思維引領討論，討論助推思維

胡毅

[摘? 要] 課堂討論是教學中常用的手段，但是往往會漫無邊際、離題較遠、浮于表面，高效、有序的課堂討論可以幫助學生理清思維. 為了達到這個目的，教學過程中的課堂討論環節必須注意通過學生思維的發展過程引領討論的發展，學習單作為思維的媒介，在討論中起到了重要作用.

[關鍵詞] 課堂討論;數學思維;研究性學習

課堂討論是常見的教學環節，在教學中開放性的討論有助學生的思維發展. 一方面，通過討論，學生需要將理解的數學問題、數學知識準確、有序地表達出來，有助于培養學生的數學語言運用能力，發展學生的數學邏輯思維;另一方面，討論幫助學生從口頭表述數學，也有助學生多元智能的發展，在課堂討論所形成的頭腦風暴中，學生更容易擦出思維的火花.

但在有些課堂討論中，會出現漫無邊際、離題較遠的情況，或者討論不深入，浮于表面，不能抓住所研究課題的要害. 這些低效或者無效的課堂討論一方面反映了思維的低效或無序，一方面又阻礙了思維的進一步發展. 如何通過高效、有序的課堂討論幫助學生理清思維，互通有無，相互提升，成為課堂討論環節在教學中成敗的關鍵.

本文以校本數學研究性學習課題“y=f（x）的倒數函數y= 的圖像與性質的研究”為載體，探索在研究性學習的教學過程中提高討論效率的方法和策略.

學情分析與教學任務

高一年級的學生在第一學期已經系統學習了函數的相關內容，但總體來說，學生對于函數的學習仍然停留在對教材、教師明確給出的問題的解答上，所研究的函數也往往是明確給出的函數，學生對于如何通過自主構造函數，從特殊到一般歸納一類新的函數性質的創新性學習體驗較少.

為此，在函數章節學習之后，設計了研究性學習課題“y=f（x）的倒數函數y= 的圖像與性質的研究”，主要的研究方法是實驗法，通過控制變量的方式探索并總結圖像的一般規律，主要的研究工具是圖形計算器或作圖軟件. 對于初次在高中數學學習中接觸數學實驗的學生，本課題的難點有兩個：一是如何設計實驗方案，包括函數的設計和控制變量的設計;二是如何從相關圖像中歸納、驗證規律，從而發現函數的性質.

課堂討論環節的確立

針對本課題中設計實驗方案和歸納、驗證規律兩個難點，在教學過程中設計了兩次學生討論環節.

第一次是討論函數中變量的控制，探究從相關圖像中總結出的圖像變換的規律. 在教師對函數y=x2-1和y= 的作圖演示結束后，教師要求學生對結論進行推廣，研究在一般情況下y=f（x）的倒數函數y= 具有哪些性質. 學生在選擇函數類型后，討論選擇函數解析式中哪些是需要變換的變量，并討論對這些變量如何賦值. 各小組將具體函數和相應的函數圖像填寫在學習單中，并利用投影儀進行交流.

第二次是根據具體函數的圖像，對y=f（x）與y= 圖像變化的規律進行總結，每位學生將自己總結的性質填寫在學習單的相應位置，然后進行小組內部的交流. 在小組內的總結和交流結束后，各小組輪流上臺，每次交流一條自己總結的性質，并進行證明;其他小組可以對研究方法和結論進行補充和評價，也可以舉出反例進行反駁. 最后學生和教師歸納數學實驗中變量控制的研究方法的要點.

學習單的設計

學習單作為研究性學習過程中的文本記錄工具，一方面可以在記錄學生自主研究的內容和中間結果，以學生的思維過程引領討論的開展，確保每位學生言之有物，不會跑題或者無話可講;另一方面可以記錄學生在相互討論交流的過程中的相關信息，相互補充思考中不完善、不全面的地方，促進思維的發展.

本課題的學習單由“自主研究”“小組交流”“歸納驗證”“發言提綱”“交流評價”“自我評價”六個部分組成.

教學過程

1. 情境創設

教師活動：復習函數圖像變換的知識，用描點法畫出y=x2-1的圖像，并引導學生思考能否從已知函數出發畫出y= 的草圖.

學生活動：從實例出發，了解課題的意義.

設計意圖：從已知引入未知，增加學習的興趣.

2. 提出課題

教師活動：（1）猜測：展示y=x2-1和y= 的圖像，猜測兩個函數圖像之間存在的關系.

（2）證明：說明上述猜測的真偽，加以證明.

（3）推廣：一般地，y=f（x）的倒數函數y= 有哪些性質？

學生活動：在教師的引領下，通過對范例的學習，了解從函數圖像研究函數性質的一般模式，學習從“特殊到一般”的歸納方法.

設計意圖：通過教師的示范，學生對通過函數圖像研究、歸納函數性質的方法增進了解，為后續的探究打下基礎.

3. 組織學生進行第一次研究和討論

教師活動：（1）確定特殊函數：請各組確定研究的函數，可選一次函數、二次函數、冪函數、指數函數和相關的復合函數，盡可能選取不同類型的函數;確定函數解析式的表達形式，比如選取二次函數的小組，是以y=ax2+bx+c的形式進行研究還是以y=a（x-h）2+b的形式進行研究？選取的理由是什么？

（2）確定研究變量，比如在y=a（x-h）2+b中，固定哪兩個參數，對準備變換的參數賦值哪些可以畫出所有具有代表性的函數圖像？

學生活動：（1）小組確定本小組研究的函數類型，在學習單上加以記錄，并說明選擇的理由. （2）小組成員確定控制變量和變量的具體值，并在小組內結合圖像說明理由.

設計意圖：教師可以首先請學生自行選擇研究的函數類型，并將選擇相近類型函數的學生分為一組，以利于后續的討論. 在分組時盡量遵循“組內同質，組間異質”的原則，并以函數名稱命名小組，指導小組成員選出小組長引導討論，并對討論的過程和內容提出要求. 對學習單的填寫進行指導，確保學生能夠在學習單上反映出思維的過程.

4. 組織學生進行第二次研究和討論

教師活動：（1）記錄、觀察和歸納：通過圖形計算器畫出函數的圖像，加以記錄，并從定義域、奇偶性、單調性、值域、圖像所在區域等方面歸納可能的性質.

（2）驗證猜想：指導學生通過小組討論排除錯誤的猜想，驗證正確的結論.

（3）小組間介紹：請各小組代表從一個方面介紹本小組的研究過程和研究成果，包括研究了哪些具體函數、歸納的猜想、排除錯誤猜想的結論和依據、正確猜想的證明.

（4）小組評價：請其他小組進行補充和評價.

學生活動：（1）通過觀察和選擇，在學習單上記錄最后能夠較為準確說明性質的若干組函數圖像，并歸納相關性質，嘗試證明.

（2）小組輪流發言，介紹發現的性質和用于驗證的函數圖像.

（3）小組間互為補充和評價.

設計意圖：（1）通過填寫自己的學習單，每位學生都有獨立思考、獨立探究的機會;通過交流，每位學生在小組中都能得到表現的機會，這樣的以“獨立探究”為基礎的小組討論和合作，能使每位學生既有自己的學習空間，又能在合作中避免少數學生“一言堂”，多數學生主動性不夠的情況出現. （2）小組輪流發言，既能確保每個小組都有發言的機會，又能形成一定的競爭，使課堂氣氛更為活躍.

5. 小結

教師活動：（1）總結：學生和教師共同總結研究的方法和思路.

（2）作業布置：反思研究過程，思考進一步的課題.

學生活動：函數中應用變量控制法時應注意每個控制變量對圖像變換的作用是單一清晰的.

設計意圖：評價和總結是提升學生思維層次的重要環節，既要對研究的結論進行總結，也要對研究的方法和過程進行總結.

總結

課堂討論是基于學生獨立思考的基礎上展開的，同時對學生的思維品質又具有重要的提升作用. 本節課通過兩次學生討論幫助學生體驗數學實驗中“控制變量”的研究方法，進行“從特殊到一般”的不完全歸納法的探究過程. 由于有學習單作為思維的腳手架和討論的框架，學生交流積極，基本沒有出現討論和交流偏題較遠的情況. 對于課后作業，大部分學生也能模仿課堂研究過程，提出自己的假設和論證. 通過兩次課堂討論，總結出在研究性學習中提高課堂討論效率的一些方法：

1. 幫助學生學會記錄自己探究的過程，為討論提供材料和框架

通過在學習單上的記錄，每位學生都擁有自己參與討論的材料，討論內容充實;同時，由于每位學生在討論之前都經歷了獨立思考的過程，使得討論是以“獨立探究”為基礎的討論. 在第一次討論前，通過填寫學習單上的第一張表格，學生至少畫出了3對函數圖像，通過對每對函數圖像關系的研究，學生或多或少都能歸納總結出若干條變換的規律，通過相互印證，每個小組都能找到比較完整的性質.

2. 討論的問題應當具有一定的開放程度

第一次討論問題的答案不是唯一的，學生想到的大多數函數都能夠通過合理地選擇參數完成后續的探究工作，由于可供選擇函數的類型較多，有一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、分式函數等，每種函數控制變量又不唯一，因此在兩位學生使用完全一樣的函數進行研究的情況幾乎不會出現. 這樣問題開放性就降低了討論交流時發言的重復性，每位學生的交流都是不同角度的闡述，既增加了學生對其他同學研究結論的興趣，也幫助學生更完整地理解研究的問題.

3. 幫助學生學會記錄和分析討論過程和結論

課堂討論的結束不應當是學生思維的停止符，而是學生通過討論的過程和結果的整理，對自己研究的內容、研究的過程、研究的方法、研究的結果進一步深化和提升的起點. 因此，在學習單上還設計了對于小組內討論的記錄和其他小組交流的記錄，通過記錄和評價，促使學生在課堂討論的基礎上，理解、反思他人的思維過程，從而完善自身對數學的理解.

總之，學生通過研究性學習的經歷，逐步掌握研究方法、學會如何進行合作學習. 學習單的使用為探究過程搭建了一個框架，同時幫助學生學會如何理清自己的思維過程，使討論言之有物，從而提高課堂討論的效率，讓課堂討論的方向能夠集中在主要的討論問題上;通過學習單的記錄，思考、評價其他同學的思維過程，使討論能夠切實幫助學生的思維提升.