復(fù)習(xí)課，不妨從學(xué)生的認(rèn)知平衡入手

摘 要：《立體圖形表面積和體積（復(fù)習(xí)）》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的一節(jié)復(fù)習(xí)課，其主要功能是梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容、構(gòu)建知識(shí)體系、提煉數(shù)學(xué)方法、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時(shí)，可從整理、練習(xí)、提升三個(gè)維度，設(shè)計(jì)“理一理”“練一練”和“拎一拎”活動(dòng)，通過知識(shí)梳理、查漏補(bǔ)缺、實(shí)現(xiàn)認(rèn)知平衡；同時(shí)基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，制造認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生打破原有的認(rèn)知平衡，建立新的平衡，從而為復(fù)習(xí)課增值。

關(guān)鍵詞：《立體圖形表面積和體積（復(fù)習(xí)）》；復(fù)習(xí)課；認(rèn)知平衡

【課前思考】

皮亞杰認(rèn)為，兒童心理發(fā)展是個(gè)體通過同化和順應(yīng)日益復(fù)雜的環(huán)境而達(dá)到平衡的過程。以已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)解釋新情境就是同化，個(gè)體改變?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)來適應(yīng)新的需要就是順應(yīng)，而平衡是使認(rèn)知結(jié)構(gòu)和環(huán)境之間達(dá)到最佳適應(yīng)狀態(tài)的生物驅(qū)動(dòng)力。這對(duì)深入理解復(fù)習(xí)課的教學(xué)意蘊(yùn)大有裨益。因?yàn)檎J(rèn)知平衡是短暫且惰性的，教師應(yīng)基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生打破原有的認(rèn)知平衡，建立新的認(rèn)知平衡。

學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定了其知識(shí)多呈散點(diǎn)狀分布，因此，復(fù)習(xí)課要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向和縱向的關(guān)聯(lián)融通，以“結(jié)構(gòu)圖”等形式顯性呈現(xiàn)，建立知識(shí)框架，達(dá)成整體認(rèn)知。復(fù)習(xí)課不僅要幫助學(xué)生拾遺補(bǔ)漏、補(bǔ)充經(jīng)驗(yàn)，以實(shí)現(xiàn)認(rèn)知平衡，更要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、思想方法等進(jìn)行深度挖掘與重構(gòu)，打破原有的認(rèn)知平衡，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的個(gè)性化理解，建立新的認(rèn)知平衡。如此，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣才得以激發(fā)，才更愿意主動(dòng)質(zhì)疑、探究，復(fù)習(xí)課的教學(xué)價(jià)值才能得以增長(zhǎng)。

基于以上思考，筆者嘗試從整理、練習(xí)、提升三個(gè)維度來設(shè)計(jì)這節(jié)復(fù)習(xí)課：整理維度設(shè)計(jì)“理一理”活動(dòng)，活動(dòng)目的是梳理知識(shí)，整體建構(gòu)，建立認(rèn)知平衡；提升維度設(shè)計(jì)“拎一拎”活動(dòng)，活動(dòng)的目的是使學(xué)生“跳一跳，摘到桃”，打破原有的認(rèn)知平衡，建立新的認(rèn)知平衡；練習(xí)維度設(shè)計(jì)“練一練”活動(dòng)，活動(dòng)目的是幫助學(xué)生鞏固新建立的認(rèn)知平衡。這三個(gè)活動(dòng)可以看作一般復(fù)習(xí)課的基本活動(dòng)流程，具體到每節(jié)課中，有時(shí)也可穿插進(jìn)行。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助結(jié)構(gòu)圖，鞏固立體圖形表面積與體積知識(shí)。

2.通過對(duì)比，加深對(duì)面積和體積本質(zhì)的理解。

3.激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)質(zhì)疑、反思等學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)過程】

一、理一理：內(nèi)容的回顧與拓展

出示問題：（1）你理解的立體圖形是什么樣的？（2）如何由平面圖形得到立體圖形？（3）相鄰面積和體積單位的進(jìn)率如何？（4）常見立體圖形的表面積和體積公式是什么？

師：小組交流后全班匯報(bào)，自由補(bǔ)充。

學(xué)生匯報(bào)后，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖（如圖1）。

師：長(zhǎng)方形面積為什么可以用“長(zhǎng)×寬”表示？還有哪些圖形的面積可以用“長(zhǎng)×寬”表示？

師：“長(zhǎng)×寬×高”為什么可以表示長(zhǎng)方體的體積？還可以用來表示什么圖形的體積？

師：為什么長(zhǎng)方體和圓柱體的表面積公式都可以記為“底面積×2+側(cè)面積”？

師：為什么長(zhǎng)方體和圓柱體的側(cè)面積都可以使用“底面周長(zhǎng)×高”來計(jì)算？

[設(shè)計(jì)意圖：六年級(jí)學(xué)生處于認(rèn)知發(fā)展的過渡期，概念的擴(kuò)充可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)平面圖形與立體圖形的區(qū)別與聯(lián)系，更深入地理解面和體。這里強(qiáng)調(diào)知識(shí)的“全面”復(fù)習(xí)，包括橫向和縱向兩個(gè)層面。橫向的歸納是復(fù)習(xí)課最低層次的目標(biāo)要求，在達(dá)成此目標(biāo)的前提下，也需要注重縱向的梳理。“理一理”活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生從長(zhǎng)方形（平面圖形）的面積開始梳理，借助多個(gè)對(duì)比問題，引導(dǎo)學(xué)生從整體的視角重新審視以往的學(xué)習(xí)內(nèi)容和過程，結(jié)構(gòu)化地梳理知識(shí)，使知識(shí)從孤立走向關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建立認(rèn)知平衡。]

二、拎一拎：方法的概括與創(chuàng)新

師：（出示圖2、圖3、圖4）這三幅圖分別是用什么方法來求立體圖形體積的？

師：這三幅圖都是通過計(jì)算物體包含單位立方體的個(gè)數(shù)來計(jì)算體積的。還記得我們是怎么推導(dǎo)常見立體圖形體積的嗎？

師：長(zhǎng)方體體積公式，我們是用擺單位立方體來探索的；圓柱的體積公式，我們是把圓柱沿著底面直徑切開轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體得出的；圓錐的體積公式，我們是通過倒水實(shí)驗(yàn)，依據(jù)圓柱和圓錐體積的關(guān)系得到的。求三種圖形的體積，用了三種方法。為什么明明用一種方法就可以計(jì)算圖形的體積，我們卻學(xué)習(xí)了三種方法？

師：（指圖1中的圓柱體積公式）有同學(xué)說，圓柱的體積還可以用“側(cè)面積×底面半徑÷2”來計(jì)算，想想為什么？

[設(shè)計(jì)意圖：同時(shí)出示圖2—4是為了強(qiáng)調(diào)體積概念的共性，即體積是物體包含的單位立方體的個(gè)數(shù)，這樣更易于學(xué)生遷移。我們?cè)诮虒W(xué)“體積”時(shí)，往往強(qiáng)調(diào)更為上位的轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用有一定難度，因此被安排在幾個(gè)年級(jí)分段教學(xué)，但到了六年級(jí)的復(fù)習(xí)階段，學(xué)生的認(rèn)知已經(jīng)有所發(fā)展，可以較清楚、完整地理解這一系列轉(zhuǎn)化過程。筆者嘗試將兩種學(xué)習(xí)序列完整呈現(xiàn)出來，一方面幫助學(xué)生回憶“物體包含單位體積的個(gè)數(shù)是其體積”這一基本推導(dǎo)方法，另一方面幫助學(xué)生梳理已學(xué)習(xí)的立體圖形體積的轉(zhuǎn)化過程。呈現(xiàn)圓柱體積公式的另一種計(jì)算方法，可以引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，打破原有的認(rèn)知平衡，建立新的認(rèn)知平衡。]

三、練一練：習(xí)題的反思與融合

（一）綜合性練習(xí)

師：（出示圖5）你知道蜂窩煤為什么這樣設(shè)計(jì)嗎？根據(jù)圖上數(shù)據(jù)，你能算出制作一塊蜂窩煤大約需要用多少立方分米的煤?jiǎn)幔咳魧⒎涓C煤裝箱，一排4塊，每層3排，共2層，需要多大的紙箱（紙箱的長(zhǎng)、寬、高分別是多少）？紙箱的體積和表面積分別是多少呢？

[設(shè)計(jì)意圖：蜂窩式設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)角度來說是為了增加表面積，充分體現(xiàn)了生產(chǎn)設(shè)計(jì)者的智慧。這道題既涉及表面積又包含體積，此基礎(chǔ)上，還可以追問煤的利用率問題，讓單元知識(shí)相互關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)復(fù)習(xí)課的綜合性。]

（二）易錯(cuò)題練習(xí)

師：一個(gè)小麥堆的底面周長(zhǎng)是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麥大約重750千克。（π取3.14）這堆小麥大約重多少噸？

師：為什么題目不直接告訴我們圓錐的底面積，而是告訴我們底面周長(zhǎng)呢？?jī)H僅是為了增加解題難度嗎？

[設(shè)計(jì)意圖：這道題的計(jì)算思路很容易找到，但學(xué)生在求出等底等高的圓柱體積后，常忘記除以3。因此，筆者嘗試聯(lián)系生活設(shè)問，給易錯(cuò)題植入新的思考，抓住關(guān)鍵詞“麥堆”，將學(xué)生帶入情境，充分想象小麥堆的形狀。再通過課堂設(shè)問：“為什么題目不直接告訴我們圓錐的底面積，而是告訴我們底面周長(zhǎng)呢？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際生活中，麥堆的底面積不易直接測(cè)出。]

（三）多解法對(duì)比練習(xí)

師：廠家想給長(zhǎng)方體餅干盒的四周貼上漂亮的彩紙。罐頭盒長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高10厘米，至少需要多少平方厘米的彩紙？

[設(shè)計(jì)意圖：這道題有兩種解法，一種是將長(zhǎng)方體四個(gè)側(cè)面的面積分別相加，另一種是用“底面周長(zhǎng)×高”來計(jì)算。兩種解法都對(duì)，但體現(xiàn)了不同的思維水平。教師可請(qǐng)學(xué)生評(píng)價(jià)兩種解法，讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)兩種解法的列式看似符合乘法對(duì)加法的分配律，但在實(shí)際操作中卻有不同意義。]

參考文獻(xiàn)：

[1]施銀燕.美國(guó)加州教材立體圖形部分的編排特點(diǎn)與啟示[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（4）.

[2] J.皮亞杰，B.英海爾德.兒童心理學(xué)[M].吳福元，譯.北京：商務(wù)印書館，1980.

（王歡，江蘇省南京市竹山小學(xué)，郵編：211100）