淺析數形結合數學思想和方法在教學中的應用

俞詠華

【摘 要】本文簡要介紹數形結合數學思想和方法的重要性，以及數形結合在初中數學教學中常見的應用類型，通過歸納解析數形結合在解題中常見的應用類型，以進一步提高數形結合的應用能力，培養學生數學思維和解決問題的能力。

【關鍵詞】數形結合;數學思想方法;應用

在初中數學教學中，合理有效的運用數學思想和方法，可以有效培養學生的思維能力，提高學生解決數學問題的能力。日本數學教育家米山國藏指出，學生在進入社會以后，如果沒有什么機會應用數學，那么，作為知識的數學，通常在學生走出校門后不到一、兩年的時間就會忘掉。然而不管他們從事什么業務、工作，那種銘刻在他們腦中的數學精神和數學思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發揮重要作用。數學作為一門思維科學，培養和提高學生的思維能力是數學教學的核心。那么，在我們現實的初中數學教學中，我們如何培養和提高學生數形結合的數學思想和方法呢？

一、數形結合數學思想在數學教學中的重要作用

所謂數學思想，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們意識之中，經過思維活動而產生的結果。通過對數學思想的培養，學生的數學能力會有大幅度的提高。數形結合通過數與形之間的聯系與相互轉化關系，可以將所要研究、解決的問題化難為易，化繁為簡。

（一）數形結合有助于提升學生理解掌握數學概念的能力

著名數學家華羅庚先生曾指出：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛， 數缺形時少直觀，形少數時難入微。”數學中的定義、概念和定理等都是抽象的，這些抽象的內容是數學教學中的重點和難點。在學生獲得知識與解決問題的過程中，僅僅借助語言表達和文字敘述來實施教學活動，會給學生一種單調、乏味、枯燥、難懂的感覺。利用數形結合的思想和方法，根據解決問題的需要，將抽象的數學語言與直觀的圖形符號結合起來，把數量關系的問題轉化為圖形問題去討論，把圖形問題轉化為數量關系的問題來研究。簡言之，就是“數形相互取長補短”。這種轉化抽象為具體的數形結合的思想過程，不僅可以揭示數學概念的來龍去脈，還可以幫助學生理解和掌握數學概念。平時教學活動中如果為定義或概念賦予相應的圖形和信息，可以協助學生利用圖形信息來理解、記憶概念，并能有效引導學生經歷知識形成的過程，在觀察、操作、分析、抽象、概括的過程中體會知識負載的方法，體會數學蘊涵的思想。從而促進學習活動中對相關性質的靈活應用。這樣，學生所理解和掌握的知識就是鮮活的，也是可遷移或轉化的。學生對數學的認知會得到一定的提升，數學素質能得到質的飛躍，教學過程無疑達到舉一反三，事半功倍的效果。

（二）數形結合有利于學生優化發展認知數學問題的能力

在日常生活中，處處離不開數學模形，時時離不開數學問題。如我們教室里每個學生所在的坐位，路邊人們對弈時常見的棋盤，以及人們居住的生活小區等等，都是由數學中常見的點、線、面組成的圖形。利用學生對這些生活中常見物體的認知基礎，把生活中的形與數相結合遷移到數學中來，在教學中進行數形結合思想的滲透，可以有效的幫助學生理解數與數軸的關系，建立有序實數與平面直角坐標系的對應關系，有利于優化學生從數軸到平面直角坐標系是從一維到二維變遷的數學認知結構，并由此向多方面的數學知識點遷移和深化。利用學生身邊的物體都具有一定形體的特性，如刻度尺、溫度計及其上面的刻度，再如一元一次不等式的解集與一次函數的圖象，二元一次方程組的解與一次函數圖象之間的關系，一元二次方程的解與二次函數圖象之間的關系等等，通過數形結合使學生對“實數”、“整式”、“分式”、“不等式”、“方程”、“函數”等數學知識整體化、系統化，讓學生在各種知識背景下提取有用的信息，且能從 “數”與“形”兩個維度去考慮解決問題，逐漸培養發展學生思維的流暢性和靈活性，優化提高學生認知數學和解決數學問題的能力。

（三）數形結合有利于激發學生學習數學的愛好興趣

愛好和興趣是每個人最好的老師。在數學教學中，學生普遍認為數學難學且單調和枯燥，因此缺乏學習興趣。如何激發學生對數學的求知和探索欲望，培養學生學習數學的興趣呢？教學實踐證明，通過數形結合的思想和方法，將單調和枯燥的數學教學變得更具趣味性和生動性。例如，現在中學教材的每一章開頭都有一幅插圖、例題和習題，我們平常看到的其他許多教材的封面，也都體現了數與形結合的特點。在教學中，可以充分利用這些圖形，結合實際生活的例子，讓學生在生活中感受到數學，在現實中能夠看到實物，想到實物所具有的形象與特征，這樣學生學起來就感興趣，而且會記得牢固。用數形結合幫助學生產生直觀認識，激發學生學習數學的興趣。此外，數學本身是一門融合了各種美感的學科，其中包括對稱美，旋轉美，簡潔美、和諧美等等，我們在教學過程中，應把握好這些美感，在講解知識點和解題方法時，利用數形結合思想和方法，喚起學生對數學美的追求。讓這些美感在圖形上的體現更為直觀、更為動人。讓學生經歷直觀圖形、形象概括、本質抽象的過程，充分享受數學的美，感受數形結合的好處，提高對數學學習的興趣。這樣，學生會把學習數學當作一項愉悅和滿足來享受，而不再會把學習數學當成一種負擔和包袱來應付。

（四）數形結合有助于培養和提高學生的思維能力

第一，數形結合思想有助于培養學生的形象思維能力。數形結合豐富了圖象信息的儲備，而圖象信息的發展過程可以促進學生對圖形的認識能力，促進學生形象思維的發展。第二，數形結合有助于提高學生的直覺思維能力。運用數形結合解題直觀地看到問題的結果，許多疑難數學問題的解答過程，一般都要先從幾何圖形分析入手，然后進行邏輯推理和證明及計算，進而使問題得以解決。第三，數形結合有助于提高學生的抽象思維能力。在解決數學問題的過程中，根據數學問題的數量關系與圖形之間的聯系，把形的問題轉化為之相對應的數的問題，或把數的問題轉化為之相對應的形的問題，這種數與形、形與數之間的不斷轉化和翻譯，學生的思維由抽象概念向具體形體轉化，再從具體形體向抽象概括翻譯的過程，也是提高學生抽象思維能力的過程。

二、初中數學教學中數形結合思想方法常見應用及解析

問題是數學應用中的核心所在，提出問題并解決問題是推動數學發展的內在動力。古人講“工欲善其事，必先利其器”。數形結合是解決數學問題的一個重要工具，也是中學數學中極為重要的基本方法之一。數形結合可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，是優化解題過程的重要途徑之一。

（一）數形結合解決問題常見的兩種類型

一種是以數解形。就是通過已知的數據，借助所給的圖形，來分析、觀察數與形的關系，進而找出圖形中所蘊含的數量關系，從而得出或反映幾何圖形內在的變量及屬性。另一種是以形助數。就是根據題目所給的數量條件，繪制出相應的圖形，再由圖形反映出來相應的數量關系，進一步解答數與式之間的關系。

（二）數形結合思想方法的主要應用類型

在初中數學的教學中，常用的“數形結合”思想和方法主要應用有以下幾種情形：

1.數形結合在解不等式中的應用

例1：已知關于x的不等式組的整數解共有x-a>02-x>02個，則a的取值范圍是 ? ? ? 。

這道題學生很容易解得不等式組的解集為x>ax<2我們可以利用數軸的直觀特點，將x<2標注在數軸上，分析要使得不等式組有2個整數解，由圖象可知整數解為0，1，則a應在-1～0之間，且可以等于-1，但不能為0，所以a的取值范圍是-1

2.數形結合在解方程中的應用

例2：根據下列表格中二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍（? ?）

A.6

B.6.17

C.6.18

D.6.19

一般地，學生對于這樣的題目，首先想到的是求出二次函數的解析式，從而得出一元二次方程，再解一元二次方程。此方法在解決本題中明顯存在較大難度且不易行得通。我們不妨利用ax2+bx+c=0（a≠0）的解為二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標，結合二次函數的草圖，不難分析得出（6.18，-0.01）在x軸的下方，而（6.19，0.02）在x軸的上方，推出與x軸的交點在（6.18，0）與（6.19，0）之間，所以不難得出x的一個解范圍為6.18

3.數形結合在解函數問題中的應用

例3：如圖，一次函數的圖像經過第一、二、三象限，且與反比例函數的圖像交于A、B兩點，與y軸交于C點，與x軸交于D點，OB=，tan∠DOB=。

（1）求反比例函數的解析式;

（2）設點A的橫坐標為m，△ABO的面積為s，求S與m之間的函數關系式;并寫出自變量m的取值范圍。

（3）當△OCD面積等于時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上所截線段長度能否等于3？如果能，求出此時拋物線的解析式;如果不能，請說明理由。

解此題，學生會顯得有些吃力。如果引導學生利用反比例函數、一次函數、二次函數圖象及三角形面積及三角函數對應的圖形等知識，靈活運用數形結合的數學思想方法，此類問題便可迎刃而解。

4.數形結合在解幾何證明題中的應用

例4：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高為4。動點M從B點出發沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動;動點N同時從C點出發沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動。設運動的時間為t（秒）。

（1）當MN∥AB時，求t的值;

（2）試探究：t為何值時，△CMN為等腰三角形。

此題在解答時應在梯形圖形與相似三角形的基礎上，把具體的數標示到圖形上，運用數形結合的思想方法，將具體的線段轉為數與式，從形得比例式，再將比例式化為方程，解出方程，從而得出形的答案。

5.數形結合在解決實際問題中的應用

例5：某市政府大力扶持大學生創業，李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈。銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似看作一次函數：y=-10x+500。

（1）設李明每月獲得利潤為ω（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

在解答此題時，不妨運用函數圖象，結合形的思想找尋符合題意的點與段，再由點與段轉成方程或算式，從而求得此題合適的答案。一般地，一時難以下手的題目，如果能從數形結合的思想方法入手，很多問題會變得具體簡單，為學生解題提供可行性的思路和方法。

總之，數形結合思想在數學解題中的應用很廣泛，幾乎滲透在所有學習新知識，以及應用知識解決問題的全過程之中。只要我們教師在平時的教學工作中，多注意數形結合的應用，有意識地加強這方面的訓練，一定會提高自身運用數形結合解決數學問題的能力，也一定會培養學生學習數學全面的思維能力，提高學生運用數學解決問題的能力和水平。

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