《數學教學》1104問題的探究

重慶市兩江中學校 (401120) 鄒 超 鄧元潔

1.問題的呈現

《數學教學》2020年第10期1104問題是安振平提供的一道不等式題，題目如下：

設實數a,b滿足a2+ab+b2=3，求(a2-a+1)(b2-b+1)的最小值.

2.問題求解及探源

問題1104等價于如下問題：

問題1 設實數a,b滿足a2+ab+b2=3，求證：(a2-a+1)(b2-b+1)≥1 (1).

(1)式來源于Mathematical Reflections 2(2020)問題1514：

問題2 設a,b,c為非負實數滿足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1，求證：(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≤27(2).

下面筆者給出(2)式的一個證明，并提出了一個新的問題，作為安振平問題5445：

證明(1)、(2)、(3)式的核心步驟是證明下面的局部不等式，即求證：

3(a2-a+1)(b2-b+1)≥a2+ab+b2(4).

3.局部不等式(4)的證明

證法1：(4)式等價于3a2b2+2(a2+ab+b2)+ab+3≥3(a2b+ab2)+3(a+b) (5).

下面先證明：設a,b是正實數，則a2+ab+b2≥3(a+b)(6).

再證：設a,b,c是正實數，則3a2b2+a2+ab+b2≥3(a2b+ab2)(7).

從而(6)、(7)式相加可知(4)式成立.

證法2：(4)式等價于(3b2-3b+2)a2-(3b2-2b+3)a+2b2-3b+3≥0(8).

說明:由證明過程可以得到(4)式可加強如下不等式：設實數a,b，則有

由(9)式可以把問題(2)加強為：

問題4 設a,b,c為非負實數且滿足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1，求證：(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≤8(10).

下面用不等式(4)證明(2)、(3)式.