2021年八省模考數學解幾壓軸題的解法探究

廣東省中山市濠頭中學 (528437) 張 宇

1.試題呈現

2.解法探究

評注：此證明用正切函數折定義，然后由正切函數的二倍角公式，思路清晰，是絕大多數學生所采用的方法.

(1)當BF⊥AF時，結論顯然成立.

評注：這里從斜率入手進行證明，本質上和證法1沒有太大的差別，思路比較清晰，很多學生采用了這種證明方法.

評注：運用角平分線上的點到兩邊的距離相等進行證明，還用到了垂直平分線的知識.這種證明初中學生都能理解.同時用到了點到直線的距離公式，是一種不錯的證明方法.

評注：運用余弦定理驗證cos∠BAM=cos∠BMN，對學生的運算能力要求較高，不過和以前的解析幾何壓軸題的運算量相比，這個就顯得特別簡單了.

評注：用初中的角平分線性質定理進行證明，初中學生都可以理解，作為高考模擬題中的壓軸題，有點名不符實，現在初中對平面幾何要求較低，這是一件比較遺憾的事.對培養學生的邏輯思維能力造成一些不利影響.

評注：回歸到本質的定義中去，用正弦的二倍角公式，也是容易想到的方法，作為有現成結論的問題.教師在教學中加強對學生進行發散思維的訓練，進行一題多解是不錯的選擇.

3.試題探源

此題的原形在以前的競賽及自主招生試題中多次出現.試題原形在2010年福建高中數學預賽試題和2014年甘肅高中數學競賽預賽試題中兩次出現.另一原形題在2011年華約自主招生試題的第13題出現.

(1)求雙曲線的方程；

(2)設Q為雙曲線C右支上動點，F為雙曲線右焦點，在x軸負半軸上是否存在定點M,使得∠QFM=2∠QMF？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

2014年甘肅高中數學競賽預賽的第13題采用了此題，在文字上沒作任何變動.江蘇省著名特級教師蔡玉書老師在《解析幾何競賽讀本》第二章(中國科技大學出版社出版)中選用了此題作為例題.

(1)求C的離心率；

(2)設A為C的左頂點，Q為第一象限內C上的任意一點，問是否存在常數λ(λ>0)，使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

此問題還可進行如下變式：

4.結語

解析幾何大題一直以來以壓軸題的形式出現在高考試題或模擬試題中，但這次的解析幾何試題的難度并不大.更大程度上這是一道解三角形的問題，知道三角形的三條邊，求三角形的兩個角.并且這次模擬題的計算量較小.

作為解析幾何壓軸題，在以前的高考試題中，絕大多數時為橢圓，然后是拋物線，雙曲線相對考得較少.傳統圓錐曲線壓軸題的解法主要采用到直線與圓錐曲線的交點及通過解方程組，然后由韋達定理等.

雙曲線在新課標中屬于了解范圍，一般不出大題，這次雖在第21題出了雙曲線大題，但設問方式比較常規，重點還是考查學生數學運算等核心素養，以及轉化化歸等數學思想.教師在以后的教學及復習中力求做到以下幾點：

(1)構建牢固的知識網絡：高考復習中，一定要加強基礎知識、基本技能和基本數學思想方法.抓住各部分知識之間的聯系和綜合，形成知識之間的縱橫聯系的網絡，達到“牽一發而動全身”的境界.

(2)提高解題的各種能力：在教學中選出最優秀的試題，最具典型性和最有價值的試題，講題時滲透數學基本思想，讓學生理解數學知識的本質，形成對知識的悟性，提高他們的數學思維品質及分析問題與解決問題的能力.

(3)轉變教學觀念：重視數學思想方法的滲透和運用，要始終堅持指導學生自己進行數學思想和方法的提煉，讓學生從思想上去揭示問題的本質.在解題后進行反思和提煉是成功的經驗.發揮學生的主觀能動性和教師的主導地位.