會；覺醒”。本文所講的“悟”，特指由模糊而清晰、由迷惑而明白的求索狀態，表現為想清楚、想明白、想通。多年來，我在數學教學中主張“讓兒童悟得數學”，指讓兒童以悟的方式獲得新的數學感受與認識。學習貴在悟，數學教學中要盡量讓兒童自己多悟，但“多悟”并不是放任兒童自悟。于是，“為何讓兒童多悟”“讓兒童多悟什么”“如何啟發兒童多悟”自然成了必須厘清的三個關鍵問題。

一、為何讓兒童多悟

“悟”是一種意識，是一段思維過程，更代表著一種學習精神。教育者的任務不只是給兒童賦能，還應是激發兒童自主發揮出潛能。讓兒童悟得數學，追求更多地讓兒童能自己“悟”出來。讓兒童多悟，是從以下三個方面的因素考慮得出的結果。

（一）現實所迫

數學是學生感覺到較難、問題較多的一門學科。一方面，學習數學需要學習者有一定的抽象思維、邏輯思維能力作為支撐，而小學生的思維正處于形象思維向抽象思維發展的過渡期，往往不能理解頗為抽象的邏輯推理，這就需要有較多從具體到抽象，從感知、運用到推理、明理的“悟”的過程。另一方面，一直存在兩個可能未引起大家足夠重視并需要努力去解決的問題，一是學生對數學知識的認同存在障礙；二是學生對數學知識的貫通存在困難。這兩個問題的解決，都需要教師通過適時適量的引導啟發，讓學生經由內心的質疑、思考、理解、接受，直至領悟。但實際教學中往往是“少悟多教”，這就會導致學生“得而不悟”“悟而不得”“淺悟淺得”等學習現象，并間接導致學生所獲數學知識往往是缺少根基、游離于自己的認知結構之外的，學到的多是浮于表面、支離破碎的數學，甚至不是真正的數學。知識的學習，只學不悟，難得真諦；只練不悟，難有進步；而悟之不多，則可能悟而不得、悟而不深。

（二）學理所致

讓學生“多悟”遵循了教學的基本準則。葉圣陶認為，“自己摸索得來比向別人學更重要”；蘇格拉底曾說過，“唯有發自內心的知識，才能夠變成人的智慧”；波利亞認為：學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這樣發現理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系；伽利略則更是提醒教師“你不能去教別人，只能幫助他自悟而已”。這幾位先賢都強調讓學生“自悟”，而自悟是常常會走彎路，需要多摸索、多思考、多領會的。

讓學生“多悟”回應了心理學、教育學的研究成果。心理學家韋特墨基于學校實踐研究學生的頓悟學習，強調通過整體進行思維；建構主義理論認為，知識不是通過教師傳授得到，而是學習者通過意義建構的方式而獲得；情境教育理論認為，“人對事物的認識是整體性的、情境化的，是自我建構的，因而也是內化的”；生本教育理論強調借助人的悟感，在活動中發展悟感，從而使人的認識發生遷移和頓悟，更強有力地認識事物的本體。無論是“頓悟”“悟感”，還是“建構”“內化”，都不是一蹴而就、輕松可得的，都需要學生經歷較長的自主摸索和思考過程，才能悟有所得，或突然領悟。

（三）時代所需

《義務教育數學課程標準（2022版）》明確了核心素養的導向性，并指出：“核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現。小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解”。知識只有在長期悟、邊學邊悟的“多悟”過程中，才能真正被納入認知結構；悟有所得，悟而能用，久而久之，知識才能轉化為能力、品格，體現為操作、行為，才能成為素養。史寧中教授說：“學生數學學科核心素養的形成和發展，是在教師的啟發和引導下，學生通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己‘悟出來的……”這個“形成和發展”的過程，自然是需要多“悟”的。

二、讓兒童多悟什么

人的感受及認識與經歷有關。教育不在于教師講了多少，而在于兒童自己悟出多少。“兒童悟得數學”的根本任務，是在“悟”中實現數學認知的躍升和突圍。讓兒童“多悟”但不是盲目地悟，可以從以下幾個方面著手。

（一）悟數學知識的本質和聯系

領會數學知識本質的過程是一個由表及里的過程，把握數學知識聯系的過程是一個由此及彼的過程。在由表及里、由此及彼的過程中，學生需要往深處想，往遠處想，這是“多悟”的過程，也是數學認識躍升的過程。例如，長方形的面積計算方法“長×寬”，表面上看只是乘法計算，其實質卻是測量長方形里面有多少個相同的面積單位的過程。如何讓學生相信和貫通這樣的認識？這要有一個從“數面積單位的個數”到“算面積單位的個數”，從“用面積單位直接測量長方形的面積”到“用直尺間接測量并計算長方形的面積”的逐步領悟過程。

（二）悟數學思想的精髓和妙用

在“有形”的數學知識中，蘊含著“無形”的數學思想。在表層的解題步驟或“套路”背后是數學方法與技巧，而方法技巧的獲得、運用則需依靠數學思想來引導。要讓學生觸摸并感受到數學思想的精髓和妙用是不易的，需要引導他們在活動中慢慢感悟。例如，轉化思想的精髓是變通，極限思想的妙用是領悟無限過程（無限靠近）的結果為真。在探索圓面積計算公式時，學生在教師的點撥下，親歷了把圓剪拼成近似長方形的操作過程，但想要學生領悟“近似的長方形的面積在無限分割的情況下就等于圓的面積”這里面的極限思想較難，因此，教師可以通過讓學生聯想、類比“循環小數0.999…=0.333…×3=1÷3×3=1”來幫助理解。

（三）悟數學問題的產生和解決

一道生活問題里面包含哪些數學知識？這道生活問題可以歸結為哪種類型的數學問題（模型）？解決此類數學問題的關鍵是什么？我在解決問題的過程中，是在哪個地方出現偏差導致解題失敗的？……這些疑問是學生對自己學習過程的監控與調整，直接關乎其元認知能力的培養和提升。解決實際問題時，學生需要悟得數學問題是如何產生以及怎樣得到解決的。例如，蘇教版小學數學四年級上冊“平均數的認識”，教材提供了男、女生套圈成績統計圖，要求學生思考“男生套得準一些還是女生套得準一些”。教師不宜急于介紹比較男、女生套中個數所用的平均數概念，而要先讓學生自主感悟到“比較男、女生套中的總個數”“比較男、女生的最好個人成績”等方法的不足。關于求平均數的計算方法，教師也不必多講，而平均數的意義應著力多讓學生感悟。

（四）悟數學學科的價值和魅力

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用。鄭毓信教授認為，我們應從單純強調“幫助學生學會數學地思維”走向“通過數學學會思維”。數學學習從來都不只是知識的學習。我們倡導學生領悟數學的知識本質、思想精髓和問題關鍵的同時，還要有意識地讓學生感悟如何思維的經驗，體悟數學的文化價值，養成良好的思維習慣。學生在具體的數學活動中經由合乎邏輯的推理、審辯式的理性思考和簡潔精準的表達等思維歷練，以及言之有理、敢于質疑、寬容失敗的文化熏陶，必然會體悟到數學學科的價值和魅力。

三、如何啟發兒童多悟

兒童的悟性是潛在的，也是有限的。高效的、有價值的“兒童悟得數學”活動，還要依靠教師的教學智慧。那么，如何啟發兒童多悟？教學中需要遵循“三項原則”，運用“兩種模式”。

（一）三項原則

1.兒童先行，引發感悟

兒童有所感受和實踐，方能有所悟、有所得。兒童先行表現為兒童的學習先于教師的傳授，兒童想法的表達先于成人想法的表達。數學教學中，探索新的數學知識，解決新的數學問題，不妨讓學生先嘗試著說一說，做一做。教師要精心創設引發學生感悟的情境，提供切近學情、啟發思考的學習材料和恰當問題，讓學生先嘗試、先思考，讓他們多一些自主感悟。這有助于悟出學習的必要性，悟出知識的來龍去脈，悟出問題的障礙在哪里，悟出知識的難點在何處。所謂“不憤不啟，不悱不發”，教師循著學生的想法和思維展開教學，在學生冥思苦想仍不得其解時進行啟發，在學生想說卻說不出來時提供幫助，才能以“少教”在關鍵處、學生需要處起到指點迷津之效，激活學生的思維，開啟學生的悟性。

2.悟創結合，催發醒悟

兒童積極主動地進行同化或順應等認知心理活動，領會新知與已有認知結構的關聯，這是一種悟的表現；兒童創造性地建立或調整自己的認知結構和觀念，讓知識具有個人意義和新的闡釋，進而以新的眼光和思維看待和解決問題，這是一種創的表現。數學教學中，學生悟得新知識的豐富內涵，創造性地運用經驗和智慧，往往需要同時伴有或交叉進行悟與創的心理活動。在學習新知識或解決新問題時，學生通常有一定的知識儲備和經驗積累，但不能自主突破已有的知識框架或觀念局限，給“悟”“創”帶來困擾和障礙。為此，教師以“少教”為學生提供聯系舊知、探索新知，以及分享交流、回顧反思的機會；同時，在學生觀察、思考、表達過程中的困惑處、卡殼處和瓶頸處，教師適時地做一定的視角拓展、路徑提示，努力實現數學觀念的更新與提升，從而催發學生“醒悟”，最終實現學生“心靈的轉向”。

3.整體建構，激發頓悟

格式塔心理學認為，整體大于部分之和。頓悟學習的核心是“要從整體上把握事物的本質，而不是無關的細節”。可見，整體建構符合人們認識事物的一般規律，有助于學生通過整體進行思維，獲得自我頓悟。為此，我們要深度發掘教材的知識內核、整體結構和豐富內涵，創設有助于學生整體思考、結構化學習的素材和情境，使學生形成對知識的深刻理解，建構起有生命力、可遷移的知識，進而悟得數學課程的知識體系和學科思想。尤其要在學生探索思考的基礎上，立足整體的理解和分析，抓住精要講解，瞄準關鍵點、薄弱點、連接點和突破點進行引導啟發，幫助學生跨越思維障礙，實現知識貫通，從而為“頓悟”做好準備、創造條件。學生在多次頓悟之后，積“小悟”成“大悟”，拾級而上，其知識理解水平、思維品質就會實現躍升。

（二）兩種模式

模式1：體驗在前，反思在后。

真正的感悟來源于人們的親身經歷與感受。只有體驗足，才能悟得透。為了將抽象的知識化為記憶，兒童需要多參與一些體驗活動，并在活動中進行反思，為 “多悟”創造條件。如看一看、摸一摸、擺一擺、比一比、量一量、畫一畫、想一想，說一說、寫一寫等。為此，教師要精心設計，通過“少教”“精教”達到更好的活動效果，如優選最貼近兒童原初想法、最值得體驗的活動內容，并借助反思和評價來提高學生對知識的認同程度和貫通程度。

模式2：建構與解構兼備。

“悟”，常需領會知識的聯系和貫通，進行整體建構；“悟”，往往需要概念、觀念的突破或躍升，需對已有認知結構作調整、解構，實現重組和再建構。經歷“建構—解構—再建構”的過程，學生的內心會因此而澄明，建構后的知識也更易于遷移和轉化，并能用于陌生的情境。

例如，蘇教版小學數學五年級上冊第48頁例題，先教學小數加法，再教學小數減法。部分學生列豎式計算“4.75+3.4”時，會下意識地先把小數的末位對齊，但一旦他們想到或教師提醒他們“數可代表錢數”時，便會頓悟到如此列式不正確，因為不同貨幣單位的錢數不能直接相加。由此，列加法豎式時先把小數點對齊的正確想法自然地可以遷移到減法計算“4.75-3.4”中去。離開具體情境的依托，部分學生嘗試做小數加減計算時，仍然會犯這樣的錯誤。這時，需要引導他們回到小數的組成，感悟并領會算理“相同計數單位的個數相加減”。概而言之，從整數加減法計算“跳”到小數加減法計算，這樣的認知躍升既有計算形式（算法）的解構，也有計算本質（算理）的建構。學生需要充分地經歷解構和建構的過程，才能夠獲得深刻的領悟和理解，而不是機械地記憶算法，也不是盲目地提高計算速度。

參考文獻：

[1]朱小平，魏光明.兒童悟得：探索與聯結數學世界的通途[J].江蘇教育研究（實踐版），2015（12）.

（朱小平，特級教師，江蘇省揚州市梅嶺小學，郵編：225009）