數(shù)學建模何以引導數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地

杜美英

[摘? 要] 數(shù)學建模的過程，是一個綜合性非常強的過程. 數(shù)學建模與數(shù)學抽象、邏輯推理等并列陳述，但在數(shù)學建模的過程中，數(shù)學抽象與邏輯推理的過程都是實際存在的，只有經(jīng)過了充分的思維過程，以及進行高效的推理與抽象，一個真正科學有用的數(shù)學模型，才有可能建立出來. 欲使其發(fā)揮促進其他組成要素落地的作用，必須分析數(shù)學建模與其他要素之間的具體關系. 數(shù)學建模是核心素養(yǎng)背景下教師教育科研的重要載體.

[關鍵詞] 高中數(shù)學;核心素養(yǎng);數(shù)學學科核心素養(yǎng);數(shù)學建模

數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素中，數(shù)學建模可能是一線教師印象當中較為深刻的一個要素. 相對于其他五個要素而言，數(shù)學建模因其綜合性及實用性，更多地受到教師和學生的喜歡，同時數(shù)學建模又因為其能力培養(yǎng)的過程難度相對較大，因而在實際教學的水平體現(xiàn)上，顯得又不是那么理想. 在這樣的矛盾當中，如何用數(shù)學建模去引導數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地，這個問題值得每一個高中數(shù)學教師思考.

之所以認為數(shù)學建模可以引導數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地，是因為數(shù)學建模的過程，本身就是一個綜合性非常強的過程，雖然說數(shù)學建模與數(shù)學抽象、邏輯推理等并列陳述，但在數(shù)學建模的過程中，數(shù)學抽象與邏輯推理的過程都是實際存在的，只有經(jīng)過了充分的思維過程，只有進行高效的推理與抽象，一個真正科學有用的數(shù)學模型，才有可能建立出來. 所以從這個角度來講，數(shù)學建模對于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地來說，確實有著明顯的促進作用.

實際上，數(shù)學抽象與邏輯推理等要素，在數(shù)學教學中一直是受到重視的，但將它們綜合到核心素養(yǎng)的體系中，并組成了數(shù)學學科核心素養(yǎng)之后，數(shù)學建模的作用又顯得更加不平凡. 本文就以“指數(shù)函數(shù)”為例，談談筆者對利用數(shù)學建模促進整個數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地的淺顯思考.

作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素的數(shù)學建模

數(shù)學建模就是基于實際問題解決的需要而建立數(shù)學模型的過程，其關鍵在于去除與事物本質(zhì)無關的內(nèi)容，留下與問題解決相關的關鍵要素，且可以用數(shù)學語言去描述、用數(shù)學思維去解決. 在核心素養(yǎng)的視角下，數(shù)學建模被理解為對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，進而用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法建構模型、用數(shù)學知識解決問題的素養(yǎng)，是學生高中階段必備的數(shù)學核心素養(yǎng)之一. 《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》明確指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的. 高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.”其中，更是強化了數(shù)學建模思想的核心地位，并以主題的形式要求學生參與數(shù)學建模活動.

作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素之一，欲使其發(fā)揮促進其他組成要素落地的作用，首先要分析數(shù)學建模與其他要素之間的具體關系. 這樣的一個關系理解，顯然需要結合具體的數(shù)學知識教學過程來進行.

以“指數(shù)函數(shù)”的教學為例，當學生已經(jīng)認識到函數(shù)可以作為模型來解決問題時，需要幫學生認識到指數(shù)函數(shù)可以用來解決哪些類型的問題，也就是說要讓指數(shù)函數(shù)成為解決某一類問題的模型. 這就是一個數(shù)學建模的過程，那么在這個過程中，數(shù)學學科核心素養(yǎng)的其他要素是如何體現(xiàn)的呢？從數(shù)學知識發(fā)生的角度來看，指數(shù)函數(shù)概念的建立需要在一定的情境中發(fā)生，常用的情境有細胞分裂等，如1個細胞分裂成2個，2個細胞分裂成4個……那么分裂以后，細胞的個數(shù)y與細胞分裂次數(shù)x之間的關系，就是y=2x. 在這個過程當中，將生活中具體的實例變成數(shù)學研究對象，顯然是一個數(shù)學抽象的過程;根據(jù)細胞分裂的情形描述，分析出其中的規(guī)律，進而得出函數(shù)解析式，這是一個邏輯推理的過程，也是一個數(shù)據(jù)分析的過程;所得到的函數(shù)解析式，就是指數(shù)函數(shù)的最初雛形，也就是模型的雛形;這個過程當中，由于涉及具體的數(shù)據(jù)，因而也與數(shù)學運算有關;至于直觀想象，可能這里面沒有明確的直觀圖形，但是學生基于細胞分裂的規(guī)律，直覺性地判斷出兩者之間是一個指數(shù)關系，這種思維與直觀想象其實也有著一定的關系.

通過這樣的分析可以發(fā)現(xiàn)，以數(shù)學建模可以帶動數(shù)學學科核心素養(yǎng)其他要素的發(fā)生.

作為促進數(shù)學核心素養(yǎng)落地的數(shù)學建模

促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地，有一個重要的前提就是教師要站在學生的角度去認識問題. 因為核心素養(yǎng)是指向?qū)W生的，是學生通過學習之后應當獲得的素養(yǎng). 同樣，數(shù)學建模本身也是學生在教師的引導之下，通過一系列的思維活動建立數(shù)學模型的過程，因此理解作為促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的數(shù)學建模，也需要站在學生的角度進行. 當然，此過程中教師的指導發(fā)揮著重要的作用. 有同行認為，重視高中數(shù)學建模思維的引領，有利于學生有效積累數(shù)學思維活動經(jīng)驗，促進數(shù)學建模意識和數(shù)學建模能力的發(fā)展，提高解決實際問題能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

事實也確實如此，從上面所舉的指數(shù)函數(shù)的案例可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學建模在數(shù)學學科核心素養(yǎng)的六個要素當中，其實起著一定的承上啟下的作用，又或者說起著一種概括作用，當然也可以認為其起著引導作用. 無論以什么樣的語言來描述數(shù)學建模在核心素養(yǎng)落地中的作用，有一點是可以肯定的，那就是數(shù)學建模的過程，也是數(shù)學學科核心素養(yǎng)其他要素得以落地的過程.

回到數(shù)學建模的本質(zhì)上，一般認為數(shù)學建模是思維的過程，數(shù)學學習過程中，學生思維的對象是包括數(shù)學概念、符號等在內(nèi)的對象，這些對象在師生的課堂交流中，充當著數(shù)學模型的每一個細胞與血液，因此重視數(shù)學建模，就不能忽視學生在課堂上與教師之間的互動，尤其是語言的互動，即對話. 課堂對話作為班級授課制的自然產(chǎn)物，如果在教師本著核心素養(yǎng)培育的需要之下設計，則可以以其“內(nèi)在的張力”促進學生知識建構與核心素養(yǎng)形成. 所謂“內(nèi)在的張力”，是指師生在對話過程中表現(xiàn)出來的思維碰撞，是教師基于學生思維而進行的有效引導，其對學生建立、完善數(shù)學模型有極大的幫助.

比如在上面的例子中，基于細胞分裂的生活情境，通過對細胞個數(shù)與細胞分裂次數(shù)之間關系的探究，得出兩者之間存在著的指數(shù)變化關系. 當用解析式y(tǒng)=2x表示這種關系時，學生會發(fā)現(xiàn)這種關系跟以前所學過的函數(shù)形式并不相同，函數(shù)的變量出現(xiàn)在指數(shù)上，所以指數(shù)函數(shù)的概念可以說是應運而生. 加上上面所分析的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的其他五個要素的同時落地，數(shù)學建模在核心素養(yǎng)落地的過程中所起的作用不言而喻.

作為教師教育科學研究載體的數(shù)學建模

核心素養(yǎng)是指向?qū)W生成長要求的，教師在學生核心素養(yǎng)培育的過程中，發(fā)揮著無可替代的引導作用，這種引導作用是面向?qū)W生的，而對引導作用的研究則是數(shù)學教師掌握所教給學生的知識、理解學生認知規(guī)律，進而促進自身的專業(yè)成長的重要推動力. 所以從這個角度來講，數(shù)學建模還是核心素養(yǎng)背景下教師教育科研的重要載體.

筆者在研究數(shù)學學科核心素養(yǎng)如何落地的過程中，思考過一個重要的問題，那就是選擇什么樣的切入口. 經(jīng)過仔細斟酌之后，筆者發(fā)現(xiàn)就以數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要素作為切入口是比較妥當?shù)模劣诹鶄€要素中選擇哪一個，關鍵在于對這些要素進行深入的分析，并判斷其在學生學習的過程中起著什么樣的作用. 筆者的觀點是：數(shù)學建模所起的概括作用，是其他要素所無法替代的，因而才考慮以數(shù)學建模作為突破口，來讓自己對核心素養(yǎng)的研究有一個重要的抓手. 事實也證明這樣的選擇是正確的，在對數(shù)學建模進行研究的過程中，筆者既認識到數(shù)學建模是數(shù)學核心素養(yǎng)的基本成分，同時也認識到，對于數(shù)學建模這樣一個在高中數(shù)學教學中有著傳統(tǒng)研究的對象而言，將數(shù)學建模的傳統(tǒng)理解，與核心素養(yǎng)培育的需要結合起來，數(shù)學建模也就尋找到了一個重要的生長土壤，在傳統(tǒng)研究中形成的有益的認識，在這樣的土壤中依然可以茁壯生長. 而數(shù)學教師在研究的過程中，同樣可以以數(shù)學建模這個點，帶動數(shù)學教學研究這個面.

其實對于數(shù)學建模的理解可以拓寬視角，如果將每一個數(shù)學概念或者規(guī)律都是做一種數(shù)學模型，那么在高中數(shù)學教學中，就有著大量的數(shù)學建模的教學契機. 當然需要指出的是，不是每個數(shù)學概念或者規(guī)律都需要通過數(shù)學建模的思路去實施教學，選擇一些重要的概念，通過數(shù)學建模的思路實施教學，往往可以讓學生形成更為深刻的印象. 比如上面所舉的指數(shù)函數(shù)的例子，這是在其他函數(shù)概念學習的基礎上，通過新的情境引導學生發(fā)生了新的思考，于是新的解析式與對應的函數(shù)認識就形成了，學生對此的印象非常深刻;而在學習過程中所運用到的其他核心素養(yǎng)要素，使得整個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地成為可能.