關于數列最值問題的解法探究與建議

謝福慧

[摘? 要] 數列最值問題是高考的常見問題類型之一，考慮到數列的函數本質，可以參考函數問題的解法來求解. 文章將對數列最值問題的背景加以剖析，結合實例探究單調性法、數形結合法、不等式法和導數法的解題技巧，并提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 數列;最值;單調性;數形結合;導數;不等式

問題背景

數列是一種定義在正整數集上的特殊函數，以數列為基礎的最值問題是高中數學常見的問題類型，該類問題考點涉及數列性質、前n項和求法、最值內容、不等式、函數等. 從數列的函數屬性來看，求解函數最值的方法同樣適用于數列最值問題，故可利用單調性分析、數形結合、基本不等式、導數法等方法來加以求解. 對于數列最值問題的求解，可以歸納為“讀題、建模、選法、求解、還原”十字，即第一步是理解問題中的條件和結論;第二步是用數學符號表述問題;建立相應的模型;第三步則是基于問題模型選定合適的解法;第四步對問題進行簡化破解;第五步則是基于問題解來還原問題答案.

方法探究

求解數列最值的方法有很多，針對問題的特點需要選用合適的方法，下面結合實例探索不同方法的使用策略.

1. 單調性法

單調性法是數列問題的常用方法，包括數列的單調性和函數的單調性，基于內容性質求解時需要從不同的方向分析思考，尤其是利用函數單調性分析時需要結合數列結構來構建函數，然后進行性質分析，確定其最值.

例1：已知數列{an}的通項公式an=■（n∈N+），試求數列中最大的項.

分析：題干給出了數列的通項公式，求最大的項可從數列的通項公式入手，分析其形式構建相應的函數. 通項公式的分子和分母中均含有變量n，可以對其適度變形，可得an=■，顯然當分母n+■取得最小值時，an可取得最大值.由分母形式可構建函數y=x+■（x>0），后續利用函數的性質求最值即可.

解：變形可得a■=■，聯想函數y=x+■（x>0），可知函數在（0，■）上單調遞減，在（■，+∞）上單調遞增，顯然當且僅當x=■時函數可取得最小值，結合n∈N+可知要確保n+■取得最小值，需使得n=[■]，計算可知當n=12或13時，an最大，因此數列中最大的項為a12和a13.

評析：上述求解數列中最大的項時采用了函數單調性法，但在求解時有兩點需要注意：一是構造函數時需要緊密結合通項公式的結構;二是充分考慮數列正整數集合的特性，利用函數單調性只可以確定最值數列項的貼近情形，還需進一步比對分析.

2. 數形結合法

數列是一種特殊的函數，函數具有“數”與“形”的雙重特性，因此部分數列具有一定的幾何意義，可以采用數形結合的方法來分析突破.求解時需要分兩步進行：第一步推導數列的通項公式;第二步根據數列的通項對其圖像進行研究.

例2：在正項等比數列{an}中，已知公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項為2.

（1）試求數列{an}的通項公式;

（2）設bn=log2an，Sn為數列{bn}的前n項之和，試求當■+■+…+■取得最大值時n的值.

分析：（1）根據題干的等量關系，以及公比的取值范圍可以確定首項和公比的值;（2）數式中涉及數列的前n項之和，具有無窮性，需借助數列通項公式來分析數式的通性，需要關注數列中的“零”項，利用圖像特性來分析最值情形.

解：（1）分析可知a1=16，q=■，則{an}的通項公式為an=25-n.

（2）bn=log2an=5-n，b1=bn+1-bn=-1，即{bn}是以b1=4為首項、以-1為公差的等差數列，則其前n項之和Sn=■，則■=■，可將其視為關于正整數n的函數，散點圖如圖1所示. 由圖像可知當n≤8時，■>0;當n=9時，■=0，;當n>9時，■<0，所以當n=8或9時，■+■+…+■取得最大值.

評析：等差數列可以視為關于n的一次函數，因此根據通項公式繪制相應的函數圖像，直觀呈現數列項的數值變化，從而分類提取其中的正數和負數，確定與數列項相關的數式最值. 另外需要關注數列中的“零”項，該特殊項是問題多解的因素之一.

3. 不等式法

求解數列最值問題同樣可以采用不等式法，利用不等式的性質分析，也可以利用不等式的放縮技巧. 不等式的性質較為眾多，包括對稱性、傳遞性和運算規律等，需靈活運用.

例3：已知函數f（x）的解析式為f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12，且有f（a2-4）=f（2a-8），設等差數列{an}的前n項之和為Sn（n∈N+），如果Sn=f（n），試求■的最小值.

分析：■中的參數涉及等差數列{an}的要素，因此需要結合數列來對其加以分析，從而構建關于n的數式，最值分析可以直接借助基本不等式的性質.

解：函數f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12的對稱軸為x=-■，由f（a2-4）=f（2a-8）可得a2-4=2a-8，或a2-4+2a-8=2·-■，則a=1或者a=-4，需要對其分類討論：

當a=1時，f（x）=x2+9x-10，Sn=f（n）=n2+9n-10，a1=S1=0，a2=S2-S1=12，a3=S3-S2=14，a2-a1≠a3-a2，所以數列{an}不是等差數列，與題意不符，a=1舍去.

當a=-4時，f（x）=x2+4x，Sn= f（n）=n2+4n. 當n=1時，a1=S1=5;當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+3，a1=5也滿足，所以an=2n+3.

■=■=■×（n+1）+■+2≥■×2■+2=■+1，當且僅當n+1=■，即n=■-1時等號成立. 由于n始終為正整數，因此當n=3時原式可以取得最小值，且最小值為■.

評析：上述在求解數列前n項之和的最值時合理使用了均值不等式，均值不等式在代數類相關問題中有著廣泛的應用，實際應用時可以靈活使用其簡單結論：■≤■≤■≤■ （a，b∈R+）.

4. 導數法

考慮到數列的函數特性，因此也可以采用導數法來求解數列最值問題. 求解時需要采用類比、聯想構建的方式來建立中間函數，利用導函數的性質分析數列，從而求得最值.

例4：已知{an}為等差數列，Sn表示數列的前n項之和，若S10=0，S15=25，試求nSn的最小值.

分析：根據已知條件可以求得等差數列前n項之和為Sn=■n2-■n，所以nSn=■（n3-10n2），可據此構造函數f（x），利用導數法來分析f（n）的性質，從而確定其最小值.

解：根據題意易得Sn=■n2-■n，則nSn=■（n3-10n2）= f（n）. 設f（x）=■（x3-10x2），x≥1. 其導函數f ′（x）=■（3x2-20x）=■x（3x-20）. 令f ′（x）=0，則x=■. 分析可知當1■時，f ′（x）>0，f（x）在區間內單調遞增.由于n∈N+，則f（n）min=min{f（6），f（7）}，f（6）> f（7），則f（n）min= f（7）=-49，所以nSn的最小值為-49.

評析：上述在求解數列最值問題時采用了導數法，分兩步進行：第一步基于數列通式構建與其相關的函數;第二步利用導函數的性質來把握數列的變化趨勢，確定最值情形. 函數構造的方法有很多，數列問題中主要采用特征法，即根據數列的特征結構來聯想構造函數.

教學思考

上述基于數列的本質屬性呈現了最值問題的四種常用解法，并結合實例探究了問題的突破思路，下面結合教學實踐提出幾點建議.

1. 強化基礎知識，注重知識關聯

數列是高中數學的重點內容，需要總結常見數列的定義、性質以及前n項和的常用方法等，這些知識是求解數列最值問題的基礎. 教學中需要引導學生對知識點進行整合，采用對比歸納的方式來構建數列內容的知識網絡. 同時數列與函數、不等式等內容聯系緊密，因此教學中還應注重數列的知識關聯，幫助學生理清知識脈絡，構建完整的知識體系.知識關聯的方式有很多，可以結合綜合性較強的問題，以一題為引入，引導學生提取題干信息的知識考點;也可以直接聯系數列章節的前后知識，整合知識框圖.

2. 關注問題屬性，總結解題方法

數列是一種特殊的函數，因此具有函數的性質，同時也可以利用函數的研究方法和解題技巧來突破考題，因此在實際學習時需要從數列的本質屬性出發，理解數列的相關定義，聯系函數內容來總結解題方法. 本文所呈現的是數列最值問題的常用四種方法，其中單調性可用于研究數列的整體變化趨勢，數形結合是建立在數列的幾何意義之上的，不等式是從“數”的角度進行探究，導數法則是基于數列與函數的關聯特性. 教學中需要教師從數列內容的本質屬性入手，開展數列最值問題的解法歸納，總結特征問題的對應解法，形成系統的解題思路.

3. 重視思想方法，提升解題思維

開展解題方法教學是提升學生能力的重要方式，教學中不僅需要重視解題方法的講解，還需要挖掘解法背后的思想. 例如上述問題的突破中涉及了數形結合思想、化歸轉化思想、方程思想、構造思想等，正是基于核心思想才完成了解法思路的構建. 因此開展數列最值問題的解法探究，需要融合數學思想，引導學生理解數學思想的內涵. 由于數學思想理解起來存在一定的困難，故可以結合教材內容、例題講解，使學生初步掌握利用數學思想分析問題的步驟，在此基礎上進行考題拓展，逐步提升學生思維的靈活性.