深入求解2019年高考全國卷中的兩道解三角形題

摘 要：文章將深入求解2019年高考全國卷中的兩道解三角形題.

關鍵詞：2019年高考全國卷;解三角形;數形結合;深入求解

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0054-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：甘志國（1972-），湖北省竹溪人，研究生，高級教師，特級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”（課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國）階段性研究成果.

解三角形問題，往往需要用正弦定理“邊化角”或“角化邊”，而在很多時候并不是兩條路都行得通，但如果做深入思考，兩條路都是行得通的.解三角形問題，難點是對求得的結果進行檢驗（舍取），比如2013年高考北京卷理科數學第15（2）題.

下面將深入求解2019年高考全國卷中的兩道解三角形題，領略解三角形的神秘莫測.

題1 （2019年高考全國卷Ⅰ理科第17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

圖1（2）的再解 如圖1所示，作∠ABD=π3，且AB=c=1，再作AC′⊥BD于C′， AC″⊥AB，交BD于C″.進而可得題中的△ABC是銳角三角形的充要條件是點C在線段C′C″上且不是該線段的端點（可先證當點C在線段BC′及射線C″D上時，△ABC均不是銳角三角形;再證當點C在線段C′C″上且不是該線段的端點時，△ABC均是銳角三角形）.

可求得BC′=12，AC′=32，AC″=3，再得SRtΔABC′=12BC′·AC′=38，SRtΔABC″=12AB·AC″=32，進而可得△ABC的取值范圍是38，32.

參考文獻：

[1]甘志國.關于一類三角形三邊長取法的唯一性問題[J].中學數學研究（華南師范大學版），2016（11）：34-35.

[責任編輯：李 璟]