從“矛盾沖突”開始，將探究引向深入

焦鳳英

[摘? 要] 以“拋物線的標準方程”一課為例，展示了圍繞矛盾沖突開展自主探究教學設計的教學過程. 教學實踐說明，從理解教材與學生出發制造矛盾沖突，可以引發自主探究，強化理性認知，將探究引向深入，孕育核心素養.

[關鍵詞] 矛盾沖突;自主探究;教學反思

新課改風向標下，對于數學教學的定位經歷了從“知識本位”“教師本位”到“學生主體”“引導探究”的轉變，自主探究在數學教學中提升到前所未有的高度. 自主探究式教學是課程改革的理想選擇，為學生發展提供了最大的空間，自主探究的活動必須與問題相結合，以矛盾沖突來激發學生的學習興趣，進而維持學習動機，以問題為導線讓學生去思考和探究，讓學生在矛盾沖突中探究，在實踐活動中探究，從而使得數學教學煥發生機勃勃的活力，產生生機盎然的效力. 因此，圍繞矛盾沖突開展的自主探究教學設計顯得尤為重要. 本文擬結合“拋物線的標準方程”的教學歷程，談談筆者的一些思考，供大家參考.

拋物線的標準方程的教學過程

1. 情境引入

問題1：如圖1，在一張16K的白紙上距離底邊一定的距離處取一點F，再將這張白紙重復折疊20-30次，使得每次底邊所在的邊始終過點F，并形成一系列折痕. 觀察所有折痕所圍的輪廓，并試著用光滑的曲線連接起來，使其相切于折痕，則形成的曲線是什么？

生：拋物線.

師（追問）：如何說明呢？

生1：首先，底邊與點F可確定一條拋物線. 那么如圖2，我們可以設拋物線為C. 由于是折紙的活動，那么即可在該直線的底邊上作出點F關于折痕對稱的點M，再過點M作MP⊥底邊，且與折痕相交于點P. 據對稱原理，可知PF=PM，即點P到定底與定點F的距離相等，從而點P在拋物線C上. 進一步地，再在折痕上取另一點P′（異于點P），易知FP′≠P′N，從而點P′不在拋物線C上. 那么，折痕與拋物線C只有一個交點，則折痕即為拋物線C的一條切線，從而，折紙過程中得到的每一條折痕均為拋物線C的切線，多條切線將拋物線C圍住，使得拋物線的輪廓一覽無遺.

問題2：日常生活中，我們遇到過哪些拋物線呢？過去的數學學習中呢？

生2：籃球課上，投三分球就是拋物線. （開始表演投籃動作）

生3：在公園經常可以欣賞到噴泉，它就是拋物線，形狀是……（一邊手舞足蹈地進行比畫）

生4：投實心球過程中形成的軌跡就是拋物線，體育老師經常說，如果無法形成拋物線就投擲不到規定的遠度.

……

師：你們所說的都是物體運動的軌跡，自然也是拋物線的一部分，大家的演示很形象. 還有嗎？

生5：太陽灶軸截面的外輪廓線.

生6：二次函數的圖像.

……

師：從大家的認識來看，不管是日常生活方面，還是科學技術層面，抑或是數學學科本身，拋物線的應用十分廣泛，值得我們一起深入探究. （板書課題）

2. 逐步探索

師（拾級而上）：那誰能闡述一下拋物線的定義呢？（學生在回憶和討論之后，很快完整復述出拋物線的定義）

師：闡述得十分準確，那我們一起再來看看拋物線是如何形成的. （利用幾何畫板動態演示）

師（追問）：大家觀察拋物線上的所有點，你認為哪個點最為特殊？為什么？

生7：應該是它的頂點. 因為它是定點F到定直線垂線段的中點.

問題3：生6剛才所提的“二次函數的圖像”，如y= x2，誰能利用定義法予以證明？

師：問題3在本質上就是找尋出y= x2相應的定點與定直線. 二次函數的解析式與拋物線方程在某種程度上高度一致，而此處無法直接根據解析式探求定點和定直線，主要源于方程建立過程缺失，而今天這節課我們主要探究的就是此問題.

3. 類比完善

問題4：說一說拋物線方程的建立步驟.

師（點撥）：我們可以先來回憶一下建立曲線方程的一般步驟. （學生一邊思考，一邊闡述，各個情緒高漲）

師：焦點F與準線l的距離p大于0，對此該如何建系呢？（這一問題有些難度，學生開始小聲討論，很快得出圖3所示的建系方式）

師：請進一步分別探求它們的方程.

生8：（1）以準線為y軸： =x？圯y2=2px-p2;

（2）以焦點為原點： =x+p？圯y2=2px+p2;

（3）以頂點為原點： =x+ ？圯y2=2px.

師：以上三個方程有何特征，你認為哪一個最簡潔？

生9：方程（1）和（2）都包含常數項，而方程（3）是最簡潔的形式.

師：為什么方程（3）最簡潔呢？

生10：頂點在原點，又無常數項，自然簡潔.

師：數學學科不僅追求邏輯美，最重要的就是追求簡潔美，因此將y2=2px稱為拋物線的標準方程是符合學科特點的.

4. 鞏固應用

問題5：類比橢圓和雙曲線，二者均有兩種形式的方程，其他拋物線方程呢？請試著完成表1.

問題6：說一說表1中的4個標準方程有何共同點？該如何記憶呢？（學生又一次展開火熱的討論，師生共同總結得出以下口訣“一次定焦點，正負定方向”）

師：再次回到問題3中的拋物線y= x2，焦點F是什么？準線l呢？

生11：焦點F為0， .

生12：事實上，y= x2并非其標準形式，標準形式應為x2=4y，從而焦點F為（0，1）. （其余學生恍然大悟，教師連連點頭稱贊，與此同時，學生都對初中的二次函數圖像有了更深層次的認識）

5. 課堂小結（略）

教學反思感悟

本節課中，學生在教師的引導和點撥之下，逐步發現并研究了拋物線的標準方程，經歷了知識探究和形成的過程，深刻體驗到自主探究的快樂與辛苦，激起了濃厚的學習興趣. 同時，以矛盾沖突驅動課堂，促使學生去思考、去發現、去類比、去驗證，在活動中學習，在合作中發現，在探究中創新，在體驗中生成. 縱觀整節課的教學效果，可以發現以上教學過程不僅十分熱鬧，還自然流暢，教師善于制造矛盾沖突，提出的問題具有豐富的思考價值，激起了學生的真正思考，學生的探究也逐步深入，數學核心素養的培養自然水到渠成[1].

1. 從理解教材與學生出發制造矛盾沖突

學習的主體是學生，教師在理解教材的基礎上，需要了解學生，了解他們的認知結構，了解他們的原有能力水平，了解他們的喜好，進而制造矛盾沖突，通過一個又一個的“疑惑”將學生逐步引入知識殿堂，從而提升課堂效率. 本課中，教師根據教材中的操作問題進行改編，以折紙問題引發數學活動，并輔以幾何畫板動態演示，讓學生獲取足夠豐富的活動體驗[2]. 當然，倘若此處教師能讓每個學生都能參與到“折拋物線”的活動中去，則可以讓學生獲得更為深刻的體驗. 由此可以看出，這里的問題并非泛泛的問題，也并非為了追求熱鬧氣氛而設計的簡單問題，而是真實的問題，是教師在理解教材與學生的基礎上設計的，充分揭示了知識的本質，讓學生的思維得到鍛煉.

2. 自主探究孕育核心素養

縱觀當前數學課堂，很多時候都是為探究而探究，為展示而探究，這樣的探究是低效的偽探究，這樣的探究活動下，學生獲得的僅僅是問題的解決，卻無法獲取寶貴的活動經驗和科學研究的方法. 本課中，學生始終扮演探索者的角色，處于探索研究的狀態，參與數學概念創建的過程，感受數學概念發生和發展的過程，以數學家的思想解決問題，從而更好地錘煉了數學理性精神，數學推理、邏輯思維能力得到進一步提升，培養數學核心素養，從而使得學生終身受益.

結束語

總之，教學離不開探究，數學教育需要培養學習者創造知識的能力. 對于教師而言，在理解教材和學生的基礎上制造矛盾沖突，可以激發學生的自主探究，錘煉學生的思維;對于學生而言，自主探究不僅是學力增長的過程，更是一種體驗，自主探究的過程是培養數學核心素養的重要渠道. 學生從中收獲的不僅僅是一個知識點、一個概念、一個問題，更是一種主動探究的精神.

參考文獻：

[1]? 陳芳. 橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同——初中數學教學中多維度培養學生探究學習的實踐研究[J]. 學周刊，2012（14）.

[2]? 潘冬花. 高中數學課堂教學開展小組合作學習的有效策略[J]. 河北理科教學研究，2008（06）.