網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)問題解題策略研究

張?jiān)? 湯強(qiáng)

【摘要】銳角三角函數(shù)是初中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，將網(wǎng)格與銳角三角函數(shù)相結(jié)合是考試命題的一個(gè)方向.學(xué)生對(duì)此類銳角三角函數(shù)問題往往抓不住關(guān)鍵點(diǎn)，構(gòu)造、面積、轉(zhuǎn)化等解題策略將有助于此類問題的解決.

【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù);網(wǎng)格;構(gòu)造策略;面積策略;轉(zhuǎn)化策略

銳角三角函數(shù)問題的解決需要“直角三角形”，同樣地，解決網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)問題的關(guān)鍵也是如何將所求角或所求角的等角放到一個(gè)直角三角形中.將角放到網(wǎng)格中有兩個(gè)天然的優(yōu)勢(shì)：①每一個(gè)小方格為一個(gè)正方形，其對(duì)角線可以形成45°角;②兩個(gè)端點(diǎn)均在格點(diǎn)上時(shí)，線段的長度可以直接利用勾股定理進(jìn)行求解.網(wǎng)格為構(gòu)造直角三角形提供了便利.

1 構(gòu)造策略

“構(gòu)造策略”是解網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)問題常用的策略之一，基本思路是以已知條件為原料，以所求結(jié)論為方向，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造一種輔助形式，從而使問題在新形勢(shì)中簡捷地得到解決.

1.1 直接構(gòu)造

我們通過觀察找到角所在的直角三角形，然后利用勾股定理求出角所在的直角三角形的三邊長，并根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解.

例1 如圖1所示，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在邊長為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，則tan∠BAC=.

【方法探究】

由圖1可觀察知，AB由長為2、寬為1的長方形的對(duì)角線組成;AC由邊長為1的小正方形的對(duì)角線組成;線段AC與網(wǎng)格邊夾角為45°.因此，有兩種構(gòu)造思路：①從AC上選一個(gè)格點(diǎn)，使其與AB邊的一格點(diǎn)構(gòu)成正方形的對(duì)角線;②在AC上選一格點(diǎn)G，使得BG⊥AB.如圖2所示.

【過程展示】（以思路①為例）

連接HI，則∠AHI=90°，所以∠BAC在Rt△AHI中.

AI=2× 22+12=25，AH=3× 12+12=32，HI=2，所以tan∠BAC=232=13.

1.2 間接構(gòu)造

我們通過直接觀察，找不出直角三角形時(shí)，可以通過作高線構(gòu)造兩個(gè)共邊的直角三角形，然后利用勾股定理求出公共邊，這種方法既體現(xiàn)了對(duì)勾股定理的靈活運(yùn)用，也鍛煉了學(xué)生的方程思想.

例2 如圖3，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，則sin∠A=.

【方法探究】

如圖4所示，構(gòu)造兩個(gè)有公共邊的直角三角形，利用公共邊建立方程，由此解出兩直角三角形的各邊，sin∠A也隨即可求.

【過程展示】

過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，

在Rt△ACM中，CM2=AC2-AM2，且AC=25，

在Rt△BCM中，CM2=BC2-BM2，且BC=22，

所以有AC2-AM2=BC2-BM2

設(shè)BM長為x，則AM=25-x，

故（25）2-（25-x）2=（22）2-x2，

解得x=255，所以CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

2 面積策略

我們通過觀察找不出直角三角形時(shí)，可以通過在三角形內(nèi)部作高（若是求鈍角三角形中銳角的三角函數(shù)值，則是外部作高），用等面積法得出三角形的高，然后求解.

如上例2，如圖5所示，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都

在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，則sin∠A=.

【方法探究】

因?yàn)橥ㄟ^觀察，∠A不在直角三角形中，而要求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，必須要把這個(gè)角放到直角三角形中，所以在此應(yīng)該構(gòu)造一個(gè)包含∠A的直角三角形，故過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M，即需求出CM與AC的長度.

【過程展示】

如圖6，過點(diǎn)C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)M.

利用三角形面積公式可知S△ABC=12AB·CM.

利用割補(bǔ)法得：S△ABC=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，

所以12AB·CM=S四邊形ADEF-S△ADC-S△EBC-S△ABF，即12·25·CM=16-4-2-4，

解得CM=655，所以sin∠A=CMAC=35.

3 轉(zhuǎn)化策略

對(duì)于頂點(diǎn)不在格點(diǎn)上的角，如果求其三角函數(shù)，最通用的作法是將角轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的角，然后根據(jù)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形的解法，解出其銳角三角函數(shù).在遇到這類題時(shí)其求解方法有以下三種：①平移法;②相似三角形法.

3.1 平移法

將角所在的邊進(jìn)行平移使得角的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在平移的過程中利用平行線的性質(zhì)定理易知平行后的

角和原來的角是一對(duì)同位角，故角的大小一樣.通過角的轉(zhuǎn)化使問題得到求解，在這個(gè)過程中學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化思想在解三角函數(shù)題中的應(yīng)用.

例3 在如圖7的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于.

【過程展示】

如圖8，平移AB至A1B1，連接A1C，

則得到等腰三角形A1CO1，過A1作A1M⊥CO1，交CO1于一點(diǎn)M.

因?yàn)锳1B1∥AB，所以∠AOC=∠A1O1C，

由勾股定理可知：MO1=12CO1=22，A1O1=5，

進(jìn)而求得A1M=A1O21-MO21=322.

所以，tan∠BOD=tan∠COA=tan∠A1O1C=A1MMO1=3.

3.2 相似三角形法

對(duì)于部分特殊的角（如一邊為方格對(duì)角線的角）可以在角所在的網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)造直角，并利用三

角形相似求解相關(guān)線段長.

如上例3，在如圖9所示的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形且邊長為1，A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tan∠BOD的值等于 .

【過程展示】

如圖10，過A作AM⊥CD，交CD于點(diǎn)M，過E（E為AB上一點(diǎn)，且為格點(diǎn)）作EN⊥CD于點(diǎn)N，顯然M，N為格點(diǎn).

因?yàn)椤螼MA=∠ONE=90°，∠COA=∠BOD，

所以△AMO∽△ENO，所以AMEN=MOON，

設(shè)ON=x，則OM=MN-x=2-x，代入上式

得222=2-xx，解得x=23.所以tan∠BOD=ENON=3.

【注釋】相似三角形的選取不是任意的，需使得新構(gòu)成的兩個(gè)三角形除了公共點(diǎn)外其余點(diǎn)均在格點(diǎn)上，而且這兩個(gè)三角形必須是直角三角形.

以上三種解題策略不僅有助于網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)問題的求解，而且對(duì)于其他銳角三角函數(shù)問題的解決也具有參考價(jià)值，比如，對(duì)于兩角差或和的銳角三角函數(shù)問題的解決，有興趣的研究者可以進(jìn)行更深入的探究.

【參考文獻(xiàn)】

[1]葉留青.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的“構(gòu)造”策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（12）：19-21.