通過變式設計解決一次函數與幾何圖形的綜合應用問題

黃玉芳

摘 要：在數學教學過程中，不能脫離內容談數學思想方法，不能過于散亂，要以內容教學為主，滲透思想。在初中階段，數形結合思想是一個很重要的思想，學生要充分經歷應用數形結合思想方法，特別是借助幾何直觀解決問題的過程，并在這個過程中學會應用函數圖象解決函數表達式不等式以及相關的周長和面積等問題。

關鍵詞：變式;幾何直觀;數形結合

用變式問題來教學或實踐是中國課堂教學的一個“本土”特征。教師要注重以變式教學作為支撐、以雙基為導向的數學教學模式。教學的過程中，存在著各種各樣的問題，對于一道題目，教師可以設置一系列的問題，激發學生的思考，從不同角度、不同方面和不同方式進行變式，注重知識的前后聯系，充分調動學生的學習潛力，培養學生的化歸意識。下面是筆者對一節復習課的嘗試，復習內容為“一次函數與幾何圖形的綜合應用”，在可能的條件下，對于“數”的問題，讓學生借助于“形”去研究，并且不斷地設置新問題進行變式教學，挖掘這一知識點的本質特征。

分析：如果學生能將不等式左邊看成一次函數，直接根據圖象求得x的取值范圍，實際上學生已經應用了數形結合的思想，說明學生已經能夠透過現象看到本質來解決問題，一次函數y=kx+b的圖象與x軸相交于點A，則不等式kx+b>0的解集對應的是圖象在x軸上方部分的自變量的取值范圍，而不等式kx+b<0的解集對應的是圖象在x軸下方部分的自變量的取值范圍。

分析：此題可以用常規的方法，根據已知條件，分別求出兩個一次函數的解析式，列出一元一次不等式，然后解出x的取值范圍，也可以結合圖象，利用數形結合的數學思想直接求出x的取值范圍，兩種方法都可以解決該問題，可以讓學生進一步體會“數”“形”的本質。

分析：此題與變式2類似，一種方法可以根據圖象求出不等式組x的解集，另一種方法可以根據已知條件，分別求出兩個一次函數的解析式，列出不等式組，然后解出不等式組的解集，該變式同樣是兩種方法都可以解決該問題，再一次讓學生分別體會“數”“形”的本質。

變式4：求變式2中的△PAC的面積。

分析：求△PAC的面積，實際上就是找出三角形PAC的底和高，此時以AC為底，高為點P到x軸的距離。根據點A與點C的坐標就可以求出AC的長。

變式5：變式2中，在PA上是否存在一點J，使得△JAC的面積為10。

分析：求△PBC的面積，常規做法就是找出三角形PBC的底和高，觀察圖形發現變式5與變式4不同，變式5無法直接求出△PBC的面積。此時可用割補法轉化問題來求出△PBC的面積。

同樣的，用補的方法也可以過點P作PE垂直于y軸，垂足為E，此時用S梯形OCPE-S△OBC-S△PBE也可以求得△PBC的面積。

解法二：過點C做x軸的垂線交AP于點F，此時可求得點F（2，5），這時CF將△PBC分割成△BCF和△CPF。

同樣的，用割的方法也可以過點B作y軸的垂線BG交PC于點G，此時BG將△PBC分割成△BGP和△BGC。用類似的方法就可以求出△PBC的面積了。

此題不能直接求出三角形的面積，需要運用割補法將不規則的圖形轉化為我們熟悉的圖形進行求解。化未知為已知，結合學生以前所學過的知識進行求解。

變式7：在y軸上是否存在一點H，使得PH+CH最小？若存在，請求出點H的坐標;若不存在，請說明理由。

分析：變式7其實就是典型的將軍飲馬求最值的問題，其實質就是“軸對稱”和“兩點之間線段最短”知識點的應用。

解法2，也可作點P關于y軸的對稱點，類似的方法求出點H。

變式8：在y軸上是否存在一點I，使得△PIC周長最小？若存在，請求出點I的坐標;若不存在，請說明理由。

分析：變式8與變式7實質是一樣的，只是問法不同，都是典型的將軍飲馬問題，就是“軸對稱”和“兩點之間線段最短”知識點的應用。因為PC長是定值，要求△PIC周長最小，實質上就是求PI+CI的值最小。

解法如變式6。

本節課從一個基本圖形開始，不斷地進行變式，圍繞著學生所學過的基本知識點進行綜合應用，難度層層加深，讓學生從多角度對一次函數與幾何綜合的知識點進行深刻的理解。以“問題”作為驅動，“數形結合”引領問題解決。培養了學生由淺入深、層層遞進的思維過程和幾何直觀能力。

編輯 王亞青