尋本溯源，提煉數概念教學核心

汪蕾

摘 要：數概念是數學學習中的基礎部分，而數概念的教學中，計數單位的教學是重要的一環。計數單位的教學關乎學生學習數的認識、數的運算等部分知識，想要讓學生理解計數單位的概念，教師首先要弄清計數單位的本質。低段教學中可以利用小棒、計數器、畫圖等多種表征幫助學生建立計數單位的概念，高段利用計數單位的概念，將數結構化，從而推進計算教學，全面扎實掌握數概念。

關鍵詞：數概念;數學教學;計數單位

一、低段——多元表征，感受數是“壘”起來的

學生在系統地認識數概念之前，對數的認識是松散的，他們認為一個數就是一個整體，而教師則需在教學活動中，利用多元表征幫助學生直觀感受到數是由若干個不同的計數單位“壘”起來的，這一點在教材的編排中有很多體現。

（一）用小棒、圖形、珠子等擺數

一年級上冊《1—5的認識》，這是學生認識數的第一課，除了數的讀寫，最重要的學習活動是用小棒、圓片、珠子等物品擺出1—5。

以5為例：學生擺出5根小棒：│││││。學生擺出5個圓片：○○○○○。

通過擺一擺的數學活動，5被分解并直觀地呈現在學生眼前，這5根小棒、5個圓片清晰地呈現出5里面有“5個一”，學生對“一”這個計數單位產生感性認識。這個階段，擺一擺和數一數的過程都讓學生模糊地感受到數是一個一個“壘”起來的。

一年級上冊《6—10的認識》，本單元中安排了這樣的圓點圖。在一個最多可容納10個圓點的框中，一個一個增加圓點，這是計數單位“一”不斷累加，得到1個“十”的過程，是對“十”作為計數單位的有意滲透。教師應當在教學時用好這組圖，幫助學生認識“十”這個計數單位。

（二）用計數器撥數

一年級上冊《11—12各數的認識》，教材的安排很有梯度。例1第一次出現“一”和“十”這兩個計數單位的名稱，并且用“將10根散放的小棒捆成一捆”這樣分步驟的呈現，展示了計數單位“一”與“十”之間的關系：10個一是1個十。“捆”在這里是十分重要的動作，后續還有將10個十捆成1個百、將10個百捆成1個千，這其中隱含的是“滿十進一”的十進制思想。

例3第一次出現了計數器，將兩位數的計數和記數方法進行了完整的表述。例題的圖中將一捆小棒轉化成十位上的一顆珠子，11的表征發生變化：1捆小棒+1根小棒→2顆珠子：十位上1顆，個位上1顆。

這里需要將兩顆珠子進行對比：它們所在的位置不同，表示的意義也不同，十位上的1顆珠子代表1個十，個位上的1顆珠子代表1個一。對于一年級學生來說，他們認為的十幾是一個整體，現在要一下子把一個整體調整成兩個部分：“十”和“幾”，學生往往不明所以。因此，教學中要實實在在地操作，將算理講透，讓學生真切地感受如此操作帶來的便利，并在后續的學習中逐步感悟計數單位。

（三）在白紙上畫數

一年級下冊《100以內數的認識》，用小棒表征數直觀具象，能夠清晰地向學生展示10個十是一百的過程，容易理解。當出現計數器，數概念十分抽象，是基于學生認識計數單位十的經驗上進行教學的。那么，除了擺小棒、擺圓片、撥計數器，還有沒有別的方式表征100以內的數？筆者給學生布置了一個數學作業，“用你喜歡的方法畫出100以內你最喜歡的數”，收到了許多作品。

類型一：畫出所有的個數。如分別表示23和82，他們畫出了所有的個數，但不雜亂，說明他們已經掌握了10個一是十的概念。類型二：用計數器表征。三位學生表示的分別是95、100、100，但最后一個學生在十位上畫了10個珠子，說明他對“10個十是一百”這個概念還沒吸收，計數單位只有一和十，還沒有擴展到百。類型三：用不同圖形表示不同的計數單位。如分別表示75、95、99，他們用不同長度的線段、不同大小的圓圈、不同圖形區分不同的計數單位。如果學生能用這樣的方式表征數，說明他們已經對計數單位有了全面認識，知道數是若干個計數單位的累加，并能進行應用。類型四：沒有形成計數單位的概念。學生有以群計數的意識，但沒有形成用計數單位計數的概念，可能是被教學活動中的“兩個兩個數”“五個五個數”等各種數法負遷移，這其中的“兩個”“五個”并等同于計數單位，計數單位只在計數和計算中才有體現。部分學生已掌握了計數單位“十”，但還沒有形成計數單位“百”的概念。對于這樣的情況，計數單位的教學還需要加強。

二年級上冊《千以內數的認識》的教學中，教師還是應當利用多元表征，幫助學生理解計數單位的概念，讓學生感受到數是一個一個累加起來的，湊足10個小計數單位就能換一個更大的計數單位，如果前序的計數單位和十進教學不到位，勢必影響后續小數的認識。

二、高段——逐步抽象，感受數的“結構化”

十進制使用了10個不同的數字符號，它的底數是10，特點是滿十進一，按照位值原則，從右邊起第一位上的計數單位是“一”，是10的0次冪;第二位上的計數單位是“一”的10倍;第三位上的計數單位是“一”的102倍……因此，任何一個十進數都可以寫成各個數位上的數與它所在的計數單位（10的冪）之積的和的形式。

（一）從“結構化”的角度認數

大數的認識中，如果用小棒、小方塊等物品表征數量會過于龐大，不容易觀察，一般使用計數器。計數器是邏輯結構化的學具，能很好地體現位值原則，而學生的思維也具備了抽象的能力，這時候教師要引導學生從“結構化”的角度去認識數：所有的自然數都可以看成是若干個計數單位的累加組合，計數單位擴展到億級后依然遵循這個規律。因此，如269是由2個百、6個十、9個一組合而成的。又如800502604是由8個億、5個十萬、2個千、6個百、4個一組成的。不同的組合產生不同的數，數的不同僅僅是因為每個計數單位的個數發生了變化，每個數都有其唯一性，讓學生產生對數的整體結構把握的意識。

小數的計數原則跟整數一樣，是十進制：10個0.001是0.01，10個0.01是0.1。有整數的學習經驗，學小數比較容易。教學中教師不要過分強調生活情境，要有計數單位的適時抽象，如2.73元、2.73米的7表示什么？會有很多學生認為7表示7角、表示7分米，雖然兩者的理解都對，但無論從數學知識的抽象程度，還是對學習后續知識的影響上看，教師都應當向計數單位方向引導。

課例《小數的意義》：教師由0.5元介入，引導學生思考數量間的關系，得到將1元平均分成10份，其中5份就是5 / 10元，即0.5元。

師：如果去掉單位“元”，0.5是什么意思？

生：5/10。

教師出示圖片，引導學生找到0.5、0.6、0.4、0.1……

師：這樣的小數都叫“一位小數”。這些小數中哪個更重要？

生：0.1，因為0.5、0.6都是由幾個0.1組成的。

師：他說0.5是由0.1一個一個壘起來組成的，一起數數0.5里面有幾個0.1。

生齊數：1個0.1，2個0.1，3個0.1，4個0.1，5個0.1。

師：0.5真的是由0.1壘起來的，壘了6次就是0.6，壘了4次就是0.4。你們一下子就抓住了一位小數的關鍵——0.1！是啊，0.1就是一位小數的計數單位。

以上課例中，教師雖然用人民幣引入，但很快去掉生活情境，直接研究分數與小數之間的聯系，簡單又有效，之后又幫助學生快速、準確地找到一位小數的計數單位0.1，并形象地描述為一位小數都是由0.1壘起來的，抓住了問題的本質。

（二）從“結構化”的角度計算

既然所有的數是結構化的，那么數的計算也要從結構化的角度進行教學。小學階段的計算有加減乘除四種類型，包含整數、小數、分數，但無論哪一種都是以計數單位為核心。加減法的核心是相同計數單位相加減，因此在筆算中會有“數位對齊”這個規定，這是“相同計數單位相加減”這個核心的外顯。當學生理解這個核心，所有的整數、小數加減法的計算方法都能夠很好地掌握。

在四年級下冊《小數的加法和減法》中出現會0.32+0.2=0.34這種錯誤，其癥結是學生將整數加減法中筆算的“數位對齊”誤認為“末位對齊”，而三年級下冊的《簡單小數加減法》中，由于都是一位小數相加減，末位對齊的錯誤是隱性的，到了四年級不同位數的小數相加減時才凸顯出來。所以教學中，一定要強調“相同數位相加減”這一核心。

分數加減法需要更加凸顯相同分數單位相加減的核心，對于同分母分數加減法，借助圖形，學生對算理還比較好理解，但在這個課時中，“相同分數單位相加減”的意識必須根深蒂固;異分母分數加減法有了前面的鋪墊，教學重點就放在尋找相同分數單位上。

三、結語

理想的數學教學，應該把一個個散落的知識點按照一定的邏輯關系串成一條知識鏈。而認數和計算就要靠“計數單位”這條線去串聯。數學教學唯有抓準了這一條條“線”，才能把知識進行有機統整，才能使學生的建構更為科學合理、學習更有效率。

（浙江省寧波市鎮海區蛟川中心學校，寧波 315000）