一道全國聯賽福建賽區預賽題的探究

福建省莆田第五中學 (351100) 黃洪飛

圖1

1．探究一般性結論

上述結論揭示了特殊的橢圓C的右焦點和右準線的一個關聯性質，那么，對于一般的橢圓，是否具有這一性質？經探究，可得：

圖2

類似地，容易得到雙曲線、拋物線的相應結論.

結論3 已知拋物線C：y2=2px(p>0),過準線上一點P作拋物線C的切線PA,PB,A,B為切點，F為焦點，則A,F,B三點共線，且PF⊥AB.

2.探究結論的逆命題

上述結論揭示了圓錐曲線的準線與相應焦點的一個關聯性質，那么，其逆命題成立嗎？即若點P在準線上，A,B在曲線C上，若A,F,B三點共線且PF⊥AB，那么直線PA,PB是否是曲線C的切線？經探究，有如下結果：

類似地，可得雙曲線、拋物線的相應結論：

結論6 已知拋物線C：y2=2px(p>0),點P在準線上，A,B在拋物線C上，F為焦點，若A,F,B三點共線且PF⊥AB，則直線PA,PB是拋物線C的切線.

下面只證明結論6，結論5可仿照結論4的證明證之.

3.探究結論的拓展

由結論1、2、3的條件，是否還可以得出其他結論？經探究，可得：

綜上，有OP平分線段AB.

由結論1及7可得：

類似地，可得雙曲線,拋物線的相應結論：

結論9 已知拋物線C：y2=2px(p>0),過準線上一點P作拋物線C的切線PA,PB,A,B為切點，則過點P且平行于x軸(或在x軸上)的直線平分線段AB.

推論3 已知拋物線C：y2=2px(p>0),點P在準線上，A,B在拋物線C上，F為焦點，若A,F,B三點共線且PF⊥AB，則 過點P且平行于x軸(或在x軸上)的直線平分線段AB.

下面只證明結論9，結論8可仿照結論7的證明證之.

綜上，結論9得證.

以上對一道預賽試題的探究，得到了關于橢圓、雙曲線和拋物線的一系列結論.對于一些典型的試題，我們不僅要研究試題的解法，還要引導學生探究試題理論背景，發掘試題的內涵，發現新的規律和結論.這樣，才能領會到試題的深刻背景，才能引領學生跳出題海，做到觸類旁通、舉一反三，從而培育和提升學生的數學學科核心素養.