數列解題中提取有效數據信息的思考

楊紹慧

摘要：結合實例，從規律歸納、邏輯推理、創新定義等角度入手，提取數列中的數據信息進行有效數據分析，達到真正提升能力，落實核心素養的目的.

關鍵詞：核心素養;數據分析;數列;規律歸納;邏輯推理;創新定義

1 問題的提出

數據分析與數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算一起，共同構成高中數學學科的六大核心素養，是在《普通高中數學課程標準（2017年版）》“課程基本理念”部分首次創新性地提出的要充分滲透到高中數學的教學與教育中去.

數據分析，就是利用統計方法對數據進行有效整理、分析與處理，進而得以解決問題.其實，在其他的數學知識體系中，比如集合、數列、函數等相關知識中，也有很多相關的數據分析問題.那么，在數列解題過程中，如何針對不同場合、不同數學知識體系中的數據信息，通過分析處理提取合理的、有價值的數據，為解決問題指明方向？同時，根據數列中不斷適應數字化學習的要求，如何增強數據分析能力，通過合理分析，進而得以合理、高效解決問題呢？

2 問題的解決

2.1 從規律歸納入手提取數據信息加以數據分析

數列中的很多問題都可以從數列的性質、通項公式的特征、遞推關系式的規律等入手，提取數列中的項、項數等數據的規律信息，進而加以合理的數據分析、邏輯推理與數學運算等.

例1 （“超級全能生”2018年9月浙江省高三數學測試·10）已知數列{an}滿足a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），設bn=an-1an+1，則b100=（? ）.

A.3-198

B.3-298

C.3-299

D.3-2100

分析：結合數列的遞推關系式分別確定b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4的值，分析這些特殊項的數據規律，進而合理歸納并確定bn表達式的規律，達到確定b100的目的.

解析：由a1=2，an+1=12（an+1an）（n∈N*），bn=an-1an+1，可得b1=a1-1a1+1=13=3-1=3-20.

由a2=12（2+12）=54，可得

b2=a2-1a2+1=19=3-2=3-21.

由a3=12（54+45）=4140，可得

b3=a3-1a3+1=181=3-4=3-22.

由a4=12（4140+4041）=3 2813 280，可得

b4=a4-1a4+1=16 561=3-8=3-23.

歸納可知b100=3-2100-1=3-299.故選擇答案：C.

點評：本題通過一個數列的首項以及兩個數列間的遞推關系式來確定另一個數列的確定項.破解方法較多，而借助特殊值歸納法，利用數據分析，巧妙通過遞推關系式進行鏈接，達到合理推理，巧妙歸納的目的.

2.2從邏輯推理中提取數據信息加以數據分析

從題目條件入手，進行必要合理的邏輯推理，往往可以從中合理提取數列中的相應數據信息，巧妙構建相應的數學模型，進而利用數學模型的解決與應用來達到數據分析與應用的目的.

例2 （江蘇省南通等七市2019屆高三第二次調研測試·14）已知集合A={x|x=2k-1，k∈N*}，B={x|x=8k-8，k∈N*}，從集合A中取出m個不同元素，其和記為S;從集合B中取出n個不同元素，其和記為T;若S+T≤967，則m+2n的最大值為.

分析：根據題目條件進行合理的邏輯推理以及數據分析，要使m+2n的值最大，則加在一起的項數應最多，使相加的項最小，進而利用等差數列的前n項和將S，T分別表示出來，代入不等式，再利用基本不等式可得相應關系式的最值即可.

解析：要m+2n的值最大，即滿足S+T≤967時，加在一起的項數應最多，使相加的項最小.

將集合A，B的元素分別按從小到大順序排列，則集合A為以1為首項，2為公差的等差數列，故S=1+（2m-1）2·m=m2.

同理，T=0+（8n-8）2·n=4n2-4n.

則由967≥S+T=m2+4n2-4n，得968≥m2+（2n-1）2≥2（m+2n-12）2，

可得m+2n-1≤44，當且僅當m=2n-1=22時，等號成立.因為n為整數，所以取m=22，n=11時，

m+2n=44.故填答案：44.

點評：數據信息隱藏于題目中，通過有效分析題目條件，綜合相應的數學知識進行正確的邏輯推理，提取相應的數據信息，結合限制條件或自身背景等，正確分析、合理推理、巧妙運算，進而分析所得結果并利用數據信息加以綜合應用，從而達到解決問題的目的.

2.3 從創新定義中提取數據信息加以數據分析

根據創新定義挖掘本質，從中提取出有效的數據信息，通過創新公式、圖表、數表等的綜合與應用，進行必要的數據收集、整理，綜合數列知識加以邏輯推理或數學運算，滲透創新意識.

例3 對于任意的x∈R，[x]表示不超過x的最大整數，如[1.9]=1，[log263]=5.設數列{an}的前n項和為Sn，且an=[log2（n+1）]，則滿足Sn>2 019的最小整數n為（? ）.

A.314?? B.315?? C.316?? D.317

分析：從創新定義入手，分別計算數列{an}的項的值，其對應的項恰好是21個1，22個2，23個3……結合Sn>2 019分析數據信息，并根據條件確定滿足Sn>2 019的最小項，進而結合數列通項公式來確定最小整數n的值.

解析：由題意可得[log22]=[log23]=1，有2個1，即21個1;

[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2，有4個2，即22個2;

…………

[log2 256]=[log2 257] =[log2 258]=……

=[log2 511]=8，有256個8，即28個8;

而[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]=1×21+2×22+3×23+……+7×27=1 538<2 019，

[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2511]=1×21+2×22+3×23+……+7×27+8×28=3 586>2 019.

又2 019-1 538=481，481÷8=60.125，那么至少還需要61個8加起來才滿足Sn>2 019.

即[log22]+[log23]+[log24]+……+[log2255]+[log2 256]+……+[log2 316]>2 019.

而an=[log2（n+1）]，所以滿足Sn>2019的最小整數n為315，

故選擇答案：B.

點評：正確理解創新定義，合理求數列的和是關鍵.利用創新定義，借助數列求和，對不同條件下所滿足的不等式進行有效數據分析，進而確定滿足條件的參數值，為數據分析及信息處理提供更多的有用條件.

3 感悟與反思

數據分析在數列解題中具有非常重要的地位，在數列的通項公式、數列的性質、數列的遞推關系式、數列與不等式的關系以及其他一些相關問題中，經常會借助數據處理與分析，通過對數列中的相關數據的收集、整理、提取，進而合理構建特殊數列模型，最后得以合理推斷，獲得結論.