落實“五育并舉” 注重理性思維 突出綜合素養

摘要：研究分析2022年高考數學全國乙卷的整體特點，呈現部分典型試題評析，結合教學實踐給出“研讀課程標準與教材，落實‘四基‘四能”“深化模型理解，提高運算能力”“堅持全面育人，落實提質減負”“提高試題質量，實現教—學—考一致性”等思考與建議.

關鍵詞：全國乙卷;高考數學;五育并舉;理性思維;綜合素養

2022年高考，全國乙卷被河南、安徽、江西、山西、陜西、吉林、黑龍江、寧夏、甘肅、青海、新疆、內蒙古等省區采用，是今年高考使用范圍最為廣泛的一份試卷.考試后部分學生反映“老師講的（內容）試卷沒考，試卷考的（內容）老師沒講”，試卷總體難度較大，學生無法適應;部分教師反饋復習備考做了大量的無用功，不知道以后如何教.以上省區中的多數2023年高考仍將采用老高考模式（由于使用了新教材，考試內容會作適當的調整，如刪除選考題等）.筆者以2022年高考數學全國乙卷（以下簡稱全國乙卷）為例，窺探高考命題趨勢，為師生的教與學提供參考.

1 整體特點

2022年全國乙卷的使用省區與2021年相同，地域較廣，考慮到學生水平的差異，試卷穩中求變，變中求新，即總體結構不變，局部稍作調整[1].

1.1 文理同題數量增多，為文理合卷吹響號角

為保持文科試卷的難度平穩，增強理科試卷的區分功能，同時為文理合卷做足鋪墊，2022年全國乙卷文理科相同試題的比例提高了，只是在文理科試卷中題序位置可能有所不同.文理同題（括號前為理科試題題號，括號內為文科試題題號，下同）有第5（6），6（7），7（9），8（10），9（12），13（14），14（15），19（19），20（21），22（22），23（23）題等.局部相同的試題有理科第17題第1問與文科第17題第2問，理科第18題第1問與文科第18題第1問.姊妹題有第1（1），2（2），3（3），12（16），21（20）題等.它們考查的知識點相近，形式略有不同，解題思路方法相同，難度略有差異.

1.2 解法多樣，甄別學生思維的層次性

基礎題理科有第1，2，3，4，5，6，13，14，17，18題等，文科有第1，2，3，4，5，6，7，13，14，15，17，18題等，均考查學生的基礎知識.這些試題起點低、入口寬，思維能力決定著解題的效率.如理科第4題解法1可通過特殊數列{an}（如an=1）排除選項;解法2以選項為標準，對各個選項中兩項進行差異分析;解法3從{bn}的結構出發，探究{bn}的基本性質：b2k-1>b2k，b2k-1>b2k+1，b2k

1.3 注重理性思維，強調解題規范

學習即生活，我們要在學習中提升思維能力，養成良好的生活習慣.如，第9（12）題如何實現四棱錐體積最大？可先保持頂點O到底面ABCD的距離h不變，需要四邊形ABCD的面積最大，只有當四邊形ABCD為正方形時才能滿足，此時才能構建四棱錐O-ABCD的體積關于某自變量的函數，而自變量是選ABCD的邊長a還是四棱錐的高h？后續求最值的繁簡程度不同.又如第17題理科第1問（文科第2問）的背景是正弦的平方差公式

sin（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β，但二級結論不宜直接用于解答題的解答或證明，而應對其先行證明或直接用正弦定理和余弦定理規范解答.

1.4 落實五育并舉，加強數學運算

高考的核心功能是立德樹人、服務選才、引導教學，構建德智體美勞全面培養的教育體系是新時代教育和高考的重要任務[2].全國乙卷理科第4題以嫦娥二號衛星成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造衛星為背景，有利于激發學生的愛國熱情，強化德育教育;又如第13（14）題為社區服務問題，考查學生對基本知識的掌握程度及運用所學知識解決問題的能力，試題的情境具有時代性，體現志愿精神，具有積極的教育意義.每個試題均體現理性思維，考查學生的智育.理科第10題以棋類比賽為背景，可以激發學生參加體育運動的興趣.理科第4，9，23題滲透著結構形式的對稱美.第19（19）題以社會關注的環境治理為背景，依托“綠水青山就是金山銀山”的理念，將社會生產勞動實踐情境與數學基本概念有機結合，發揮高考在培養勞動觀念中的引導作用.近年來，學生的運算能力一直有下降的趨勢.“得運算者得高考”，全國乙卷2022年比2021年運算量大、綜合性強，如文理科的第20，21題等.

2 試題分析

2.1 強化題意理解，遵循命題意圖

解（證）題就是信息輸入—處理—輸出的過程，即通過審題攝入有效信息，然后對信息進行加工處理，最后將結果規范地表達出來.因此，準確理解題意是正確解題的前提.審題時要通讀全題，然后對關鍵信息進行精讀，弄清問題的結構與邏輯.

例1（理科第16題）已知x=x1和x=x2分別是函數f（x）=2ax-ex2（a>0且a≠1）的極小值點和極大值點.若x1

分析：“x=x1和x=x2分別是函數f（x）的極小值點和極大值點.”與“函數f（x）的極小值點和極大值點分別為x=x1和x=x2”一般意義不同，前者極小（大）值點未必唯一，而后者極小（大）值點一定唯一.問題等價于f′（x1）=f′（x2）=0，且f′（x）在x=x1處“左負右正”，在x=x2處“左正右負”.解法1，先求y=

ln a＼5ax與函數y=ex相切的臨界值，再結合y=ln a＼5ax的圖象與a的關系求解;解法2，先判斷函數f（x）的單調性，再確定函數f（x）的極值點，邏輯推理更嚴謹.

2.2 嘗試一題多解，倡導優解妙法

對于相同數學對象，由于解題者的學習經驗積累不同，因此審題時切入點不同，選擇的方法也不盡相同.我們要揭示出問題的本質，然后對各種方法進行綜合衡量，選擇出優解妙法.

例2（理科第11題）雙曲線C的兩個焦點為F1，F2，以C的實軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點，且cos∠F1NF2=35，則C的離心率為（? ）.

A.52

B.32

C.132

D.172

分析：本題直線MN可能與雙曲線的一支或兩支相交，解題的關鍵是如何使用cos∠F1NF2=35.解法1從幾何角度出發，過點O，F2分別作直線MN的垂線，垂足分別為A，B，根據相似三角形搭建橋梁，構造直角三角形利用雙曲線的定義“算兩次”;解法2，在△F1NF2中利用正弦定理，運用“合分比定理”和雙曲線的定義構建方程，需要用到兩角和的正弦公式;解法3為坐標法，直接求出點N的坐標，結合圖形利用兩角差的正切公式，兩種情況下點N的坐標不變使解題過程得到簡化.一般來說，幾何法要確保圖形的真實性（存在性與代表性），代數法利用整體可能會出現研究對象不存在的情況，無論哪種方法都要驗證結果的存在性.解析幾何是幾何的一門分支，歸根到底仍然是幾何，解題時要盡可能挖掘其幾何性質，規避繁瑣的運算.

2.3 挖掘對象特征，明晰解題方向

解題時要對研究對象的特征與性質進行深入挖掘，進而確定解題方向.在解題過程中可能會出現思路受阻的情況，這時要具體問題具體分析，結合實際情況進行調整或優化.

例3（理科第12題）已知函數f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7.若y=g（x）的圖象關于直線x=2對稱，g（2）=4，則∑22k=1f（k）=（? ）.

A.-21

B.-22

C.-23

D.-24

分析：本題依托f（x）與g（x）的關系和g（x）的部分性質隱性給出函數f（x）的性質.解法1研究函數f（x）的對稱性（f（x）關于x=0與點（-1，-1）對稱）和周期性（T=4），化整為零，聚零為整，并項求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+5

∑4k=1f（k）;

解法2利用關系式f（x）+f（x-2）=-2局部分組與并項求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+[f（3）+f（5）+……+f（21）]+[f（4）+f（6）+……+f（22）]，也可研究函數g（x）的性質并求f（1），f（2）的值.兩種解法本質相同，只是表達的形式不同.

2.4 模型引領方向，注重理性精神

模型是通過主觀意識借助實體或者虛擬表現，構成客觀闡述形態結構的一種表達目的的物件[2]. 只有深入理解數學模型，解題時才不致于張冠李戴.

例4（理科第18題）如圖

1，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，

∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

（1）證明：平面BED⊥平面ACD;

（2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

分析：第（2）問由“△AFC的面積最小”確定點F的位置，由勾股定理逆定理得BE⊥DE.如何求直線與平面所成的角？解法1為坐標法，如以E為原點，以EA，EB，ED所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系E-xyz.解法2為等體積法，先求CF=72，再由

VC-ABD=VD-ABC

得點C到平面ABD的距離為h=

2217.解法3為定義法，要弄清點C在平面ABD的投影的位置.先證平面ABD⊥平面ACF，過點C作CG⊥AF，垂足為G，則CG⊥平面ABD，則CF與平面ABD所成的角為∠CFG，即∠CFA或其補角.事實上，∠CFA是鈍角，即CF與平面ABD所成的角為∠CFA的補角.

2.5 突出問題邏輯 重視恒等變形

推理是數學的“命根子”，運算是數學的“童子功”.要想解決問題必須抓住問題的結構與邏輯.學生若對問題的結構特征熟視無睹，則難以找到解題的思路;學生若不明晰問題的邏輯，必將導致漏洞百出.解題離不開恒等變形，某一步變形若不恒等，一般要對其查缺補漏.

例5（理科第21題）已知函數fx

=

ln1+x+axe-x.

（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程;

（2）若f（x）在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個零點，求a的取值范圍.

分析：要否定命題只需舉一個反例，而肯定一個命題必須證明.對于第（2）問，解法1為函數最值法，抓住f0=0，確定參數a的分類討論標準（不唯一）是關鍵.當a≥0時，可通過在區間（-1，0）上f（x）<0來排除;當

-1≤a<0時，可通過在區間（0，+∞）上fx>0來排除;當a<-1時，研究函數f（x）在（-1，0），（0，+∞）上的單調性，用零點定理判斷根的存在性更有說服力，但需要確定區間的端點，對學生分析問題、解決問題的能力要求較高.學生往往用指數函數、冪函數的增長速度進行比較：當x→-1時，f（x）→-∞，當x→+∞時，f（x）→+∞.解法2為分離參數法，當x≠0時，由fx=0，得

-a=exln（1+x）x

，轉化為函數px=exln1+xx的單調性與值域問題;解法3為圖象法，轉化為直線

y=ax與函數m（x）=-exln（x+1）

的圖象在區間（-1，0），（0，+∞）各恰有一個公共點，需要探尋m（x）的單調性、值域與凹凸性.

2.6 強化數學運算，重視數據分析

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.數據分析是針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養[3].因此，運算方向的準確性與方法的合理性至關重要.

例6（理科第20題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且經過A（0，-2），B32，-1兩點.

（1）求E的方程;

（2）設過點P（1，-2）的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH.證明：直線HN過定點.

分析：求定點、定值問題常見的方法有兩種.①從特殊情況入手求出定值，再證明這個值與變量無關;②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.第（2）問為圓錐曲線的非對稱問題，可通過兩種特殊情況下的直線MN（如直線MN的斜率不存在與直線MN過橢圓E的上頂點）確定直線HN過定點（0，-2）.背景為射影幾何中的“極點與極線”，即點P（1，-2）對應的極線為直線AB，則AP，AB，AM，AN為調和線束.過點M作MH∥AP交AB，AN于點T，H，由調和性質可知T為MH的中點. 極點極線是圓錐曲線的一個基本特征，自然成為命題者命題的背景知識和方向.若學生掌握了極點極線的相關知識，就可以從“高觀點”看待高中圓錐曲線的相關內容，更容易抓住問題的本質.

3 幾點思考

3.1 研讀課程標準與教材，落實“四基”“四能”

高考考什么？怎么考？老高考考試內容以《普通高中數學課程標準（實驗）》為標準，以《中國高考評價體系》為導向，以所學教材為載體，只有堅定目標才能做到精準定位.如第6（7）題考查程序框圖，文科第5題考查線性規劃.又如第19（19）題第（2）問，學生不能將r=

∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2變形為r=

∑ni=1xiyi-nx y∑ni=1x2i

-nx2∑ni=1y2i-ny2的形式，無法直接使用試題所提供的參考數據，只能將表格中的原始數據代入原型公式，導致不必要的運算.高考前“這屆學生是第一屆全程疫情的考生”“2022年是全國落實‘雙減的第一年”“老教材的最后一次高考”等因素導致今年高考難度降低的預言被現實擊得粉碎.唯有踏踏實實復習備考才有好的出路.

3.2 深化模型理解，提高運算能力

理科第21題第2問是關于含參數等式恰成立問題，常用解法有函數最值法、分離參數法、圖象法、必要性條件法等.解法1對參數a進行分類與整合，利用零點定理求解，與解法2、解法3本質相同均為數形結合思想方法的運用.如何提高運算能力，需要學生平時多積累必要的知識和解題經驗，更重要的是切實經歷數學運算的完整過程.

3.3 堅持全面育人，落實提質減負

2020年10月，中共中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構建引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現象.高考試題在命制時充分考慮到學生能力的個體差異，絕大多數試題的解題方法、方式不是唯一的，而是多種多樣.基礎好、能力強的考生可以通過深入的思考找到簡捷的途徑，快速解決問題，而基礎一般、能力中等的考生運用基本的方法也能解決問題，只是作答比較繁瑣、用時較多[4].減輕中小學生不合理的學業負擔，長期以來備受學校、家長和社會關注.教育要遵循教育規律，科學提升精準教學的效率，讓學生更好地發展.

愛因斯坦曾在《培養獨立思考的教育》一文中表達過：“負擔過重，必導致膚淺.”一方面試題越來越靈活，另一方面教學要求增質減負.如何解決這看似不可調和的矛盾？這就需要教師把準方向，在“理解數學、理解學生、理解教學、理解技術”基礎上進行精準教學. 學之道在于悟，教之道在于度.造成現在學生負擔較重的一個重要原因是課堂上的二級結論過多.何為二級結論？筆者認為二級結論是針對考試而衍生的名詞，其相對于一級結論而言，不同知識儲備的人對二級結論的認定也不相同.我們常常把教材中的公理、定義、定理、基本公式作為一級結論，而二級結論就是由這些一級結論得到的結論，它們一般是有利于考試的一些經驗性結論.二級結論好比是建在兩座高山山腰之間的棧道，從一座山峰到另一座山的高峰，無需先到山腳下再進行攀登，而是從山腰的這個棧道快捷地到達，它是“智者”經常涉足的一條省時省力的捷徑.隨著學科的發展和人們認知水平的普遍提高，以前的二級結論可能會升級為一級結論，又挖掘出更新的二級結論（三級結論、四級結論……，由于級別區分的界限模糊，可將其統稱為二級結論），導致二級結論數目眾多，適用范圍越來越窄（對某些條件更具針對性），技巧性越來越強.學生掌握二級結論的好處是：直接運用于客觀題，明確解答題的結論與方向然后再進行規范的表達.教師講授二級結論的反饋：（1）學生對教材的理解與使用不到位，不同于教材的結論往往更能引發學生的興趣，補充二級結論的教師往往能獲得多數學生的認同、依賴甚至崇拜;（2）能夠掌握二級結論的學生解題效率更高;（3）對資優生錦上添花，使他們視野更開闊，理解得以深化，認知水平得以提高，興趣得以提升;（4）囿于教師水平和教學時間，只有結果而無過程的結論加大學生知識識記的容量，但沒有真正理解只會讓學生的數學學習雪上加霜.事實上，學生死記硬背的結論在考試中也難以將其應用，只要掌握好一級結論并總結積累數學活動經驗，就會自然而然地發現并理解常用的二級結論.近年來，高考客觀題使用二級結論的試題逐漸減少，解答題的解題方向也更明晰，能夠直接套用二級的試題越來越少.高考表面在反套路與反押題，實質是淘汰那些淺嘗輒止只想走捷徑的學生.理科第20題的背景是否需要在課堂上講授？筆者認為完全沒有必要，即使教師講了，學生也未必能聽得懂、分得清、用得上，只會讓絕大多數學生具有挫敗感.為了避免學生“吃不飽”，可對具有強烈數學興趣的學生給予個別指導.讓不同的學生學習不同的數學，讓不同的學生在數學上得到不同的發展.

3.4 提高試題質量 實現教—學—考一致性

客觀題能考查學生視角的獨特性與思維的靈活性，但也存在少數學生“碰巧”的可能，無法體現學生的思維過程.如部分學生解答第9（12）時出現了“不妨設四棱錐的底面是正方形”，用特殊代替一般，認知理解錯誤但答案正確.試卷容量較大，學生臨場去想，沒有足夠的時間與精力去做更多可能會做的題，學生更期待在平時將題型練熟.因此，筆者建議試卷可以參考新高考試卷減少單選題、增加多選題（多選題比單選題難度增大，對學生知識精度的要求更高，更能客觀地反映學生的真實水平），減少試題數量（或者增加數學考試時間）.

高考是教與學的風向標與指揮棒.實現教—學—考的一致性是我們要努力的方向與目標.當前師生更多聚焦解題的性價比，教與學中對學生長遠發展的關注度遠遠低于高考可能取得的分數.如，部分師生放棄通過努力就能夠解決的問題，轉而對常規問題進行專項強化等.因此，筆者建議命題可加大開放度，評卷賦分（在一定規則指導下）增加靈活度，實現客觀性與主觀性的統一，讓學生優秀的想法或解法在分數上有所體現.如理科第18題第（2）問解法1與解法2對點C在平面ABD上的投影“設而不求”，思維含量不高，而解法3需要確定點C在平面ABD上的投影的位置，對學生的思維和推理能力要求較高，出錯的可能性更大，理應獲得更多的收益.

參考文獻：

[1]鄭良.聚焦核心素養 凸顯數學本質——2021年高考數學全國乙卷試題評析與教學啟示[J].中小學課堂教學研究，2021（9）：54-59.

[2]教育部考試中心.中國高考評價體系 [M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]中國人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[4]晨旭.突出邏輯推理 加強應用能力考查——2014年全國高考數學試題評析[J].中國考試，2014（10）：14-17.