探夾角之謎 究幾何本質

蘆迪 吳凱

摘 要：當我們在遇到難題時，怎樣才能做到化繁為簡，我們需要從不同的角度來探究，尤其是平面向量問題，我們可以分別從代數和幾何兩個角度來研究解題.對于同一個問題，角度不同，就會有不一樣的精彩.本文將對一道平面向量恒成立問題的解法進行再思考，探尋“夾角”之謎.

關鍵詞：平面向量;恒成立問題;代數運算;幾何意義;夾角;解題方法

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0040-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：蘆迪（1984.7-），男，浙江省蕭山人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

吳凱（1984.6-），男，浙江省長興人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

近日，筆者遇到一道平面向量恒成立問題，分別從代數和幾何兩個角度進行了探究，試著尋找其有效的解題方法.

例題 設單位向量e1，e2對任意實數λ都有e1+12e2≤e1+λ2e2，則向量e1，e2的夾角為

.

角度一 我們先不妨嘗試代數化運算，先設e1與e2的夾角為θ，則e1+12e22≤e1+λ2e22，即e12+e1·e2+14e22≤e12+λe1·e2+λ24e22對于λ恒成立，即cosθ+14≤λcosθ+λ24 ①對于λ恒成立.此時，我們可以將①式看作關于實數λ的一元二次不等式恒成立問題，即λ2+（4cosθ）λ-4cosθ-1≥0對于λ恒成立，只需Δ=（4cosθ）2-4（-4cosθ-1）≤0 即可，整理可得4cos2θ+4cosθ+1≤0，即（2cosθ+1）2≤0，再由（2cosθ+1）2≥0可得（2cosθ+1）2=0，故cosθ=-12.又∵θ∈[0，π]∴θ=2π3.

本解法關鍵的突破口是將向量模的不等式問題平方轉化為二次函數恒成立問題，由二次函數的性質可得答案，用換元思想解題是本解法最為靈巧之處，真可謂“化腐朽為神奇”，化難為易.但是，這樣的純代數運算運算量較大，對多數學生來講還是有一定難度的.

角度二 我們能否從幾何角度來分析問題呢？

那么，我們就要試著去尋找問題的本源.我們可以考慮“平面向量加法的幾何意義”是什么，如圖1，e1+λ2e2即是以e1與λ2e2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度，而λ2e2則是e2的一個共線向量，即若λ≥0方向相同，若λ<0方向相反.

那么，我們如何才能利用幾何意義來尋找所求夾角呢？

“試探夾角之謎”：不妨先以60度為例，如圖2作出直線l1，l2為一組平行線，和向量OP的起點即為O點，而終點P將在l2上，所以，OPmin即為兩平行線間的垂直距離.而已知條件“e1+12e2≤e1+λ2e2對于λ恒成立”也即當λ=1時，e1+λ2e2取到最小值，此時（如圖3），λ顯然應該是一個負數，是不滿足題意的！

我們通過以上特例的分析，那么如何才能找到滿足題意的夾角呢？

我們需要利用軌跡思想，探尋夾角.

再思考：如何體現“12為最小”的幾何意義呢？

如圖4，在單位圓O中，令e1=（1，0），A（1，0），將e1的起點設為O，則A為e1的終點，將12e2的起點設為A，終點設為B，由向量加法的三角形法則，即將e1與12e2兩個向量的首尾相連，則點B的軌跡就是以A為圓心，半徑為12的一個圓，記為⊙A，則OB=e1+12e2.

考慮到當λ=1時，e1+λ2e2應為最小值，即AB所在直線為l2，則須滿足OB⊥AB，那么，再以OA為直徑作圓為⊙C，則⊙A與⊙C的公共點P即為所求（如圖5），此時夾角θ為∠xAP，我們易知P（32，32）或P（32，-32），則∠OAB=60°，則θ=120°.

有了前面的探究與分析之后，我們就不難將以上幾何方法簡化為以下過程：

這樣就可以快速找到答案了.通過兩個角度的分析，我們就將解法從原來的代數化運算，逐步過渡到了如圖6的簡圖解法，實現了解法的優化過程.

然后，筆者將例題進行了適當的改編，有了以下2個變式演練，供讀者嘗試解答.

變式演練1 設單位向量e1，e2對任意實數λ都有e1+12e2≤e1-λe2，則向量e1，e2的夾角為

. 答案：120°

變式演練2 ? 設單位向量e1，e2對任意實數λ都有e1-12e2≤e1+λe2，則向量e1，e2的夾角為

. 答案：60°

參考文獻：

[1]施麗娟.重視變式教學 提升數學能力[J].高中數學教與學，2014（24）：32-33.

[責任編輯：李 璟]