試論三角形面積法在初中幾何問題中的運用策略

摘 要：初中階段，學生的學業任務增加，加之面臨中考的壓力，每門學科的發展水平都將影響學習成效。因此在解決數學問題時，尋求合理、簡潔的解題方法是教師所面臨的思考課題。而三角形面積法是學生處理三角形的高線、中線和角平分線與三角形面積關系的方法之一。文章將從不同角度闡述了三角形面積法在初中幾何問題中的應用，為教師教學提供一些參考。

關鍵詞：三角形面積法;初中;幾何

一、 引言

初中數學課程標準中明確指出，數學教師應當激發學生的學習興趣，為學生創建不同情境，提供真正的參與學習活動的機會，真正培養學生理解和掌握數學知識的技能以及方法，并將這些技能與方法活學活用。

使用三角形面積公式及其推論來證明平面幾何題的方法，通常稱為三角形面積法。在具體教學過程中，此方法卻容易被教師和學生忽略，從而出現一些簡單問題復雜化。因此，教師應當正確認識問題，并且引導學生合理利用三角形面積法解決一些數學問題，提升學生的幾何學習能力。以下將從不同角度闡述三角形面積法在初中幾何中的應用。

二、 在給定的條件中出現與高相關的線段

三角形的高線是常見的線段，它直接與三角形的面積相關，利用三角形面積法解決幾何問題，離不開高線的使用。如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D為底邊BC上任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：DE+DF是一個定值。該問題的解決思路是推導DE+DF為定值所表示的線段，因此，可以通過引入特殊情況下驗證推理：由點D為線段BC上任意一點，所以當點D與點B或點C重合時，線段DF是△ABC的高，此時DE+DF等于AC邊上的高線BG（如圖2）。此時過點D作DH⊥BG交BG于點H，由矩形DFGH性質得出HG=DF，再由S△BDE=S△DHB，得出BH=DE，驗證上述結論。

由于這類問題與三角形的高有關，若借助三角形面積法解決此問題就相對容易。具體如下：由三角形的面積計算公式知道，當兩個三角形是等底或者同底時，將問題簡化成推算高線之間的數量關系。例題中DE和DF都是與三角高形相關，若連接AD，則△ABC被分成兩個三角形（如圖3），所以S△ABC=S△ABD+S△ACD。由于AB=AC，易得到DE+DF=BG。這樣通過應用三角形面積法簡化問題，提高學生解題速度，拓展解題思路，樹立學生數學建模思想等。

三、 在給定的條件中出現三角形的中線

使用三角形面積法時，除使用到三角形的高線之外，三角形的中線也是常用簡化工具。如圖4，在△ABC中，已知邊BC、AC上的中線AD，BF交于點M，求證：MD=1/2AM。對于三角形重心性質的證明，教師在課堂上一般會使用添加平行線的方法，利用平行線分線段成比例的定理來解決相關問題。如圖5過點D做DH∥BF交AC于點H，由D、F為中點，得CH=FH=1/2FC，AF=FC=2FH，再由DH∥MF，得MD∶AM=FH∶AF，從而得出MD=1/2AM。

這道題我們不妨用“三角形面積法”來解，根據同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等可得三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩部分。由此可知線段AM、MD可以看作是同高的兩個△ABM和△DBM對應的底邊。此時要得AM、MD數量關系，只要說明△DBM、△ABM的面積數量關系即可，所以連接MC（如圖6），由BF、MF分別是△ABC與△AMC邊AC上的中線，可知S△ABC=2S△CBF，S△AMB=S△CMF，由等式的性質可得S△ABM=S△CBM，由DM是△ABC中BC邊上的中線，可知S△DBM=S△CDM=1/2S△CBM，等量代換之后，S△DBM=1/2S△ABM，得出結論MD=1/2AM。顯然這種方法來論證簡潔易懂。

另外，教師在對學生進行“三角形面積法”引導時，可舉一反三，通過類比，建立相關數學模型，使學生進一步理解和正確地運用該方法。例如變式：

變式一：如圖7，在△ABC中，已知點D是邊BC上靠近B的一個三等分點，AD與AC上的中線BF交于點M，此時MD和AM之間有著什么樣的數量關系？

變式二：如圖8，在△ABC中，已知點D是邊BC上靠近B的一個三等分點，點F是邊AC上靠近點A的一個三等分點，AD與BF相交于點M，此時MD和AM之間有著什么樣的數量關系？

在圖6中連接MC，BF為中線的條件不變，由上面例子可推出S△ABM=S△CBM。由點D是邊BC上靠近點B的一個三等分點得出S△DBM∶S△CBM=BD∶BC=1/3，S△DBM∶S△ABM=1/3，S△DBM∶S△CBM=MD∶AM=1/3，所以MD=1/3AM。而變式二則是在變式一的基礎上深入探究。由點F是AC上靠近點A的一個三等分點，由△ABM和△CBM的面積關系得到S△ABF∶S△CBF=AF∶CF=1/2，S△AMF∶S△CMF=AF∶CF=1/2，S△ABM=S△ABF-S△AMF=1/2（S△CBM-S△CMF）=1/2S△CBM。可利用變式一結論推出MD=2/3AM。在對變式探究完成之后，教師還可以將問題進一步拓展.點D是邊BC上靠近B的一個n等分點，點F為AC邊上靠近點A的一個m等分點，在相互討論之后，可以推導出如下關系：DM∶AM=（m-1）∶2n。通過以上這種由淺入深，由易到難的層層變式，學生既能更好掌握和正確使用此方法，且類比、建模等數學思想也得到提升。

四、 在給定的條件中出現角平分線

通常三角形面積法大多會使用在特殊的三角形中，如直角三角形、等腰三角形或者存在特殊角度的三角形（因為三角形若有特殊的角更容易準確計算出數值）。但是如果利用三角形角平分線性質，合理地使用三角形面積法解決一些數學問題，將會收獲到意想不到的效果。如圖9，AD是△ABC中∠BAC的平分線，求證：AB∶AC=BD∶DC。此類問題，學生首先會想到角平分線定義，從兩角相等的視角去解題。通過構造平行線，利用平行線分線段成比例定理證得結論成立。如圖10，過點D作DE∥AC交AB于點E，得到BD∶DC=BE∶AE，BE∶AB=DE∶AC，再根據角平分線的定義以及平分線性質可以推出AE=DE，最后通過等量代換證出上述結論。我們不妨改用“三角形面積法”來解決此題，我們知道角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，由此聯想到角平分線分成的兩個三角形之間高相等，再根據同高或等高的兩個三角形面積之比等于底邊比。如圖11，過點D作DH⊥AB于點H，DG⊥AC于點G，由AD是∠BAC的平分線可知，通過等量代換就可完成證明。可見，當學生若能夠熟練運用三角形角平分線定義和性質時，合理使用三角形面積法來解決問題顯然更簡單。再舉一反三、變式的探究講解，就能更好地落實初中數學幾何問題的教學目標。

五、 總結

綜上所述，初中數學課堂上如果使用三角形面積法，可以成功并快速地解出更多的幾何題目。具體地說，就是一方面可以將平面多邊形化成不同的三角形，通過三角形的面積之和計算出多邊形的面積之和。另一方面也可以將一個三角形分割成不同的三角形，然后從不同角度計算出每一個三角形的面積，從而找出需要認證的數值或者公式等。因此，正確合理地使用“三角形面積法”解決一些數學幾何問題，可提高學生分析問題、解決問題的能力和速度，培養學生的數學發散思維和邏輯思維等，進而提高學生的幾何素養。

參考文獻：

[1]沈小福.初中三角形內切圓的教學應用研究[J].數學學習與研究，2017（21）：114.

[2]王達海.初中二次函數三角形面積問題研究[J].課程教育研究：外語學法教法研究，2019（11）：56-57.

[3]廖紅麗.“面積法”引入中學幾何課堂[J].中學數學研究（下半月），2017（3）：27-29.

作者簡介：

應文娣，福建省南平市，福建省南平市第三中學。