從“解析幾何的運(yùn)算”看高考中的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)

陳淑玲

【摘要】“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是指在解題過(guò)程中，對(duì)運(yùn)算的對(duì)象、法則、思路、方法的理解、掌握、探究和選擇.本文從“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵出發(fā)，結(jié)合高中生運(yùn)算水平現(xiàn)狀，從解析幾何的運(yùn)算談如何優(yōu)化運(yùn)算.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)運(yùn)算;內(nèi)涵;現(xiàn)狀;優(yōu)化運(yùn)算

【基金項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“靈動(dòng)課堂理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKXB20-870）的研究成果

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”并不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，它反映了一名學(xué)生的綜合能力.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)構(gòu)成要素之一，它幾乎貫串其他五個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，是高考中考查比例最大的一個(gè)核心素養(yǎng).

一、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”意味著在解決問(wèn)題的過(guò)程中，選擇適當(dāng)?shù)乃惴▉?lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心水平.它主要包含：清晰計(jì)算對(duì)象，了解操作算法，利用運(yùn)算思想，確定操作方法，設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程，找到操作的結(jié)果.高中數(shù)學(xué)課程旨在從多角度標(biāo)準(zhǔn)化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并可以有效解決實(shí)際問(wèn)題.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本途徑.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該注意如何更好地提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng).

二、高中生運(yùn)算水平現(xiàn)狀

部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算不重視，只注重解題思路方法的探索.比如，解析幾何中的求圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)，有些學(xué)生思路會(huì)了就放棄具體運(yùn)算，結(jié)果到了真正運(yùn)算時(shí)，往往因?yàn)橄议L(zhǎng)運(yùn)算公式的選取缺乏合理性導(dǎo)致計(jì)算量偏大，還有些學(xué)生因?yàn)橐粋€(gè)符號(hào)或坐標(biāo)的出錯(cuò)，導(dǎo)致整道題算錯(cuò).久而久之，很多學(xué)生出現(xiàn)解題思路清晰，解題時(shí)過(guò)多地依賴(lài)口算、心算，不愿意在草紙上動(dòng)筆，結(jié)果極容易失誤.一旦遇到解析幾何中運(yùn)算量比較大的復(fù)雜運(yùn)算，就產(chǎn)生畏懼心理和不自信心理，經(jīng)常是一個(gè)題目拿到手，不知從何入手開(kāi)始運(yùn)算，于是開(kāi)始依賴(lài)計(jì)算器和“小猿搜題”等軟件，圖省事、求快速，不愿自己動(dòng)腦動(dòng)手.在數(shù)學(xué)解題中，有些學(xué)生在解題時(shí)稍微遇到難一點(diǎn)的運(yùn)算就沒(méi)勇氣往下算，還有些學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中，書(shū)寫(xiě)潦草，導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)，運(yùn)算結(jié)束后，缺乏對(duì)運(yùn)算結(jié)果的檢查、檢驗(yàn)過(guò)程，導(dǎo)致不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)并改正錯(cuò)誤.解題后，學(xué)生不善于歸納、總結(jié)、反思解題運(yùn)算的方法技巧，沒(méi)有思維的發(fā)散性，對(duì)于能一題多解的問(wèn)題，只能找到比較常規(guī)的解法，沒(méi)法尋求更簡(jiǎn)便的運(yùn)算途徑，不去選取更合理的運(yùn)算策略，運(yùn)算過(guò)程煩瑣笨拙，從而導(dǎo)致運(yùn)算失誤或緩慢，必然導(dǎo)致正確率下降，進(jìn)而打擊了學(xué)習(xí)的積極性.

由于高中數(shù)學(xué)內(nèi)容多、課時(shí)少，導(dǎo)致教學(xué)任務(wù)繁重，部分教師對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解不到位，在課堂上只注重解題思路和方法的探求，忽視對(duì)具體運(yùn)算過(guò)程的示范、引領(lǐng)、指導(dǎo)和要求，很少給學(xué)生預(yù)留當(dāng)堂完成運(yùn)算求解的時(shí)間和機(jī)會(huì)，這就不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)并指正學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤.而對(duì)于學(xué)生作業(yè)和考試中的運(yùn)算錯(cuò)誤，由于教師缺乏重視，只是讓學(xué)生自己核對(duì)答案并訂正，很多學(xué)生忙于完成大量的作業(yè)，并沒(méi)有真正將訂正落實(shí)到位，學(xué)生的運(yùn)算能力自然下降.

三、提高高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的具體實(shí)踐

無(wú)算不成數(shù)學(xué)題，要有不怕算的思想.高中生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力就是能夠按照題目的條件、待求等，探求與設(shè)計(jì)合理的運(yùn)算路徑，在兼顧計(jì)算方法的技巧性和計(jì)算速度的快捷性的同時(shí)，保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.算理就是計(jì)算過(guò)程中的原理，是解決為何這樣算的問(wèn)題.比如，有的同學(xué)看到二次方程就用韋達(dá)定理，但是沒(méi)有判別式作保證，算理不對(duì)就會(huì)使計(jì)算結(jié)果失去意義.當(dāng)然，我們還希望簡(jiǎn)捷，能兩步求解就不要搞成三步、四步，多想少算、優(yōu)算肯定是上策，在運(yùn)算以前盡量考慮多種可能的方案，比較彼此的優(yōu)劣，像下圍棋一樣，走一步要想好后面的幾步，所謂“磨刀不誤砍柴工”，這就需要解法的設(shè)計(jì).拿到題后沒(méi)有斟酌直接計(jì)算，很容易誤入歧途，特別是運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題，運(yùn)算在求解解析幾何問(wèn)題中的地位大家都是清楚的，那么該如何優(yōu)化運(yùn)算呢？

1.優(yōu)化常規(guī)動(dòng)作

例1 已知點(diǎn)P是圓Q：（x+2）2+y2=32上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)R（2，0），線(xiàn)段PR的中垂線(xiàn)與半徑PQ相交于M點(diǎn)，點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為E.若點(diǎn)N在雙曲線(xiàn)x24-y22=1（頂點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N，R的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相交于A，B，過(guò)點(diǎn)N，Q的直線(xiàn)與曲線(xiàn)E相交于C，D，請(qǐng)問(wèn)：|AB|+|CD|是否為定值（說(shuō)明理由）？

問(wèn)題分析：這是一道常規(guī)的涉及圓錐曲線(xiàn)的弦長(zhǎng)的問(wèn)題，學(xué)生基本上按部就班求解即可.易求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為x28+y24=1①，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k1（x-2）=2②，聯(lián)立①②消元得（2k21+1）x2-8k21x+8k21-8=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=8k212k21+1，x1x2=8k21-82k21+1，可以求出

AB= 1+k21· x1+x22-4x1x2

= 1+k21· 8k212k21+12-4·8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1.（*）

然而，在許多情況下，聯(lián)立圓錐曲線(xiàn)方程與直線(xiàn)方程消元后得到的一元二次方程的系數(shù)都含有參數(shù)，利用韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)，計(jì)算量都不小.如果用AB= 1+k21 Δa= 1+k21 -8k212-4（2k21+1）8k21-82k21+1=42（k21+1）2k21+1求解，可以發(fā)現(xiàn)利用韋達(dá)定理實(shí)實(shí)在在是繞了一大圈，前面寫(xiě)出的韋達(dá)定理沒(méi)有任何作用，這個(gè)步驟的優(yōu)化，可以減少含參數(shù)的式子的化簡(jiǎn)，減少出錯(cuò)的概率.

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為22，過(guò)左頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓交于另一點(diǎn)B.若|AB|=43，求直線(xiàn)l的傾斜角.

問(wèn)題分析：這個(gè)問(wèn)題也與弦長(zhǎng)問(wèn)題有關(guān)，容易求得橢圓方程為x22+y2=1.很多學(xué)生設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程，得到（2k2+1）x2+42k2x+4k2-2=0，不管是直接用韋達(dá)定理代入弦長(zhǎng)公式AB= 1+k2· x1+x22-4x1x2，或是利用公式AB=1+k2Δa求解，計(jì)算量都不小，但是，如果能發(fā)現(xiàn)本題中一元二次方程中有一個(gè)根是-2，則有-2+xB=-42k22k2+1，就容易求得另外一個(gè)根為xB=2-22k22k2+1，則AB= 1+k2xA-xB=1+k2·222k2+1=43，這樣運(yùn)算就可以減少計(jì)算量.這就需要學(xué)生突破常規(guī)，在熟練運(yùn)算中養(yǎng)成“常規(guī)動(dòng)作”的好習(xí)慣，靈活選取最適合的弦長(zhǎng)公式解題，優(yōu)化步驟才能保證解題質(zhì)量.又如，設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)方程形式的選取，不同形式的直線(xiàn)方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大小.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y=kx+b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”;若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為x=my+n可以減小運(yùn)算量，即“直線(xiàn)定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”.