基于作業問題的課堂微專題教學

韓亦敏

[摘? 要] 文章以《數學必修二作業本》 綜合練習二第九十頁第15題為例，設計了一節作業講評的微專題課，從提出作業問題，追溯教材來源，延伸教材內容，解決作業問題，鞏固再深化五個環節介紹了一種作業講評課的模式，由此提高作業講評課的效率.

[關鍵詞] 作業講評;阿波羅尼斯圓;教學設計

子曰：“不憤不啟，不悱不發.”數學作業的布置除了常規習題（鞏固當天所學）以外，筆者認為還應該有一部分題目是需要達到孔子所說的目的的.這些具有豐富背景并值得深入探索的題目的講評是數學教學中的重要環節之一，應引起足夠的重視. 教師要如何講評這些題目，才能吸引學生的注意力，激發學生二次探索的興趣，使作業真正成為學生提高數學能力的生長點？這是筆者想努力去探索的東西.

作業問題

1. 題目來源：浙江教育廳教研室編寫《數學必修二作業本》綜合練習二P90，15：

如圖1，圓C與x軸相切于點T（1，0），與y軸的正半軸交于A，B兩點（點B在點A的上方），且AB=2.

（1）圓C的標準方程為__________？搖.

（2）過點A任意作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M，N兩點，

給出下列三個結論：

① = ;

② - =2;

③ + =2 .

其中正確的結論是_____（填序號）.

2. 作業反饋：第一小題正確率90%以上.第二小題大部分學生求出A，B兩點坐標后放棄，放棄原因主要有兩點：（1）A，B兩點坐標出現了無理數，造成了運算障礙;（2）直線的任意性，導致無法計算NA，NB，MA，MB.

3. 參考答案（作業本給出的配套答案）：（1）（x-1）2+（y- ）2=2;（2）①②③.

提示：

（2）聯立方程組x=0，（x-1）2+（y- ）2=2，

解得x=0，y= -1;或x=0，y= +1. ？搖

因為點B在點A的上方，所以A（0， -1），B（0， +1）.若直線MN的方程為x=0，此時M（0，-1），N（0，1），則MA= ，MB=2+ ，NA=2- ，NB= .

因為 = = -1， = = -1，所以 = ，因為 - = - = +1-（ -1）=2， + = + = +1+ -1=2 .

所以正確的結論是①②③

（答案錄入說明：由于（1）正確率較高，因此省略（1）的答案）

仔細思考過答案的學生提出了這樣的疑問：為什么可以由特殊的直線推導出①②③正確，就能認為對任意的直線MN這三個結論就正確呢？答案是否在邏輯推理上出現了嚴重的錯誤？針對學生對參考答案提出的疑問，筆者設計隱藏在此題背后的阿氏圓課堂微專題如下：

阿氏圓課堂微專題教學過程

1. 提出作業問題

師：昨天《作業本》P90，15有同學說答案不對，你們都贊成嗎？

生：怎么能由存在的一條直線成立就說對任意滿足條件的直線成立呢？這個是肯定有問題的.

師：我也覺得你們說得很有道理，那這道題哪位同學有解決方案嗎？

生：低頭，沉默

師：看來我們現在有的知識好像解決不了.讓我們一起來翻翻教材，看看能不能有新的收獲？請同學們翻到教材P139.

2. 教材溯源：人教版數學必修二教科書

P139，信息技術應用板塊——用《幾何畫板》探究點的軌跡：圓.

？搖例：已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的 ，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡方程.

此處由教師與學生在“幾何畫板”軟件中共同完成點M的軌跡的猜想，由學生獨立完成點M軌跡方程的推導，一致得出點M的軌跡是以 ，0為圓心、 為半徑的圓.

P144，B組2：

已知點M與兩個定點M ，M 的距離比是一個正數m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.

此處學生們分組討論坐標系的建法，并根據自己選擇的坐標系寫出點M的軌跡方程，教師引導學生在不同的軌跡方程中尋找軌跡的相同點：圓心與兩定點M ，M 共線，圓的半徑與m，M ，M 的距離有關.

3. 教材內容延伸：阿波羅尼斯圓

師：其實這個圓有個名字，叫阿波羅尼斯圓. （此處簡短地介紹古希臘數學家阿波羅尼斯）.

阿波羅尼斯圓的定義：在平面上給定相異兩點A，B，設P點在同一平面上且滿足 =λ，當λ>0且λ≠1時，P點的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓. 圓心與定點A，B共線，若設M，N分別為線段AB按定比λ分割的內分點和外分點，則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN= ·AB.

師：這個圓我們之前求軌跡方程時有遇見過嗎？

P124，B組3：已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比為 ，求點M的軌跡方程.

師：同樣的類型多次出現，我們就要引起重視了，它必然存在某種聯系或統一性，我們要學會歸納總結.

接下來請同學們思考這道經典題目：（2008年江蘇卷）若AB=2，AC= BC，則△ABC的面積的最大值為________.

變式1：已知A（-1，0），B（1，0），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，問是否存在λ，使得PA=λPB（λ≠1）.

4. 解決作業問題

師：現在我們再回到《作業本》這道題，請同學們再好好思考并給出你們的思考結果.

師：你覺得答案的解法好，還是用MN= ·AB公式好？

5. 鞏固再深化

變式2：已知A（-1，0），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，問是否存在定點B，使得任意點P都滿足PA= PB成立？

變式3：已知A（-1，0），D（0，1），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，求 PA+PD的最小值.

變式4：已知A（-1，0），D（0，1），動點P在圓（x-3）2+y2=8上運動，求 PA+2PD的最小值.

課后練習：

（1）已知A（-1，0），B（2，0），動點P在圓（x+2）2+y2=4上運動，問是否存在λ，使得PB=λPA（λ≠1）.

（2）已知圓A：（x-1）2+y2= 和兩定點B（0，1），D（1，1），點C為圓上一動點，求CD+2CB的最小值.

（3）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e的夾角為 ，向量b滿足b2-4e·b+3=0，則 b+a-b的最小值為________.

參考答案：

（1）λ=2;（2） ;（3） .

教學過程中，學生的具體操作與回答省去，筆者只是想探索一種有效的作業講評模式，著眼在教師的課堂設計，學生的反饋需要讀者具體操作體會.

康德說過：人的認識從感覺開始，再從感覺上升到概念，最后形成思想.筆者認為一節好的作業講評課就應該讓學生由一道題收獲一種類型，在探索思想的路上懷揣求知的欲望不斷前行.