一題看盡長(zhǎng)安花*
——2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷文21題的多證

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 郭煜輝

有關(guān)導(dǎo)數(shù)壓軸題一直是高考研究的熱點(diǎn).與往年相比，2018年的文科導(dǎo)數(shù)題少了一份彷徨，多了一分親切.初次嘗試，使人興趣盎然；細(xì)細(xì)體會(huì)，讓人意猶未盡；再三品味，解法多種，欲罷不能.可從這一道題，展現(xiàn)出證明導(dǎo)數(shù)不等式的多種常用解題思路.

一、題目

評(píng)注：本題與2016年廣州一模文科壓軸題幾乎如出一轍，讓人倍感親切.哪怕沒(méi)有做過(guò)，但本題的函數(shù)是考試中最常見(jiàn)的“ex”與“l(fā)nx”的結(jié)合，對(duì)考生而言，實(shí)在是“最熟悉的陌生人”.

二、解法分析

評(píng)注：本解法單刀直入，進(jìn)行放縮，構(gòu)造出形式較簡(jiǎn)單的函數(shù).但學(xué)生較難掌握放縮的度，普遍對(duì)放縮法存在畏懼，學(xué)生反而不易想到.

評(píng)注：當(dāng)需要求解參數(shù)取值范圍時(shí)，優(yōu)先考慮將式子參變分離，得到平行于x軸的函數(shù)圖像y=a，容易畫(huà)圖解決問(wèn)題.本題中，經(jīng)參變分離后的函數(shù)表達(dá)式結(jié)構(gòu)不復(fù)雜，對(duì)分子進(jìn)行二次求導(dǎo)求最值點(diǎn).

評(píng)注：本題采用虛設(shè)零點(diǎn)的解法，即在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，遇到導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，但無(wú)法求出時(shí)，則可將零點(diǎn)只設(shè)不求，利用一階導(dǎo)數(shù)為零的等式，在原函數(shù)中進(jìn)行整體代換.其步驟有三：(1)構(gòu)造合適的可導(dǎo)函數(shù)(若原函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可將一階導(dǎo)數(shù)的局部函數(shù)構(gòu)造新函數(shù))；(2)利用零點(diǎn)存在性定理，判定一階導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大致位置，尋找到使函數(shù)值一正一負(fù)的區(qū)間；(3)利用方程f′(x)=0為零，用x0或含x0的式子進(jìn)行整體代換，轉(zhuǎn)化成便于求最值的函數(shù).

本題運(yùn)用這種解法的關(guān)鍵，是能挖掘出存在零點(diǎn).解題中有2處難點(diǎn)：一是利用極限探求出零點(diǎn)的大致位置；二是利用一階導(dǎo)數(shù)為零的方程整體代換.本題為虛設(shè)零點(diǎn)的解法作出了很好的示范.

評(píng)注：解法四和解法五中的不等式“ex≥x+1”和“l(fā)nx≤x+1”是函數(shù)不等式中的重要結(jié)論.課本中該不等式并沒(méi)有以定理形式呈現(xiàn)的，所以在規(guī)范性的答題中結(jié)論還需先證明，再使用.

解法六：由于a·ex-lnx-1≥0?a·ex≥lnx+1，令h(x)=lnx+1，過(guò)(0,0)作切線(xiàn)為y=kx，設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，

圖1

評(píng)注：構(gòu)造切線(xiàn)比較大小，是利用函數(shù)圖象的幾何意義證明不等式，是證明不等式的常用手段.本解法恰是對(duì)法四在幾何意義上的具體運(yùn)用：即y=ex的圖象在切線(xiàn)y=x+1之上(y=lnx的圖象在切線(xiàn)y=x-1之下).

在比較大小的題目中，往往尋找中間量進(jìn)行對(duì)比，得出大小.本解法恰恰是以切線(xiàn)作為中間量，通過(guò)對(duì)比兩條切線(xiàn)的位置，比較得出.此法也可理解為對(duì)法一放縮法的幾何運(yùn)用.(放縮成切線(xiàn)對(duì)比.)

本解法步驟主要有三步：(1)尋找易于求切線(xiàn)的點(diǎn)(對(duì)數(shù)函數(shù)常找(0,0)、(0,1)，指數(shù)函數(shù)常找(1,0))，過(guò)該點(diǎn)求出已知曲線(xiàn)的切線(xiàn)；(2)利用平行關(guān)系，求出另一函數(shù)的平行切線(xiàn)；(3)把兩切線(xiàn)作為中間變量，對(duì)比兩者位置關(guān)系比較大小.

高考試題都是匠心之作，是核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合載體.除具備選拔功能，也具備良好的教學(xué)功能.作為教師，不僅僅需要解題，更需要對(duì)問(wèn)題深入探究，挖掘出隱藏在題目中的內(nèi)涵，找到解決問(wèn)題在思想和方法上的共性.研究高考試題亦是把握高考方向的重要途徑.從2019、2020年的高考命題規(guī)律來(lái)看，導(dǎo)數(shù)題難度下降，已不再是壓軸題的必然選擇.回頭來(lái)看，2018年的這道文數(shù)21題，亦像是對(duì)以往導(dǎo)數(shù)壓軸題的致敬，集通法于一身，為日后高三的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)，作出示范和鋪墊.