巧用伸縮變換 妙解橢圓試題

羅文軍 劉娟娟

摘 要：本文中給出了一些伸縮變換的性質，運用伸縮變換的性質解一些與橢圓有關的圓錐曲線試題，以期達到對中學生學習伸縮變換起到拋磚引玉的作用.有助于打破思維定勢和機械的思維模式、開闊學生的學習視野、提高學生思維的靈活性、提高學生的綜合思維能力和解題能力，有利于提升學生的數學核心素養.

關鍵詞：伸縮變換;橢圓;核心素養

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0014-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：羅文軍（1986.1-），男，甘肅省秦安人，本科，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

劉娟娟（1988.1-），女，甘肅省秦安人，從事數學教學研究.

人教A版《選修4-4坐標系與參數方程》課本第7頁中給出了平面直角坐標系中坐標伸縮變換的定義：設點P（x，y）是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：x′=λ·x（λ>0），

y′=μ·y（μ>0）的作用下，點P（x，y）對應到點P′（x′，y′），稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換.

以下，先給出一些伸縮變換的性質，再運用伸縮變換的性質解一些與橢圓有關的圓錐曲線試題，以期達到對中學生學習伸縮變換起到拋磚引玉的作用.

伸縮變換具有以下性質：

性質1 在變換φ下，點與點的相對位置關系不變，點與曲線的相對位置關系不變，直線與曲線的相交、相切、相離的相對位置關系不變.

性質2 ?若直線l變成直線l′，記直線l和l′的斜率分別為k，k′，則k′=μλk（當k不存在時，k′也不存在）.

性質3 ?若直線l上的兩線段成比例，則它變成直線l′上的對應線段仍成比例.

性質4 在變化φ下，n邊形A1A2A3…An（n≥3且n∈N*）變為n邊形A′1A′2A′3…A′n（n≥3且n∈N*），原圖形的重心G變換后對應的G′為n邊形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的重心，原圖形的對稱中心O變換后對應的O′為n邊形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的對稱中心，變換前后圖形的面積之比為Sn邊形A1A2A3…AnSn邊形A′1A′2A′3…A′n=1λμ.

題1 （人教A版選修4-4第28頁例1）在橢圓x29+y24=1上求一點M，使點M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

解 作伸縮變換φ：x′=x3，

y′=y2.橢圓x29+y24=1變為單位圓：x′2+y′2=1，直線l方程x+2y-10=0變為直線l′：3x′+4y′-10=0，從而所求問題變為：在圓x′2+y′2=1上求一點M′到直線l′：3x′+4y′-10=0的距離最小，并求出最小距離.

由平面幾何知識可知，過圓x′2+y′2=1的圓心坐標原點作直線l′的垂線段，交該圓于點M′（x′，y′），點M′到垂足的距離為最小距離.由直線l′的垂線OM′：y′=43x′（x′≥0）和x′2+y′2=1相交，解方程組x′2+y′2=1，

y′=43x′，可得M′（35，45），則對應的橢圓上所求的點M（95，85），所求最小距離為d=|95+165-10|12+22=5.

評注 課本中提供的解法是利用橢圓參數方程，再運用三角函數求解的，本解法通過伸縮變換，將問題化歸為我們熟悉的求圓上的點直線的最小距離問題，令人耳目一新.

題2 （中學生標準學術能力診斷測試2018年2月測試理科20）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦點為F，與直線y=377相交于P，Q兩點，若橢圓M經過點（0，3）且PF⊥QF.

（1）求橢圓M的方程;

（2）O為坐標原點，A、B、C是橢圓M上不同的三點，并且O為△ABC的重心，試求△ABC的面積.

解 （1）由題設可得，b=3，則有x2a2+y23=1.設F（c，0），P（-x0，377），則Q（x0，377），PF·QF=（c+x0，-377）·（c-x0，-377）=c2-x20+97=0.又因為x20a2+973=1，所以x20=47a2，所以c2-47a2+97=（a2-3）-47a2+97=0，解得a2=4，b2=3，所以橢圓M的方程為x24+y23=1.

（2）在伸縮變換x′=x2，

y′=y3下，橢圓M：x24+y23=1變為單位圓M′：x′2+y′2=1，橢圓M的內接三角形△ABC及重心O對應圓M′的內接三角形△A′B′C′及重心.由于橢圓M的內接△ABC的重心與橢圓的中心坐標原點重合，因此圓M′的內接三角形△A′B′C′的重心與圓M′的圓心坐標原點重合，所以△A′B′C′是正三角形.設△A′B′C′的邊長為m（m>0），由正弦定理可得，m=2Rsin60°=2×1×32=3，由三角形面積公式可得，S△A′B′C′=12m2sin60°=12×3×32=334，由伸縮變換性質可得，S△ABCS△A′B′C′=23，所以S△ABC=23S△A′B′C′=92.

評注 本題第（2）問運用伸縮變換法求解，主要運用了伸縮變換的性質4，將橢圓的中心與內接三角形重心重合時，求內接三角形的面積問題化歸為單位圓的內接正三角形面積問題，運算量小，思路新穎.

題3 （2019年重慶市高中數學聯賽預賽試題）已知△ABC為橢圓x29+y24=1的內接三角形，且AB過點P（1，0），則△ABC的面積的最大值為

.

解 經過伸縮變換x′=x3，

y′=y2得△A′B′C′內接于單位圓x′2+y′2=1，A′B′過點P′（13，0），S△ABC=6S△A′B′C′.設坐標原點O′（0，0）距A′B′的距離為t，則0≤t≤13，|A′B′|=21-t2，S△A′B′C′≤1-t2·（1+t）.當t=13時，S△A′B′C′有最大值為829，所以S△ABC的最大值為1623.

評注 運用伸縮變換法，結合伸縮變換的性質，將橢圓的內接△ABC的面積的最大值問題化歸為單位圓的內接△A′B′C′的面積的最大值問題.

題4 （2019年煙臺二模理科）已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四個頂點圍成的菱形的面積為43，橢圓的一個焦點為圓x2+y2-2x=0的圓心.

（1）求橢圓的方程;

（2）若M，N為橢圓上的兩個動點，直線OM，ON的斜率分別為k1，k2，當k1k2=-34時，△MON的面積是否為定值？若為定值，求出此定值;若不為定值，說明理由.

解 （1）由已知可得，2ab=43，c=1，又因為a2-b2=c2=1，解得a=2，b=3，所以橢圓的方程為x24+y23=1.

（2）在伸縮變換φ：x′=x2，

y′=y3下，橢圓x24+y23=1變為單位圓：x′2+y′2=1，橢圓上的動點M，N在單位圓上對應點M′，N′，直線OM′，ON′的斜率分別為k′1，k′2，由伸縮變換性質可得，k′1=23k1，k′2=23k2，所以k′1k′2=43k1k2=-1，所以OM′⊥ON′，所以S△OM′N′=12|OM′||ON′|=12×12=12，所以SOMN=23S△OM′N′=3，所以△MON的面積為定值3.

評注 本題第（2）問運用了伸縮變換法，根據伸縮變換的性質，得出OM′與ON′垂直，容易得出△OM′N′的面積，從而得出△MON的面積.

題5 （2018年高中數學聯賽甘肅預賽）已知點P為直線x+2y=4上一動點，過點P作橢圓x2+4y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，當點P運動時，直線AB過定點的坐標是

.

解 在伸縮變換φ：x′=x2，

y′=y下，橢圓x2+4y2=4變為x′2+y′2=1，直線x+2y=4變為x′+y′-2=0，P（x0，y0）變為P′（x0′，y′0），則x0′+y′0-2=0，則y′0=-x0′+2，A，B分別變為A′，B′.圓x′2+y′2=2的切點弦A′B′的方程x0′x+y′0y=1，所以x0′x+（-x0′+2）y=1，即（x-y）x0′+（2y-1）=0，故x-y=0且2y-1=0，解得x=12，y=12，即直線A′B′過定點（12，12），所以直線AB過定點（1，12）.

評注 本題運用伸縮變換法，將橢圓的切點弦問題化歸為單位圓的切點弦過定點問題，從而得出直線AB所過的定點坐標.

題6 （2017年全國高中數學聯賽一試）在平面直角坐標xOy中，橢圓C的方程為x29+y210=1，F為C的上焦點，A為C的右頂點，P是C上位于第一象限內的動點，則四邊形OAPF的面積的最大值為

.

解 在伸縮變換φ：x′=x3，

y′=y10下，橢圓C：x29+y210=1變為單位圓：x′2+y′2=1，點F（0，1），A（3，0），P在單位圓上分別對應F′（0，110），A′（1，0），P′，且點P′是單位圓x′2+y′2=1上位于第一象限內的動點.由平面幾何的知識，當OP′⊥A′F′時，四邊形OA′P′F′的面積最大，最大值為S′=12|A′F′||OP′|=12×1+110×1=11020.由伸縮變換性質可得，四邊形OAPF的面積的最大值為S=λμS′=310×11020=3112.

評注 運用伸縮變換法，將橢圓化為單位圓，再求出四邊形OA′P′F′的最大面積，由伸縮變換性質，從而求出四邊形OAPF的最大面積.

參考文獻：

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書`數學選修4-4（人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[責任編輯：李 璟]