解析幾何優化運算的嘗試

饒艷 陳倫全

摘要：解析幾何是溝通代數與幾何的橋梁，是初等數學到高等數學的紐帶。 解析幾何是用代數的方法系統研究幾何，促進代數幾何完美融和及日新月異的發展。抓住解決解析幾何問題的核心思想——構建充滿聯系的知識結構，探究問題背后的本質規律，掌握解決問題的基本策略，優化數學運算的繁瑣冗長，對于培養學生的數學能力（邏輯推理能力、運算求解能力、直觀想象能力、數學建模能力和創新能力）有著非常重要的作用。

關鍵詞：核心素養;優化運算;立德樹人

一，神機妙算

解析幾何對運算能力的考查要求較高，學生感受在解析幾何中常常“想不到”、“算不出”。 所以如何優化運算，提高運算能力，就顯得尤為重要。

1.規范作圖，有效識圖

規范地作出幾何圖形能夠提供較為準確的研究對象，是研究幾何問題的基礎。作圖的過程既是幾何條件的梳理過程，也是運算思路的探究過程，綜合考查了信息轉化能力、動手操作能力和形象思維能力。借助規范的圖形，通過直觀想象可以有效猜測幾何圖形的性質，通過代數運算，驗證猜測，充分體現了數形結合思想、化歸與轉化的思想。

例1 【2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅲ）】若直線與曲線和都相切，則的方程為（ ）

與圓M相切，同理，（此方程等價于與圓M相切）。要證明直線與圓M相切，即圓點M到直線的距離。

評析：試題將直線與拋物線、直線與圓等內容有機結合，試題重視對稱美等數學美的理解和應用，對學生的邏輯推理能力、運算求解能力有較高的要求。本題解答的關鍵是選擇作參數，明確運算方向，合理運用同理可得，優化運算過程。試題能較好地區分不同層次的考生，具有較好的選拔功能，而且試題的設計關注了新課程標準下解析幾何這部分內容的要求，試題重基礎、重能力、重應用、重創新，對引領中學數學課程教學與改革起到了積極的導向作用。

二、育人價值

高中階段解析幾何板塊優化數學運算的策略，主要涉及以下幾個方面：理解運算條件，探究運算方向，選擇運算公式、設計運算程序和求得運算結果。

1.全面要求，綜合考查——以關鍵能力作為主線

突出理性思維，考查關鍵能力：比如2021年全國甲卷理科第20題（文科21）對于平面幾何中直線與直線、直線與曲線位置關系的判定，會注重考查直觀想象能力、邏輯推理能力、作圖識圖能力、數學運算能力、轉化與化歸、數形結合思想，會利用式子結構特征簡化運算過程，考查學生對于數學的應用意識，應用能力。2020年全國Ⅲ卷理科第20題（文科21題）考查橢圓標準方程、定義、離心率及三角形面積問題，注重考查直觀想象能力、邏輯推理能力、作圖識圖能力、數學運算能力、轉化與化歸、數形結合思想，考查考生綜合與靈活地應用所學數學知識、思想方法，選擇有效的方法、途徑和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，尋找更優的運算方向，創造性地解決問題的創新能力與創新意識。這類試題在考查理性思維、數學應用和數學探索等學科素養的同時，也在考查學生面對現實的問題情境時應當表現的情感態度和價值觀。

2.立足學科，展現思維——以思想方法作為引領

比如2021年全國甲卷理科第15題、2019年全國II卷理科第11題等，試題堅持以學生學習與運用知識解決問題所需要的函數與方程、數形結合、分類整合、化歸與轉化、特殊與一般等思想方法和歸納推理、類比推理、演繹推理等具體方法為靈魂，立足解析幾何學科特點，突出考查考生獨立思考、綜合運用數學思想方法分析問題和解決問題的能力。

3.彰顯價值，立德樹人——以學科育人為追求

關注學生鍥而不舍的鉆研精神和科學態度，以及對數學的科學價值、應用價值的認識，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神。

綜上，培養和提升學生解析幾何中的作圖識圖能力和直觀想象能力，通過分析圖形與圖形、圖形與數量的關系來尋找更優的運算方向。培養學生發現問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學數學知識、思想方法，選擇有效的方法、途徑和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，創造性地解決問題的創新意識。 樹立戰勝困難的信心，培養鍥而不舍的精神，為學生的終身學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]李寬珍 .基于核心素養理念下的解題教學初探——以一道高考題為例[J].中學數學，2018.（5）：14-17.

[2]葉長琴.多向思考提升數學運算核心素養—以一道解析幾何題為例[G].中學生數學，2020.7，15：17.