問題串在高中數學概念課教學中的有效運用

陸敏陽

[摘? 要] 數學概念是數學對象空間性質以及數量關系本質屬性的反應，數學的推理、判斷都是以數學概念為依據的，數學定理、法則以及公式也都是以數學概念為基礎而生成的. 但是在高中數學的實際教學中，教師缺乏對數學概念的重視. 因此，在教學中，我們可以通過設計問題串的方式一步一步地分析高中數學概念，提高學生理解概念和運用概念的能力.

[關鍵詞] 高中數學;概念教學;有效運用

問題串和高中數學概念教學的關系

問題串數量繁多，連接緊密，可以很好地運用到概念生成教學中. 在概念生成過程中，學生們會遇到很多困惑. 主要分為兩種：（1）對新知識的不理解，沒有明白概念的具體含義，只是通過簡單的背記掌握特點，然后運用到具體的解題中. 可以解決簡單的概念題，但對于復雜的概念辨析題，常常找不出頭緒. （2）新舊知識的沖突，學生學習的新知識和舊知識很相近，區(qū)分起來比較困難，導致概念混淆. 又或者學生學習的新知識和舊知識之間存在矛盾，學生不知道如何處理，導致學習過程停滯不前. 當新知識的內容和舊知識的內容出入時，教師就要積極介入. 而問題串運用到概念教學中就可以很好地解決學生們的困惑. 在高中數學的學習中，正余弦定理、函數、直線斜率的概念教學比較困難. 本文特意選取這三個部分，探討問題串和概念教學的融合方式.

基于概念生成過程的問題串的應用

1. 正弦定理教學

正弦定理的具體內容是：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等. 通過正弦定理，可以把三角形的邊和角聯系起來. 通過兩條邊和一個角或者一個角和兩條邊就可以獲得一個三角形的全部信息. 研究常見的數學題目，正弦定理會和具體的數學情景相結合，以填空題或應用題的形式出現，難度中等. 如果同學們不清楚正弦定理的概念，計算起來會非常麻煩，很容易出錯.

為了讓同學們消化正弦定理的相關概念，本文設置了六個問題：（1）現有一個直角三角形，直角部分缺失，可以將其補齊嗎？如何補齊？（2）在Rt△ABC中，已知sinA= ，sinB= ，而sinC=sin90°=1，如何用字母a，b，c表示sinC？（3）在直角三角形中，存在以下等式： = = ，從中可以得出什么結論？（4）可以發(fā)現，在直角三角形中，有如下結論：三角形各邊及其所對角的正弦之比相等，那么對于一般三角形而言，是否也存在這一準則呢？（5）在銳角三角形和鈍角三角形中，是否也存在 = = 這一等式呢？（6）通過幾何畫板，基本上可以得出 = = 這一結論，這一結論也被稱之為正弦定理，那么該如何證明這一結論呢？

問題（1）的提出在于結合實際生活引導學生從生活當中觀察相關的數學知識，發(fā)展學生的數學思維. 而如果是直接從問題（2）導入課程，盡管能夠快速直接地進入課程的教學，但是沒有引發(fā)學生的深入思考以及積極探索. 提出問題（1），學生會思考能夠應用多種方法來完成這一問題，例如說使用直尺測量，測角儀測量之后再應用正弦定理，從而計算出直角邊，進而再順勢引入問題（2），而接下來的問題（3）、問題（4）以及問題（5）則充分地體現出定理的從特殊到一般，并應用幾何畫板，可以使學生對于定理有著更加直觀形象的理解. 問題（6）需要教師重點講解. 有些教師為了省事，會直接告訴學生結論，不帶領學生推導. 我們可以通過三種方式和途徑來證明正弦定理. 每種方式有著不同的思維訓練點，能夠使學生的概念生成過程更加清晰. 問題串中的每一個問題都發(fā)揮著特殊的作用，是必不可少的. 少一個問題都會變得不完整.

通過本節(jié)課的學習，學生們的收獲非常多. 學生們掌握了解決任意三角形邊角關系的重要工具，了解了正弦定理的證明方法，認識了實際生活中三角度量的運用. 這是知識，也是收獲.

2. 函數教學

在初中數學學習中，學生們就接觸到了不少簡單的函數. 在高中，學生們會學習到一些新的函數. 總之，從一開始我們就不斷地完善和擴展函數知識，以實現對函數定義的進一步明確化. 分析歸納，函數概念的確定主要經歷了三個階段：變量說、對應說以及關系說. 變量說要求學生明白函數中的自變量和因變量. 對應說要求學生注重函數的對應關系. 關系說要求學生明白變量間的關系.

本文針對高中函數教學中的對應說，提出了以下問題串：（1）初中的時候，我們對于函數已經展開了教學，而高中再次教學，初中函數與高中函數是否具有矛盾呢？（2）根據初中所學習的函數相關概念和定義，以下代數式是否為函數呢？y=x，y= ，y=x2+x+1，y=2. （3）假設 A（2，2）與B（0，2）為兩個定點，而點P是x正半軸上的一個動點，設其坐標為（x，0），那么，假設這個三角形的面積為y，請回答y是不是關于x的函數？與y=2之間是什么關系？（4）y=x，y= 這兩個式子代表著一個函數嗎？

以上四個問題的設計目的是為了說明：初中函數主要圍繞變量說來展開教學，重在強調變量之間的基本關系，是相對宏觀的，但是高中函數更加注重具體的對應關系，是微觀的. 因此以上問題串的提問，就在于使學生領悟，初中函數和高中函數的概念基本上是一致的，是函數概念兩個不同階段的理解，兩者之間不存在矛盾. 問題（1）幫助學生們銜接初中和高中的概念學習. 問題（2）則重點回顧了原先學習的舊知識，前三個式子為函數，分別是正比例函數、反比例函數以及二次函數，而y=2不是函數. 問題（3）強調了函數當中變量的重要性，為接下來函數教學打好了基礎. 問題（4）則檢驗學生對于函數概念的理解. 在函數的學習中，概念辨析類題目比較多，形式也比較多，因為函數的概念分枝比較多. 學生們要理解函數概念有三個要素，由此判斷一個式子是否為函數.

高中函數教學與初中函數教學有著明顯的不同，高中函數教學重在以集合為基礎導入概念，而且還引入了抽象的函數符號，難度比初中函數教學大很多. 為此，高中的函數概念教學要盡可能地把抽象、復雜的知識直觀化和簡單化，加強高中函數概念理解.

3. 直線斜率教學

本文以高中數學直線的傾斜角和斜率這一節(jié)為例，探討問題串的設置. 本節(jié)的重點是讓學生們理解直線傾斜角的唯一性和直線斜率的存在，這是正確理解直線的傾斜角和斜率相關概念的基礎. 這一節(jié)的概念比較抽象，除了引入問題串，教師還要采用數形結合的方法，把圖像也當做輔助手段. 直線傾斜角的概念是什么呢？當直線與x軸相交時，x軸作基準，x軸正向與直線向上方向之間所成的角，叫做直線的傾斜角. 什么是直線的斜率？一條直線的傾斜角的正切值，就表示為這條直線的斜率. 斜率和傾斜角的概念辨析值得學生們重視.

本文提出了以下問題串：（1）如何確定一條直線？（2）經過一個點的直線有多少條？（3）這些直線的異同點分別有哪些？（4）對一條直線進行旋轉平移，如何確定直線的旋轉傾斜程度呢？（5）在平面當中確定一條直線，需要有哪幾個因素？（6）假設直線l的解析式如下：y=x，那么傾斜角是多少呢？（7）直線l 的解析式為y=3x，那么這條直線的傾斜角是多少？

本文在此闡述一下這七個問題的設置意圖. 問題（1）、問題（2）引導學生回憶初中直線知識：兩點確定一條直線;經過一點的直線有無數條. 問題（3）、問題（4）則使學生學會在平面直角坐標系中理解直線及其傾斜角. 問題（5）通過一點可以確定無數條直線，每兩條直線之間不會重合，因為每一條直線的傾斜度不同. 問題（6）、問題（7）則使學生對傾斜角有更高層次的理解. 通過以上的概念教學，教師可以適當引入直線的斜率公式，開展有關直線斜率的應用題的分析講解.

直線斜率的概念教學對學生的情感態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)都有益. 學生需要理解用數學語言表達的概念，并通過觀察探討交流來深入理解概念的本質，有利于培養(yǎng)學生嚴謹的學習態(tài)度和專業(yè)的數學精神.

對概念教學的分析與總結

概念教學是當下教育研究的熱門話題. 為了把好的知識結構教給學生，很多數學老師都在想不同的辦法. 比如，以情景的構建為基礎傳授相關的概念;從生活實際出發(fā)，通過問題引出數學概念等. 以上總結的三個教學案例都是為相關數學概念課程設計了一系列問題串. 作為高中數學的組成部分，數學概念知識是數學學習的基礎，概念課的教學重點在于培養(yǎng)學生的數學思維以及掌握數學方法，例如函數引入時通過制造知識點的矛盾，使學生分析初高中函數概念的區(qū)別和聯系，根據學生的認知發(fā)展規(guī)律來實現對高中函數概念的教學，使教學效果和質量得以優(yōu)化和提高，這對于學生今后數學的學習也十分有意義. 數學教師可以按照本文的教學案例，找到每節(jié)課內容中的關鍵概念，推出相關的問題串. 這是概念課教學的良好途徑和方法.

高中數學教學中，很多學生對于數學概念的學習都缺乏積極性和主動性. 而通過一系列問題串的設計，可以有效活躍學生的思維，引發(fā)學生積極展開思考，在長期思考和分析過程中實現自身數學核心素養(yǎng)的提高、數學思維的發(fā)展.