借助外接圓模型解決一類解三角形的最值問題

山東省濱州市鄒平縣黃山中學(xué) (256200) 韓景崗

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學(xué) (528303) 潘敬貞

廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) (515800) 張應(yīng)楷

在解三角形問題中，經(jīng)常會(huì)遇到一類定長(zhǎng)對(duì)定角的三角形(或是四邊形)求其邊長(zhǎng)或面積的最大值問題.解決此類問題的一般方法主要是綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值.這樣做，過程往往比較復(fù)雜冗長(zhǎng)，如能用好給定三角形的外接圓并結(jié)合其幾何性質(zhì)來處理，問題解決往往事半功倍，既能有效減少運(yùn)算量，也能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}直觀化，復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.文章結(jié)合具體實(shí)例談外接圓在解三角形最值問題中的實(shí)際運(yùn)用，形成一類解三角形最值問題的模式化解題方法.

一、三角形周長(zhǎng)的最值問題

圖1

評(píng)注：本題如果采用常規(guī)的代數(shù)運(yùn)算，需要利用正弦定理進(jìn)行邊化角，然后進(jìn)行三角恒等變換，最后通過確定角的范圍利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍；但是過程較復(fù)雜，并且對(duì)運(yùn)算能力要求較高；也可以利用余弦定理與基本不等式得到一個(gè)最值，但是另一個(gè)臨界值比較難得到.如果能根據(jù)已知條件確定三角形的外接圓，便可通過直觀觀察外接圓上動(dòng)點(diǎn)A的變化規(guī)律找到臨界位置，從而得出結(jié)果.

圖2

評(píng)注：借助外接圓突出幾何直觀，可以有效避免復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算與邏輯推理過程，既體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，又能在問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與直觀想象核心素養(yǎng).

二、三角形面積的最值問題

例2 (2014課標(biāo)Ⅰ卷理16)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為．

圖3

評(píng)注：本題如果用常規(guī)解法，需要利用正弦定理或是余弦定理，過程會(huì)顯得冗長(zhǎng)，但采用三角形外接圓求解時(shí)，會(huì)瞬間得到答案，省去了太多的時(shí)間，達(dá)到了省時(shí)省力的效果，也體現(xiàn)了小題小做的特點(diǎn).

解析：(1)由已知得sinA+sinB=(cosA-cosB)·sinC，分別利用正弦定理與余弦定理實(shí)現(xiàn)角化邊得a+b=

評(píng)注：若本題能夠基于問題(1)的結(jié)論作出三角形的外接圓如圖4所示，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可知當(dāng)且僅當(dāng)三角形為等腰直角三角形時(shí)面積最大，從而快速得出答案，足以見出外接圓在解決三角形面積最值問題中具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

圖4

三、四邊形中邊長(zhǎng)的最值問題

例3 (2015新課標(biāo)Ⅰ卷理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

圖5

評(píng)注：這是一道難度不小的高考?jí)狠S小題，如果利用常規(guī)的正余弦定理求解，過程繁瑣且不宜操作，但是利用三角形的外接圓模型，可以快速找到問題的突破口，充分展現(xiàn)了極限思想，突出數(shù)形結(jié)合.

圖6

評(píng)注：解答該題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)從而聯(lián)想到四邊形的外接圓，通過點(diǎn)的位置移動(dòng)直觀觀察CD的取值范圍，直觀明了.

四、四邊形中面積最值問題

圖7

評(píng)注：該題是一道比較常規(guī)的采用二元變量轉(zhuǎn)換為一元變量的題目，解題過程比較復(fù)雜，且對(duì)于一些基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生很難完成對(duì)該題的正確解答；但是如果借助三角形的外接圓模型來處理，問題就會(huì)變得很簡(jiǎn)單，通過觀察點(diǎn)的變化特點(diǎn)可以直接找出邊的取值范圍.

變式已知在△ABC中，BC=2，以AC為邊做一個(gè)等邊三角形，點(diǎn)C、D在AB的同側(cè)，則△ABD面積的最大值為.

圖8

評(píng)注：該題是一道典型的動(dòng)態(tài)問題，如果用常規(guī)的解析法來處理難度很大，由于該題又是一道填空題，所以可以借助外接圓直觀找到取最值的情況，這充分體現(xiàn)了外接圓模型在解決三角形與四邊形問題中的重要意義.

數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要意義.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程關(guān)鍵在于悟，要學(xué)會(huì)感悟知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，體會(huì)知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，最終達(dá)到能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)高效解決實(shí)際問題的目的.這也正是新課標(biāo)中要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界的具體要求.以形助數(shù)，以數(shù)輔形是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性，學(xué)會(huì)挖掘變化的問題背后所隱藏的不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù).這不僅可以提高解題效率，更重要的是能夠更好的發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，形成適應(yīng)社會(huì)發(fā)展所必需的的關(guān)鍵能力和必備品格.