巧用思維導圖 提升核心素養

唐亞蘭

【摘要】將思維導圖引入數學教學，不但可以促進學生思維能力、創新能力與自主構建知識框架能力的發展，還可以豐富師生的學習評價方式，加深對數學知識和本質的理解，從而提高學習效率，提升數學核心素養.本文旨在聚焦三角形的誘導公式這一教學片段，引導學生積極參與教學活動，在構建思維導圖的過程中，感悟知識所蘊含的數學思想，在關注學生知識技能掌握的同時，促進數學核心素養的養成.

【關鍵詞】思維導圖;核心素養;誘導公式

高中數學教學中存在的無效與低效的教學問題嚴重影響教學質量，不利于學生數學核心素養的提升.新課標背景下的數學教學要與時俱進，調動學生主體自覺性，引導思維過程，促使學生自主構建數學知識框架.思維導圖通過繪制圖形構建思維框架，引導學生主動建構，形成數學知識網絡體系，掌握數學學習的技巧和方法，達到靈活運用知識的目的.

一、思維導圖的含義及特征

思維導圖的概念是在19世紀60年代由“記憶之父”東尼·博贊提出的，是表達發散性思維的有效圖形思維工具，是學習者對特定主題的一種構建過程.思維導圖的最終目的是提高學生的學習效率，以一種新穎的筆記方式呈現出來.它的中心位于中央圖形上，就像一棵樹，樹的主干上分出各個分支，主干的主題作為中心，各分支形成一個連接的節點結構[1].與傳統直線記錄方式不同，思維導圖以放射性思考為基礎，是一個發散性、形象化的工具，隨著思維的不斷加深，逐步形成一個有條理和有順序的樹狀圖[2].運用思維導圖，學生在學習過程中可以促進知識的遷移與整合，更清晰地構建知識體系，可以提高學生的學習效率.思維導圖的核心在于將學生的思維可視化，將學生內心所想以樹狀圖的形式呈現出來，在建構導圖的過程中培養學生的發散性思維.

通過上述對思維導圖功能的討論，我們對思維導圖進行一個新的定義：它是幫助學習者厘清思維活動，由不同形狀、不同顏色繪制而成的工具.它將紛繁雜糅的信息通過不同的顏色、圖形與層級形式進行表征，將不同的思想觀點進行區分，學習者可從全局角度厘清思路，提高自身的思維能力.關于其基本特征，創立者東尼·博贊總結如下[3]：①核心在中央圖形上;②分支從中央圖向四周發散出去;③每一個分支由一個關鍵的圖形或關鍵詞構成，更次要的內容在下一個層次的分支中體現出來;④各個分支形成一個節點結構，表達該分支的意思.因此，我們在繪制思維導圖時也應注意上面四點.

二、思維導圖應用于數學核心素養的培養

（一）思維導圖應用于培養數學核心素養的必要性

數學作為基礎性學科之一，其主要的學習目的是訓練與培養學習者的數學思維能力，并將其自如地運用在學習乃至生活中，在運用的過程中不斷發現創新.數學教育是以理解、探究、解決問題為價值取向，培養與提升學生的數學核心素養.在《普通高中數學課程標準（2017年版）》[4]中，具體提出了：將數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六個方面作為數學學科的核心素養，并且提出了“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）和“四能”（發現問題能力、提出問題能力、分析問題能力、解決問題能力）的基本課程要求.不僅重視數學的“四基”的教學與“四能”的培養，還指導學生會用數學的眼光看世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界（“三會”）.核心素養強調知識和思維能力，因為只有思維能力才是提升未來人才核心競爭力的關鍵.如何提升思維能力，這就需要教師把握數學學科的本質，了解學生發展的特性，提高教學技能的水平，在提出問題、分析問題、解決問題、拓展問題一系列的教學活動中達到這一目標.

（二）思維導圖應用于數學核心思維培養的優勢

（1）思維導圖有助于學生建立數學學科知識體系

數學學科具有其特殊性，是一門思維性、邏輯性較強的學科，高度抽象、邏輯嚴密、環環相扣是其顯著特點.數學知識的學習過程呈螺旋式上升結構，新知識點的學習需要已經掌握的知識作為基礎，而思維導圖恰恰可以幫助學生建構數學學科知識體系，學生可以從一個核心概念入手，發揮自己的思維，將各個相關的知識點緊密聯系在一起，以圖式的方式厘清所有知識點，使學生加深對知識點的認識與理解，擺脫固有的學習套路，增強學習興趣，在腦海中建立起完整有序的數學學科知識體系，進而促進學生學習，提高學生學習效率.

（2）思維導圖有助于學生邏輯思維與發散思維相結合

數學學科知識是抽象的，學生在學習過程中，對那些抽象煩瑣的數字和概念往往很難理解，并不能將已掌握的知識與新知識聯系起來，形成一套完整的知識體系.教師引導學生繪制思維導圖，從學生角度來看，學生可跳出固有的思維定式，可從一個知識點發散到各種相關的知識點，在整個過程中，學生也達到了邏輯性和發散性的統一，從而對學生數學核心素養的培養提供了一定的幫助.

三、教學片段設計

新課教學在教學過程中是個重要的環節，也有許多教學理論都在探討如何教授一個新知識點，能夠使學生達到預期的教學目標，提高教學質量.思維導圖生動形象，圖文并茂，將一長串枯燥的數學知識點變成彩色的、容易記憶的、有高度組織性的圖畫.下面筆者以蘇教版必修4第1章1，2，3小節“三角函數的誘導公式”為例，具體闡釋如何依托思維導圖，引導學生數學思維的養成，培養學生的數學核心素質.

問題1：求值：

（1）cos390°;（2）sin 150°;（3）sin 7π6;（4）tan-π6.

圖1解：（1）cos 390°=cos（360°+30°），發現與30°角的終邊相同，且30°角在第一象限，因此cos 390°=cos 30°=32.

（2）sin 150°=sin（180°-30°）.畫出單位圓如圖1，發現30°角與150°角的終邊關于y軸對稱，點P與點Q的縱坐標相同，橫坐標互為相反數，因此sin 150°=sin 30°=12.

（3）sin 7π6=sinπ+π6.由于7π6與π6的終邊在同一條直線上，且7π6在第三象限，而第三象限的正弦值為負，故sin 7π6=-sin π6=-12.

圖2（4）tan-π6.畫出單位圓如圖2，發現-π6與π6的終邊關于x軸對稱，點A與點B的橫坐標相同，縱坐標互為相反數，

所以sin π6=-sin-π6，cos π6=cos-π6，

tan-π6=sin-π6[]cos-π6=-sin π6[]cos π6=-3[]3=-tan π6.

設計意圖：學生將問題轉化為已學過的知識，利用已有知識解決新問題，增強學生對新舊知識的關聯與反思能力.

問題2：在解決問題1中，有什么萌生的想法？

探求：①-α→α②α+2kπ→α（k∈Z）

③π+α→α

④π-α→α

設計意圖：從問題1中我們可以發現，對于正弦、余弦、正切來說，存在以上4種誘導變化，那么它們的誘導變化究竟是怎樣的，則需要同學們一起去探索發現.提出問題，讓學生通過剛才做的題目，發散其思維，找出誘導關系，并證明其誘導關系的正確性.

問題3：你打算如何推導出下列三組角之間的三角函數關系？（問題2中的①③④）

解：由②α+2kπ→α（k∈Z）出發，這是問題1中的（1）求cos 390°的值的具體體現.由之前學過的三角函數定義可知，終邊相同的角的同一三角函數值相等（390°是由30°的角逆時針旋轉360°得來的，故兩者終邊相同），即有cos α=cos（α+2kπ）（k∈Z），

sin α=sin（α+2kπ）（k∈Z）.又因為tan α=sin αcos α，則：

tan α=tan（α+2kπ）（k∈Z）.

首先推導① -α→α，

可以看到這是問題1中（4）求tan-π6值的特殊表現.那么我們可以將-π6擴大為普通的一個角α（由于我們一般多將α設定為銳角，所以在這里我們假定α為銳角），根據三角函數的定義得：

點P1（cos α，sin α），點P2（cos（-α），sin（-α））（如圖3），由于P1，P2關于x軸對稱，則橫坐標相同，縱坐標互為相反數，則有：

cos α=cos（-α），

sin α=-sin（-α）.

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（-α）.

接著推導③π+α→α，

可以看到這是問題1中（3）求sin 7π6 值的特殊表現.同理我們可以將其看成一個普通的角α，來探求這其中的三角函數關系.

點P1（cos α，sin α），點P4（cos（π+α），sin（π+α））（如圖3），由于P1，P4關于原點對稱，則橫坐標、縱坐標都互為相反數.則有：

cos α=-cos（π+α），

sin α=-sin（π+α）.

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=tan（π+α）.

最后推導④π-α→α，

可以看到這是問題1中（2）求sin 150°值的特殊表現.同理：

點P1（cos α，sin α），點P3（cos（π-α），sin（π-α））（如圖3），由于P1，P3關于y軸對稱，則橫坐標互為相反數，縱坐標相同.則有：

cos α=-cos（π-α），

sin α=sin（π-α），

又因為tan α=sin αcos α，所以

tan α=-tan（π-α）.

圖3

設計意圖：從問題1到問題3，從特殊具體的三角函數到一般抽象的三角函數，一一對應，體現從特殊到一般的數學思想.由單位圓出發，通過一個清晰的圖便可看出這四類角的三角函數關系，簡潔明了，帶領學生分析其推導過程：角的關系→終邊關系→終邊與單位圓的交點坐標→三角函數關系.一步步推進，體現了數學的邏輯性，發展學生的邏輯思維能力與整體能力，滲透數形結合的數學思想.

思考：是否有更簡便的證明方法？（課后思考）

設計意圖：關注學生解題方法的多樣性，培養學生的發散思維.

在學習完相關理論之后，開始練習，解答例題，將所學的知識靈活運用.

應用1：求值：

（1）sin 19π6; （2）cos 11π4;

（3）tan-1560°;（4）sin-16π3.

解：（1）sin 19π6=sin2π+π+π6=sinπ+π6=-sin π6=-12.

（2）cos 11π4=cos2π+π-π4=cosπ-π4=-cos π4=-22.

（3）tan-1560°=-tan 1560°=-tan1800°-240°=tan 240°=tan 60°=3.

（4）sin-16π3=-sin 16π3=-sin4π+π+π3=-sinπ+π3=sin π3=32.

設計意圖：快與準地選取恰當的誘導公式，與問題1進行對比，讓學生感受到誘導公式的便捷性，鞏固學生剛剛學習的知識，加強知識點與具體題目之間的聯系，提高學生的解題能力以及解題的靈活性和變通性.

應用2：判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=1-cos x;

（2）f（x）=x-sin x.

解：解決奇偶性問題，首先要回顧之前所學內容，步驟如下：定義域→判斷f（x）與f（-x）的關系→得出結論.

對于（1）來說，f（-x）=1-cos（-x），由誘導公式知：cos（-x）=cos x，因此f（x）=f（-x），則f（x）為偶函數.

對于（2）來說，f（-x）=-x-sin（-x），由誘導公式知：sin（-x）=-sin x，因此f（-x）=-x-（-sin x）=-x+sin x，f（x）=-f（-x），則f（x）為奇函數.

設計意圖：由應用2，我們可發現，三角函數的誘導公式不僅僅只用于求三角函數的值上，還可以用來判斷函數的奇偶性.“思考·運用”的題目設計讓學生了解到數學知識的廣泛性，各個知識點存在相通的地方，學生應從整體把握，要具備“學會思考”的能力，這就要求教師在傳授知識的過程中也要培養學生解決問題的能力，而學會解題也正是高中數學課程的主要目標之一.

課堂小結：

（1）我們是怎樣獲得誘導公式的？

（2）如何利用誘導公式？如何將任意角三角函數轉化為銳角三角函數？

本節課在學習三角函數的誘導公式時，緊緊圍繞單位圓這張圖，依托思維導圖來建構新知識點，將所要講授的知識直觀地呈現在學生面前，引導他們梳理知識結構，構建一個清晰明了的知識結構框架，對三角函數的誘導公式這一節知識點有全面的認識與把握，在解題過程中可以更快地找到方法.

通過課堂教學，引導學生對之前所學的任意角、弧度制、任意角的三角函數、同角三角函數關系進行一個回顧復習，并以典型的例題作為新知識講授的載體，滲透數形結合思想、特殊到一般的數學思想，促進他們最終建構與生成如圖4所示的三角函數誘導公式思維導圖.

第二象限：sin為正sin（π-α）=sin α

cos（π-α）=-cos α

tan（π-α）=-tan α

第三象限：tan為正sin（π+α）=-sin α

cos（π+α）=-cos α

tan（π+α）=tan α

sin（α+2kπ）=sin α（k∈Z）

cos（α+2kπ）=cos α（k∈Z）

tan（α+2kπ）=tan α（k∈Z）

第一象限：全為正

sin（-α）=-sin α

cos（-α）=cos α

tan（-α）=-tan α

第四象限：cos為正

整節課的設計思路是通過問題引入新課，由舊知識引入新知識，利用單位圓清晰地將四種角在圖上反映出來，從具體的例子出發，探索一般情況下誘導公式的正確性，認知心理學表明，個體心智的提升可以通過后天大量有目的的練習來完成，并且我們不斷更新頭腦中的概念和語義，將已有知識和新知識緊密聯系，已有知識作為新知識的消化酶，作為新知識的建構基礎，在此基礎上新知識才能得以建立.因此，設計的例題起到承上啟下的作用，一方面與舊知識緊密聯系，另一方面也拋出了新知識的學習，并且與練習題相互對應，從而檢驗公式的學習和應用，最后繪制出三角函數的誘導公式的思維導圖，學生參與、體驗數學活動，經過獨立思考、合作交流、逐漸感悟數學思想，積累數學思維，進而形成和發展學生的數學核心素養.運用思維導圖建立數學框架、知識脈絡是非常重要的，繪制思維導圖時，個體利用已有的脈絡和框架，按照知識點的順序去畫，在整理導圖分支時，要特別注意各分支之間的關聯.我們將思維導圖運用在數學復習課中，能改善學生的認知方式，提高學生整合知識的能力，是提高學生解題能力和思維能力的有效手段.

從知識與技能的學習來看，思維導圖的繪制需要學生找到關鍵主題，促使學生深入思考，厘清知識的主干和分支，從而使知識點清晰地展現出來.從學生學習的本質來看，思維導圖有助于學生進行思維建構，讓學生在思維困頓時利用思維導圖，突破思維定式，讓思維向縱向深處發展.從教師教學來看，思維導圖能把復雜的關系條理化，思維導圖作為一種教學工具，可有效克服語言交流的抽象，促使師生、生生之間的交流更加生動有效，提高教師的教學質量與學生的學習質量.

數學教學如何為學生核心素養的發展做出貢獻呢？章建躍博士認為：“應以發展學生核心素養為目標指向，以數學知識為載體，以數學概念的內在邏輯為線索，精心選擇學習素材，構建學習情境，設計符合學生認知規律、建立目標明確的系列活動，引導學生通過多樣化的學習方式掌握數學‘雙基，形成思維能力.并在運用數學知識解決問題的過程中，培養創新精神和實踐能力，從而實現核心素養的發展目標[5].”理想的數學教學過程應注意以下幾個環節：把握數學知識的本質，提出合適的數學問題，啟發學生自主思考，鼓勵學生相互交流，感悟蘊含的數學思想，提升數學核心素養.因此，數學核心素養的養成是學生日積月累的結果，需要學生和教師共同努力.

【參考文獻】

[1]Tony Buzan.The Mind Map Book[M].葉剛，譯.北京：中信出版社，2009.

[2]托尼·巴贊.思維導圖[M].李新，譯.北京：作家出版社，1999：36-40，98-101.

[3]王菠.利用思維導圖優化初中數學復習課[D].南京師范大學，2014.

[4]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5]章建躍.樹立課程意識，落實核心素養[J].數學通報，2016（5）：1-4.