解析幾何優(yōu)化運(yùn)算的嘗試

饒艷 陳倫全

摘要：解析幾何是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，是初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的紐帶。 解析幾何是用代數(shù)的方法系統(tǒng)研究幾何，促進(jìn)代數(shù)幾何完美融和及日新月異的發(fā)展。抓住解決解析幾何問題的核心思想——構(gòu)建充滿聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)，探究問題背后的本質(zhì)規(guī)律，掌握解決問題的基本策略，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的繁瑣冗長(zhǎng)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力（邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力）有著非常重要的作用。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);優(yōu)化運(yùn)算;立德樹人

一，神機(jī)妙算

解析幾何對(duì)運(yùn)算能力的考查要求較高，學(xué)生感受在解析幾何中常常“想不到”、“算不出”。 所以如何優(yōu)化運(yùn)算，提高運(yùn)算能力，就顯得尤為重要。

1.規(guī)范作圖，有效識(shí)圖

規(guī)范地作出幾何圖形能夠提供較為準(zhǔn)確的研究對(duì)象，是研究幾何問題的基礎(chǔ)。作圖的過程既是幾何條件的梳理過程，也是運(yùn)算思路的探究過程，綜合考查了信息轉(zhuǎn)化能力、動(dòng)手操作能力和形象思維能力。借助規(guī)范的圖形，通過直觀想象可以有效猜測(cè)幾何圖形的性質(zhì)，通過代數(shù)運(yùn)算，驗(yàn)證猜測(cè)，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想。

例1 【2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）】若直線與曲線和都相切，則的方程為（ ）

與圓M相切，同理，（此方程等價(jià)于與圓M相切）。要證明直線與圓M相切，即圓點(diǎn)M到直線的距離。

評(píng)析：試題將直線與拋物線、直線與圓等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，試題重視對(duì)稱美等數(shù)學(xué)美的理解和應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力有較高的要求。本題解答的關(guān)鍵是選擇作參數(shù)，明確運(yùn)算方向，合理運(yùn)用同理可得，優(yōu)化運(yùn)算過程。試題能較好地區(qū)分不同層次的考生，具有較好的選拔功能，而且試題的設(shè)計(jì)關(guān)注了新課程標(biāo)準(zhǔn)下解析幾何這部分內(nèi)容的要求，試題重基礎(chǔ)、重能力、重應(yīng)用、重創(chuàng)新，對(duì)引領(lǐng)中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)與改革起到了積極的導(dǎo)向作用。

二、育人價(jià)值

高中階段解析幾何板塊優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的策略，主要涉及以下幾個(gè)方面：理解運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序和求得運(yùn)算結(jié)果。

1.全面要求，綜合考查——以關(guān)鍵能力作為主線

突出理性思維，考查關(guān)鍵能力：比如2021年全國(guó)甲卷理科第20題（文科21）對(duì)于平面幾何中直線與直線、直線與曲線位置關(guān)系的判定，會(huì)注重考查直觀想象能力、邏輯推理能力、作圖識(shí)圖能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)利用式子結(jié)構(gòu)特征簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，應(yīng)用能力。2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第20題（文科21題）考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、定義、離心率及三角形面積問題，注重考查直觀想象能力、邏輯推理能力、作圖識(shí)圖能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想，考查考生綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法、途徑和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，尋找更優(yōu)的運(yùn)算方向，創(chuàng)造性地解決問題的創(chuàng)新能力與創(chuàng)新意識(shí)。這類試題在考查理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)的同時(shí)，也在考查學(xué)生面對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題情境時(shí)應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)的情感態(tài)度和價(jià)值觀。

2.立足學(xué)科，展現(xiàn)思維——以思想方法作為引領(lǐng)

比如2021年全國(guó)甲卷理科第15題、2019年全國(guó)II卷理科第11題等，試題堅(jiān)持以學(xué)生學(xué)習(xí)與運(yùn)用知識(shí)解決問題所需要的函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般等思想方法和歸納推理、類比推理、演繹推理等具體方法為靈魂，立足解析幾何學(xué)科特點(diǎn)，突出考查考生獨(dú)立思考、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力。

3.彰顯價(jià)值，立德樹人——以學(xué)科育人為追求

關(guān)注學(xué)生鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度，以及對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神。

綜上，培養(yǎng)和提升學(xué)生解析幾何中的作圖識(shí)圖能力和直觀想象能力，通過分析圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系來尋找更優(yōu)的運(yùn)算方向。培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法、途徑和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，創(chuàng)造性地解決問題的創(chuàng)新意識(shí)。 樹立戰(zhàn)勝困難的信心，培養(yǎng)鍥而不舍的精神，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]李寬珍 .基于核心素養(yǎng)理念下的解題教學(xué)初探——以一道高考題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018.（5）：14-17.

[2]葉長(zhǎng)琴.多向思考提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)—以一道解析幾何題為例[G].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2020.7，15：17.