核心素養視角下高中數學課堂教學效果的分析與思考

周書琴

[摘? 要] 數學核心素養的培養越來越受到國內一線教師的重視，精心設計“問題鏈”，啟發引導輔助探究，對培養學生數學核心素養起到了非常重要的作用. 文章主要從概念形成、公式推導和模型建構三個課堂教學片段中滲透數學的抽象素養和邏輯推理素養的培養.

[關鍵詞] 數學核心素養;啟發;引導;問題鏈;探究

數學核心素養

數學核心素養是高中數學課程修訂稿提出來的新的數學課程目標，數學的核心素養是適應個人終身發展和社會發展需要的具有數學特征的思維品質與關鍵能力. 高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析.這些數學核心素養既相互獨立，又相互融合，是一個有機的整體.

數學核心素養的形成與發展，是在教師的啟發和引導，通過自己的獨立思考或與他人交流，最終自己“領悟”出來的學習過程，是一種長期積累才能養成的思維習慣和思想方法. 因此，在教學中，基于教師啟發和引導學生探究，從而把握數學內容的本質. 為此精心設計科學、合理、高效的教學方案就非常重要.

對培養學生數學核心素養下，在不同課型中的啟發引導學生探究的課堂教學設計的探索

1. 在概念形成中，提升“數學抽象、直觀想象素養”

數學概念是數學知識體系的“細胞”，是建立數學理論的基礎. 數學概念是數學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行數學思維的核心，在數學學習與教學中具有重要的地位. 因此，概念教學是培養學生的數學核心素養的關鍵關節，數學概念的建立是從現象的感性認識中抽象出實物本質屬性的思維過程. 以啟發引導輔助探究為方式的概念是發展學生核心素養的有效途徑和方式.課堂教學中教師要精于設計問題，通過“問題解決教學”組織學生探究，通過對問題的探究在解決問題的過程中獲得新知、獲得感受、獲得解決問題的方法和思想，從而獲得核心素養的發展，獲得能力的提升.

案例1：圓錐曲線的共同性質的教學片段（蘇教版選修1-1）.

問題1：由本章第一節課知道，橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線，比較它們的定義結構，相似嗎？

（提問意圖：從橢圓、雙曲線的定義結構來看，非常類似;但給拋物線下定義時，結構卻發生了變化）

問題2：平面內動點P到一個定點F的距離PF和到一條定直線l（F不在l上）的距離d的比等于1，則動點P的軌跡為拋物線，此時■=1. 若動點P的軌跡是橢圓或者雙曲線時，則■為定值嗎？范圍是什么？

此處教師留給學生自主探索的時間和空間，學生開始思考，教師再結合幾何畫板動態演示（此處讓學生動態感受形與數的結合），學生得出結論：當曲線是橢圓時，■為定值，范圍在（0，1）;當曲線是雙曲線時，■為定值，范圍在（1，+∞），學生猜想■=e.

問題3：剛剛我們是從圖形的角度猜想■=e，那你可以從代數的角度加以驗證嗎？

此處給定時間充分思考. 在推導橢圓的標準方程時，我們（師生合作）曾經得到這樣一個式子a2-cx=a■（因為猜想■=e，所以學生很自然地想到把此式轉化為比值的形式），從而得到■=■.

問題4：請學生分析上式的幾何意義.

預設結果：橢圓可以定義為到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數■.

問題5：橢圓和拋物線都具有比值■，而差別就在等式的右邊，那么雙曲線有這個幾何意義嗎？

預設結果：通過類比橢圓幾何性質的推導過程，等到雙曲線的幾何性質.

問題6：現在你能歸納出三類圓錐曲線的共同性質嗎？

預設結果：學生組織語言，得出圓錐曲線的共同性質.

平面內到一定點F與到一條定直線l的距離之比為常數e的點的軌跡. （點F 不在直線l上）

（1）當0

（2）當e>1時，點的軌跡是雙曲線.

（3）當e=1時，點的軌跡是拋物線.

其中常數e叫作圓錐曲線的離心率，定點F叫作圓錐曲線的焦點，定直線l就是該圓錐曲線的準線.

案例1中，為了形成圓錐曲線的共同性質，教師精于設計“問題鏈”，啟發引導學生探究，從而形成概念. 教師引導學生觀察和類比分析，啟發學生猜想與概括. 通過類比、對比和歸納，把新的知識化歸到學生原有的認知結構中去. 利用多媒體輔助教學，增強動感與直觀性，提高教學效果和教學質量. 引導學生學數學勤于思考，善于發現滲透，用代數的方法研究幾何;用幾何的眼光處理代數問題（幾何直觀能力的體現）;會用數學中“數形結合”思想：由數聯想到形，由形轉化為數. 從而提升學生的數學抽象、直觀想象素養.

2. 在公式推導中，提升“數學邏輯推理素養”

？搖？搖數學公式推導是數學教學的一個重要環節，通過對公式的推導，提升學生研究問題、分析問題、解決問題的能力;培養學生觀察問題、思考問題的能力，以及能靈活運用基本概念分析問題、解決問題的能力，自主探究的能力、鍛煉數學思維的能力;同時滲透類比、化歸、分類討論等數學思想，從而提升學生的數學邏輯推理素養.

案例2：等比數列前n項和公式的教學片段（蘇教版必修5）.

問題1：如何求等比數列{an}的前n項和Sn：Sn=a1+a2+a3+…+an.

問題2：在等差數列求和中，用基本量a1，an，d，n中三個量可表示Sn，a1，an，n或a1，d，n;那么在等比數列中有哪些基本量呢？

預設結果：學生能答出有四個基本量a1，an，q，n.

問題3：四個基本量a1，an，q，n，從其中選三個，可以有組合a1，q，n;a1，an，q;a1，an，n;an，q，n. 用哪一組合可表示Sn呢？

預設結果：有了等比數列通項公式an=a1qn-1，學生很快答出用a1，q，n表示Sn，得Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.

問題4：已經用a1，q，n表示Sn，但式子太長，能再簡潔點嗎？

預設結果：學生知道能化簡，但沒有具體方法.

問題5：能不能用等差數列求和方法去求？倒序求和？

預設結果：學生知道不能，進入思考中.

問題6：那怎么辦？（此處放手讓學生自主探究）

預設結果：學生想到兩邊同乘以q. 從而有Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，qSn=a1q+a1q2+a1q3…+a1qn-1+a1qn.

問題7：怎么想到的呢？（等式右邊有什么特征？）

預設結果：學生回答，等式右邊，從第二項起每一項比前一項多乘以q，這樣有n-1項相同項.

問題8：如何進一步求Sn？（此處給學生充分的觀察、思考的時間，讓他們探究出求解的方法：作差）

預設結果：學生回答，觀察有n-1項相同項，作差可以消去，從而得到（1-q）·Sn=a1（1-qn），再兩邊同除以1-q.

問題9：能直接除嗎？

預設結果：學生補充，要討論分母等于0和分母不等于0兩種情況：

（1）當1-q=0時，即q=1，得到Sn=na1;

（2）當1-q≠0時，即q≠1，得到Sn=■.

所以得到等比數列前n項和公式：Sn=na1，q=1，■，q≠1.

反思：（1）將Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1兩邊同時乘以公比q后會得到qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前n項和的關鍵所在，讓學生先充分思考，自主探究，再討論交流，最后教師用多媒體予以突出強調，加深印象！

（2）兩等式作差得到（1-q）Sn=a1（1-qn）時，肯定會有學生直接得到Sn=■，此時教師啟發引導分母不能為0，所以討論公比q=1與q≠1兩種情況，避免后面應用公式時，漏掉對公比是1的討論，從而加深對公式的理解.

案例2中，為了形成等比數列前n項和的公式，教師精心設計的“問題鏈”巧妙地把每個知識的環節有機地聯系起來，層層遞進，思維熱點環環相扣，教師始終站在學生的立場上去對待問題的發現和處理，使得學生的參與意識被充分地調動起來，體會知識的發生、發展和運用過程，從而抓住問題的本質;鼓勵學生自主探究、敢于探索、善于創新的學習品質，從而提升學生的數學邏輯推理素養.

3. 在模型建構中，提升“數學抽象素養”

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段. 數學建模為學生提供了一個自主探究的空間，有利于激發學生學習的興趣和熱情，讓學生體驗數學在解決實際生活中的作用與價值，有利用培養學生自主探究的能力和概括歸納的能力. 在數學課堂教學中，教師應啟發、引導讓學生自主探究建立模型的過程，并選擇適當的數學變量，抽象出數學模型和數學的本質屬性，從而提升學生的數學抽象能力.

案例3：函數零點存在的判斷方法的教學片段（蘇教版必修1）.

圖1是某市1月份的某一天從0點到12點的氣溫變化圖，假設氣溫是不間斷變化的，請將圖形補充成完整的函數圖像.

問題1：這段時間內，是否一定有某時刻的氣溫為0 ℃？

此處教師留給學生自主探索的時間和空間，學生開始思考、畫圖，一種、兩種、三種……教師實物投影展示學生的作圖情況.

師：同學們作圖豐富多彩，但有個共同點都穿過了x軸，為什么？

生：0時-2 ℃，12時6 ℃，且圖像不間斷，所以一定穿過x軸.

師：穿過x軸，那x軸所對應的時刻就是0℃所對應的時刻，這個時刻就是函數的零點.

問題2：生活中，0時-2 ℃叫零下，12時6 ℃叫零上，從函數值的角度講，什么叫零上，什么叫零下？

生：零上，對應函數值為正，即y>0;零下，對應函數值為負，即y<0.

問題3：從這個實際問題中，你能得到什么啟發？

此處教師留給學生自主探索的時間和空間，同學們開始思考，相互交流討論.

問題4：如果我們用區間[a，b]表示這個時間段，它們兩個端點的函數值應該怎樣呢？

生：異號，即f（a）·f（b）<0.

問題5：若f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點嗎？

生：圖像不間斷（不能斷開，并舉例函數y=■，f（-1）·f（1）<0，但在區間（-1，1）沒有零點）.

生：f（a），f（b）可能同號.

師：同號，異號，哪個更可靠？

生：異號（并舉例說明）.

問題6：函數y=f（x）存在零點的條件是什么？

生：（1）圖像不間斷;（2）端點函數值異號，即f（a）·f（b）<0. 有這兩個條件才能保證函數在區間[a，b]上有零點.

師：很好，所以我們得到了零點存在的判斷方法.

函數零點存在的判斷方法：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點.即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根.

問題7：定理逆過來行嗎？若函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，則f（a）·f（b）<0，對嗎？

問題8：若滿足判斷方法，則函數y=f（x）在區間（a，b）內只有一個零點嗎？

問題9：再加上什么條件就“有且僅有一個零點”呢？

案例3中，為了讓學生直觀感知函數零點存在的判斷方法，教師引導學生從生活中的溫度曲線圖中建立數學模型，將抽象的函數零點存在的判斷方法的問題轉化為具體形象的“溫度曲線”型，從而讓學生經歷了從“形”到“數”抽象概括的過程.教師設計環環相扣、具有多層次的“問題鏈”，啟發引導學生通過自我探究、交流合作、概括歸納出函數零點存在的判斷方法，并在體驗與感悟中提升了數學抽象素養.

總之，數學課堂教學要以知識為中心轉向以能力為中心，以教師為中心轉向以學生為中心，以教學生知識轉向引導學生探究為中心;通過啟發引導學生的探究，親身經歷，調動學生學習數學的興趣和熱情，體驗數學學習的成就感，發展學生的數學素養. 當然，學生素養的培養，是一個長期的過程，需要在課堂教學中慢慢滲透;提高學生的學習能力，培養學生的數學核心素養，必將成為我們數學教師努力的方向.