關于解三角形的問題探究與教學思考

周云霞

[摘? 要] “解三角形”是學生需要重點掌握的數學知識，以其為基礎命制的考題涉及三角形的眾多性質特征，以及相關的幾何定理，其中正弦定理和余弦定理是解題突破的重要工具，在解三角形的考點問題中有著廣泛應用. 文章對解三角形問題進行剖析，結合實例探究考點問題的解析策略，并開展教學思考，提出相應的建議.

[關鍵詞] 解三角形;余弦定理;正弦定理;面積形狀

問題綜述

解三角形是高中數學的重點內容，以其為背景命制的考題涵蓋了三角形的邊、角、面積、三角函數、正弦定理、余弦定理等諸多知識，是綜合性較強的問題. 解析時需要靈活運用正弦、余弦定理及其變形公式來轉化求解. 教學該部分內容時對學生提出以下三點要求：一是強化知識聯系，靈活運用關聯知識處理綜合問題;二是重視數學思想，關注幾何背景下數形結合思想、方程與函數思想的運用;三是提升建模能力，能夠結合實際問題來抽象幾何模型.

考點探究

解三角形是高考的必考知識，相對而言問題難度不大，類型較為多樣，但其中存在一些較為常見的考點，對該部分內容進行探究時需對其考點進行總結，提煉解法，形成相應的解題思路，下面結合實例對其考點進行探究.

考點一：直接利用正弦、余弦定理解三角形

正弦、余弦定理是解三角形問題的重要定理，常作為解題工具出現.實際運用時需要關注定理本身和相應的變形公式，加以靈活運用來轉化簡答.

例1：已知△ABC的內角分別為A，B，C，且內角所對的邊依次為a，b，c，若sinB+sinA（sinC-cosC）=0，a=2，c=■，試求C的角度.

解析：本題目給出了三角形內角的三角函數關系以及兩邊長，求角C的大小. 首先需要從三角函數關系中提煉出三角函數值，然后利用正弦定理來求角C的三角函數值，從而確定角C的大小.

由sinB+sinA（sinC-cosC）=0可得sin（A+C）+sinA·sinC-sinA·cosC=0，進一步整理可得sinC（sinA+cosA）=0. 由于sinC≠0，所以sinA+cosA=0，則tanA=-1，考慮到角A的取值范圍為（0，π），則A=■π.結合正弦定理可得sinC=■=■，又知0

評析：上述求解過程中，先由三角函數關系提煉出三角函數值，從而確定三角形的一個內角，然后基于正弦定理進行轉化，推理出角C的大小，其中涉及三角形中的邊角轉化. 實際上運用正弦、余弦定理解三角形有兩種轉化思路：一是利用定理進行“角化邊”，用以求解一些與數值相關的問題，如角的三角函數值、比值或邊長等;二是利用定理進行“邊化角”，可以求解與角大小相關的問題.

考點二：利用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀

三角形的形狀與三角形的邊和角有著直接聯系，利用上述兩點可以直接確定三角形的形狀，如若三邊長滿足a2+b2=c2或A=90°，則可直接確定三角形為直角三角形. 實際上解題時可以利用正弦、余弦定理轉化出與角或邊相關的條件，進而分析三角形的形狀.

例2：在△ABC中，三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin2■=■，分析△ABC的形狀.

解析：題干給出了與角相關的三角函數，需要結合該條件來轉化出與角或邊有關的條件.

由于sin2■=■=■，所以cosB=■，根據余弦定理可知■=■，整理可得a2+b2=c2，故△ABC為直角三角形.

評析：解析時利用已知條件，結合余弦定理提煉出滿足勾股定理的三邊關系，從而確定了三角形的形狀. 利用定理來分析三角形形狀有兩種思路：一是由關系條件來求解角的大小，二是根據條件來分析三角形的三邊關系，尤其關注是否存在等邊關系或滿足勾股定理.

考點三：利用正弦、余弦定理求解三角形面積

利用三角形的兩邊長以及兩邊夾角的正弦值可以求解三角形的面積，而推理角的正弦值或計算邊長時可以引入正弦、余弦定理. 實際解析時首先確定所求三角形的面積模型，然后基于模型來探尋所需條件，完成面積求解.

例3：已知△ABC三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin2B=2sinAsinC，試回答下列問題.

（1）若a=b，試求cosB的值;

（2）若B=90°，a=■，試求△ABC的面積.

解析：（1）求B的余弦值，可以利用余弦定理，通過“角化邊”來求解，根據條件可得b2=2ac. 又知a=b，可解得b=2c，a=2c，由余弦定理可得cosB=■=■.

（2）B=90°，因此△ABC為直角三角形，根據勾股定理可得a2+c2=b2，由（1）可知b2=2ac，因此有a2+c2=2ac，解得a=c=■，所以S△ABC=■a·c=1，即△ABC的面積為1.

評析：上述在求解三角形面積時根據條件可直接確定三角形為直角三角形，故后續只需求邊長即可. 而對于一些一般三角形的面積問題，則可以根據已知角的大小或邊長來構建模型，利用正弦、余弦定理來提煉所需條件.

考點四：考查解三角形的綜合能力

教材對該部分內容的另一教學要求是使學生掌握從實際問題中抽象幾何模型的方法，而在考查時常結合生活實際進行，該類問題突破時需分兩步：第一步，依據實際場景來構建三角形模型;第二步，結合相關定理來完成條件轉化.

例4：如圖1所示，點A和B位于河岸的同一側，而A和B兩點無法直接達到，現需要測量A，B兩點之間的距離，測量員首先在河對岸選定兩點C和D，測得CD=■km，又測得∠ADB=∠CDB =30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，試求點A和B之間的距離.

解析：求A和B之間的距離需要構建相應的幾何模型，轉化為求線段AB的長，根據題意可繪制圖1，根據信息可確定∠DAC=60°，所以AC=DC=■km.而在△BCD中，已知∠DBC=45°，根據正弦定理可得BC=■·sin∠BDC=■km. 在△ABC中使用余弦定理，可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos45°=■，從而可解得AB=■（km），即A和B兩點之間的距離為■km.

評析：上述測量兩點之間的距離，獲得了相關線段長和角度的測量數據，進行實際計算時構建了相應的三角形模型，利用正弦、余弦定理來進行條件推導，最后利用余弦定理的變形公式求得了線段長. 正弦、余弦定理是對三角形中的角大小和邊長關系的描述，是對兩者關系的解讀，在解析時要充分利用、合理轉化.

■教學思考

上述是對解三角形問題的探討與考點剖析，其中正弦、余弦定理是解題突破的核心工具，在解三角形相關問題中均有著重要的作用，下面基于考點問題提出以下幾點教學建議.

1. 認識定理內涵，形成解題策略

正弦、余弦定理是求解三角形問題的核心知識，是實現邊角轉化的基礎定理，而在教學中首先需要引導學生對定理的內涵有著深刻的認識，然后再開展定理的變形探究，使學生掌握兩個定理的多種形式，可以適當結合變形訓練來強化學生記憶，提升學生在解題應用中的靈活性. 解三角形問題一般按照“角化邊”和“邊化角”兩種思路進行突破，教學中需要引導學生認識兩種思路的異同點，以及解題應用的注意點，幫助學生形成求解三角形問題的方法策略.

2. 突破思維定式，注重解題聯想

學生在學習解題時容易陷入思維定式，采用照搬套用的方式來解題，這樣的解題方式有著極大的弊端，容易偏離解題方向，造成錯解、漏解. 對于解三角形問題，如不能把握問題核心，使用定理則會遇到思維障礙，教學中需要引導學生關注問題特點，采用類題剖析的方式來進行解法剖析，同時注重學生聯想思維的發展. 例如對于涉及與三角形內角相關的sinA、sinB或sinC時，可引導學生聯想正弦定理進行關系轉化，而涉及cosA、cosB或cosC時，則聯想余弦定理開展邊角轉化，聯想教學的方式有助于拓展學生的解題思維.

3. 關注數學思想，提升綜合素養

上述解三角形問題中涉及數形結合、邊角轉化、構建模型等過程，實際上是對數學思想的解題應用，即可以通過幾何圖像來充分認識問題，利用化歸轉化思想來轉化問題條件，在實際問題中利用模型思想來構建解題模型，因此只有掌握數學的思想方法才能從根本上提升學生的解題能力. 在教學解三角形內容時需適度滲透數學的思想方法，結合數形結合思想引導學生完成定理的證明，使學生充分認識運用定理開展“邊角轉化”的思想內涵，在綜合運用階段使學生體驗模型構建的過程，從而深刻感悟數學思想，通過發展數學思想來提升學生的綜合素養.