牛頓-萊布尼茨公式由特殊到一般的教學探索

摘?要：介紹“由特殊到一般”的教學方法在牛頓-萊布尼茨公式教學中的具體運用。根據現行高等數學內容，提出通過復習引入、分析特例、提出猜想、嚴格證明等步驟引導學生自主探索計算定積分的簡便方法—牛頓-萊布尼茨公式。

關鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式;教學探索;高等數學

一、 緒言

高等數學是高職院校的一門重要的基礎理論課，其具有邏輯性強、抽象性強等特點。對于高職學生而言，普遍感到數學概念、公式、推導過程等非常抽象，難以理解，對高等數學的學習具有強烈的畏難情緒。因此在教學過程中，如何把抽象的內容具體化，把復雜的問題簡單化，從而激發學生的學習興趣，提高課堂的教學效果就顯得尤為重要。從特殊到一般，再由一般到特殊，這是認識的一個基本規律，這一規律也同樣適用于數學學習過程。縱觀各年級的數學學習，對公式、定理等的學習往往都從特殊的例子開始，通過總結歸納得出一般的猜想，再經過嚴格的證明后，使之成為一般結論，進而用他們來解決其他的數學問題。在整個由特殊到一般的思維過程中，學生不僅僅學會了一個數學公式、會解一道數學題，更培養了學生的邏輯思維和歸納推理等能力。

牛頓-萊布尼茨公式是微積分學中最重要的公式，被稱為微積分基本公式，在教材中處于及其重要的地位。它不僅揭示了不定積分和定積分之間的內在聯系，同時也提供了計算定積分的一種有效方法。文章嘗試遵循由特殊到一般的教學方法對學生進行建構教學，由教師提出一系列環環相扣的問題，在教師的啟發和引導下，讓學生自主分析、探索，并在探索的過程中歸納總結出牛頓-萊布尼茨公式。

二、 復習導入

二、 分析特例

著名的數學家希爾伯特曾經說過“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用”。那么我們嘗試從研究特殊的問題出發，猜想是否存在計算定積分的簡便方法。

也就是說速度函數在一段時間間隔上的定積分表示成了它的原函數在該區間上的增量。

（二）幾何問題

從求變速直線運動的路程和求直角梯形面積入手，分析解決這兩個問題的方法有何共同之處;通過幾何和物理問題，分析探索計算定積分的新方法，培養學生的抽象思維能力。

三、 提出猜想

分析剛才舉到的兩個幾何和物理問題，函數在一段區間上的定積分都等于它的一個原函數在該區間上的一個增量，那么對于一般的被積函數，是否也有同樣的如下結論：

如果這個猜想是成立的，定積分的計算就轉化成原函數的計算，這是之前學生所擅長的，如何簡便計算定積分的問題就得到了解決。笛卡爾曾經說過：要想獲得真理和知識，唯有兩種武器：清晰的直覺和嚴格的演繹，接下來嘗試就猜想進行演繹推理。

四、 嚴格證明

這個公式將定積分的計算轉化為原函數的計算，將兩個看似不相干的概念聯系起來，使得定積分的計算變得簡潔，這就是著名的牛頓-萊布尼茨公式。在自然科學中，一般我們說某個公式特別重要，就喜歡用人名來命名;而牛頓-萊布尼茨公式就非常重要，它在數學領域特別是微積分學領域占有非常重要的地位，就是這一公式的建立，標志著微積分的真正建立。在十七世紀，英國科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別從不同角度獨立提出了這一公式，所以后人以他們的名字共同來命名該公式。

牛頓-萊布尼茲公式的提出在微積分學發展史上意義非凡，它又被稱為微積分基本公式，它的重要性體現在以下兩點：（1）建立了定積分與被積函數的原函數之間的關系，架起了積分學與微分學的橋梁，自此以后，許多物理、天文等方面的實際問題才真正得以解決，從而推動了整個近代科學的發展。（2）該定理表明一個連續函數在區間上的定積分等于它的任意一個原函數在區間上的增量，提供了一種計算定積分的簡便有效的方法，通過兩步走，先求原函數，再代入區間端點計算增量。因此，稱牛頓-萊布尼茲公式為微積分基本公式是當之無愧的。

六、 應用舉例

通過具體實例，來展示這一公式的偉大與奇妙。

這個例題說明，牛頓-萊布尼茨公式大大簡化了定積分的計算手續，比采用定積分的定義，通過四個步驟進行計算的方法要簡單得多。采用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分的關鍵在于正確計算被積函數在積分區間上的原函數。

七、 歸納反思

（1）通過具體的實際問題，從不同角度分析考慮問題，類推猜想出牛頓-萊布尼茨公式的雛形，并給出嚴格的證明，最終得到牛頓萊布尼茨公式。（2）牛頓-萊布尼茲公式的深刻揭示了定積分與原函數之間的關系，把定積分與不定積分緊密聯系在一起。（3）運用該公式時要注意：求定積分關鍵在于找到被積函數的原函數。最后利用兩步計算法（先求原函數，再代入區間端點計算增量）求出定積分的值。事實上，大部分的定積分都可以通過牛頓-萊布尼茨公式進行計算，大家課后需通過多加練習熟練掌握各種形式的定積分計算問題，進而達到學以致用的目的。

通過在牛頓-萊布尼茨公式一課教學中采用由特殊到一般的教學方法，順應了學生的思維過程，課堂氣氛變得非常活躍，學生都能夠跟隨教師積極參與到課堂教學中來。學生不僅充分理解了牛頓-萊布尼茨公式，更學會了這個工具背后所體現出的解決問題的數學思維方法—由特殊到一般，再由一般到特殊。實踐表明，運用由特殊到一般的教學方法，不僅提高教學效果，更培養學生發現、分析和解決問題的能力。

作者簡介：

王芳，浙江省杭州市，武警士官學校。