數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用與建議

紀(jì)定春 蔣紅珠 王若飛

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是一種通過有限步驟來證明無限命題的一種數(shù)學(xué)方法.本文對數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展做了簡介;列舉了數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列通項(xiàng)、不等式、整除性、等式恒成立等問題中的應(yīng)用.建議新課程標(biāo)準(zhǔn)修訂時(shí)，將數(shù)學(xué)歸納法納入高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法;發(fā)展;應(yīng)用;建議

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0044-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：紀(jì)定春（1995-），男，四川省資陽人，研究生，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

蔣紅珠（1996-），女，四川省內(nèi)江人，研究生，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

王若飛（1996-），男，四川省巴中人，研究生，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展及簡介

數(shù)學(xué)歸納法是一種基本的數(shù)學(xué)證明方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的一些數(shù)學(xué)命題，它是溝通特殊到一般、有限到無限的橋梁.數(shù)學(xué)歸納法的思想起源于畢達(dá)哥拉斯時(shí)代，從特殊的點(diǎn)子數(shù)出發(fā)，歸納出一般結(jié)論.歐幾里得對素?cái)?shù)有無窮的證明過程，充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法中歸納遞推的思想.13世紀(jì)末，法國數(shù)學(xué)家萊維·本·熱爾松在證明排列組合問題時(shí)，用了現(xiàn)代意義下數(shù)學(xué)歸納法中的歸納奠基和歸納推理的思想，這標(biāo)志數(shù)學(xué)歸納法逐漸走向成熟.帕斯卡在證明帕斯卡三角時(shí)，明確運(yùn)用了現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)歸納法的兩個核心步驟，即歸納奠基和歸納推理兩個步驟，這意味著數(shù)學(xué)歸納法證明的正式確立.意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾發(fā)表了《算術(shù)原理新方法》，建立了自然數(shù)五條公理，數(shù)學(xué)歸納法有了理論依據(jù)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)歸納法走向成熟.隨后，數(shù)學(xué)歸納法呈現(xiàn)多樣化的發(fā)展，形成了不同類型的歸納法，如第二數(shù)學(xué)歸納法、蹺蹺板歸納法、倒推歸納法、跳躍歸納法、累積歸納法、無窮歸納法、區(qū)間歸納法等.接下來將介紹第一數(shù)學(xué)歸納法（以下均簡稱：數(shù)學(xué)歸納法）及其應(yīng)用.

數(shù)學(xué)歸納法：

假設(shè)命題P（n）是關(guān)于正整數(shù)n的命題，如果P（n）滿足：（1）命題P（1）為真.（2）假設(shè)命題P（k）為真，證明命題P（k+1）為真.由命題（1）、（2）為真，則對正整數(shù)n，都有命題P（n）成立.

驗(yàn)證命題P（1）為真，稱為歸納奠基;通過假設(shè)命題題P（k）為真，證明命題P（k+1）為真，稱為歸納遞推（歸納推理）;最后步驟為下結(jié)論.

二、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.求證數(shù)列通項(xiàng)中的應(yīng)用

例1 （2014年廣東高考數(shù)學(xué)卷）設(shè)數(shù)列an的前面的n項(xiàng)和為Sn，關(guān)系為Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值;（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解析 對問題（1），由于數(shù)列Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n.容易得a1=3，a2=5，a3=7.

對問題（2），由問題（1）中a1，a2，a3值，猜數(shù)列an通項(xiàng)為：an=2n+1.

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法來證明以上的猜想.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然結(jié)論成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=2k+1，前k項(xiàng)和為Sk=3+5+…+（2k+1）=k（k+2）.

由數(shù)列Sk滿足Sk=2kak+1-3k2-4k.

則k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，整理可得ak+1=2k+3.

即ak+1=2（k+1）+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)成立.

由（1）和（2），對任意的n∈N*，有an=2n+1.

故數(shù)列an通項(xiàng)為an=2n+1.

評注 該試題的第二個問題，巧用問題（1）的結(jié)果，先猜測出數(shù)列的通項(xiàng)相公式，然后再證明猜想，充分體現(xiàn)了“先猜后證”的思維模式，在數(shù)學(xué)史上很多數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，往往就是建立在已有的知識基礎(chǔ)上，利用先猜想后證明的方式進(jìn)行的.

2.證明不等式中的應(yīng)用

例2 （2019年浙江高考數(shù)學(xué)卷第20題）設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列bn滿足：對每個n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式;

（2）記cn=an2bn，n∈N*，證明：c1+c2+…+cn<2n，n∈N*.

解析 問題（1），解答過程略.利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識點(diǎn)及上述的關(guān)系式可得，數(shù)列an=2n-2，bn=n2+n，其中n∈N*.

對于問題（2），將問題（1）中數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{cn}可得：cn=an2bn=2n-22n（n+1）=n-1n（n+1），其中n∈N*.

顯然這個不等式是關(guān)于正整數(shù)n的命題，考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，有c1=0<2，顯然不等式成立.

（2）假設(shè)n=k（其中k∈N*）時(shí)不等式成立，即c1+c2+…+ck<2k.

當(dāng)n=k+1時(shí)，有ck+1=k（k+1）（k+2）.由假設(shè)可知c1+c2+…+ck+ck+1<2k+k（k+1）（k+2）<2k+kk（k+1）=2k+1k+1=2k+22k+1=2k+2k+1+k+1<2k+2k+1+k=2k+2（k+1-k）=2k+1.

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.

由（1）和（2）可知，對于任意的n∈N*，有不等式c1+c2+…+cn<2n成立.

評注 該試題從直接法不容易解決，又注意到需要求證的命題為一個關(guān)于正整數(shù)n的命題，自然想到使用數(shù)學(xué)歸納法.

例3 （2014安徽高考數(shù)學(xué)理科卷第21題）設(shè)c>0，整數(shù)p>1，p∈N*.（1）證明：當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，有（1+x）p>1+px;（2）略.

證明 問題（1）是關(guān)于正整數(shù)p的命題，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法.①當(dāng)p=2時(shí)，有（1+x）2=1+2x+x2.當(dāng)x>-1且x≠0，有x2>0，故（1+x）2>1+2x成立.②假設(shè)當(dāng)p=k（k≥2）時(shí)，命題（1+x）k>1+kx成立.由假設(shè)可得（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）>（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2.因?yàn)閗x2>0，所以（1+x）k+1>1+（k+1）x.故當(dāng)p=k+1時(shí)命題成立.

由①和②知，對于任意的整數(shù)p>1，p∈N*，當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，有不等式（1+x）p>1+px成立.

評注 該試題的解法除了數(shù)學(xué)歸納法之外還有其它方法，如二項(xiàng)式展開、伯努利不等式.解決該問題的關(guān)鍵在于巧用“（1+x）k+1”的變形，然后根據(jù)假設(shè)的不等式進(jìn)行放縮.

3.證明整除性中的應(yīng)用

例4 證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，11n+2+122n+1能夠被133整除.

證明 這是一個關(guān)于正整數(shù)n的整除性命題問題，考慮使用數(shù)學(xué)歸納法.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，11n+2+122n+1=113+123=（11+12）（112-11·12+122）=23×133.則當(dāng)n=1時(shí)，能被133整除.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，11k+2+122k+1能夠被133整除.

當(dāng)n=k+1時(shí)，有11n+2+122n+1=11k+3+122k+3，采用“配湊法”變形可得11k+3+122k+3=133×122k+1+11×（11k+2+122k+1）.

其中133×122k+1能夠被133整除.

由假設(shè)可知11k+2+122k+1能夠被133整除，故11×（11k+2+122k+1）被133整除.

因此當(dāng)n=k+1時(shí)，11n+2+122n+1=11k+3+122k+3能被133整除.

由（1）和（2）可知，對任意的n∈N*，11n+2+122n+1能被133整除.

評注 解決該整除性命題的關(guān)鍵在于巧妙運(yùn)用“配湊法”，將“11k+3+122k+3”與“11k+2+122k+1”建立聯(lián)系，再由假設(shè)可以證當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.

4.證明恒等式中的應(yīng)用

例5 證明：對任意的n∈N*時(shí)，有等式∑ni=1i2（2i-1）（2i+1）=n（n+1）4n+2成立.

證明 （1）當(dāng)n=1時(shí)，等式左邊等于13，右邊等于13，故當(dāng)n=1時(shí)等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有等式∑ki=1i2（2i-1）（2i+1）=k（k+1）4k+2成立.

需證，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式∑ki=1i2（2i-1）（2i+1）+（k+1）2[2（k+1）-1][2（k+1）+1]=（k+1）[（k+1）+1]4（k+1）+2成立.

由于k（k+1）4k+2+（k+1）2[2（k+1）-1][2（k+1）+1]=k2+3k+22（2k+3）=（k+1）[（k+1）+1]4（k+1）+2.

故當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.

由（1）和（2）可知，對所有n∈N*，有等式∑ni=1i2（2i-1）（2i+1）=n（n+1）4n+2成立.

評注 該試題的思路可以歸結(jié)為：觀察→試算→猜想→驗(yàn)證（證明）.這一步的推理過程是需要進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理的.經(jīng)過了觀察、試算、猜想，并不能夠說明猜想的結(jié)果是正確的，這時(shí)需要用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行驗(yàn)證.

三、建議

在最近的幾次課程改革中，數(shù)學(xué)歸納法一直不被重視，以前高考要考，老師要教，現(xiàn)在的高考數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)歸納法已經(jīng)不作要求，很多高中老師已不講，甚至不提數(shù)學(xué)歸納法，顯然是對數(shù)學(xué)歸納法的重要性認(rèn)識還不夠，也是對人類智慧結(jié)晶的損失.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，建議將數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容納入高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容.原因如下，其一，數(shù)學(xué)家龐加萊和華羅庚先生都十分地推崇數(shù)學(xué)歸納法;其二，數(shù)學(xué)歸納法作為人類智慧的結(jié)晶，是在歷經(jīng)了千年的發(fā)展中逐漸成熟和豐富的，是人類從有限證明向無限證明的飛躍，是人類認(rèn)識無限的光輝范例;其三，數(shù)學(xué)歸納法是發(fā)展的，具有強(qiáng)勁的生長力，通過數(shù)學(xué)歸納法可以派生出很多其它類型的歸納法，因此可以認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法是其它歸納法的“母本”;其四，高等數(shù)學(xué)中常常用數(shù)學(xué)歸納法來證明關(guān)于自然數(shù)的無限命題，以《高等代數(shù)（第四版）》（北大數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編）為例，使用數(shù)學(xué)歸納法證明定理、例題（不含課后習(xí)題）高達(dá)18次，足見數(shù)學(xué)歸納法在高等數(shù)學(xué)中的重要地位;其五，發(fā)達(dá)國家對數(shù)學(xué)歸納法的要求較高，且普遍高于我國的要求，如日本、美國等.其六，數(shù)學(xué)歸納法蘊(yùn)含豐富的文化內(nèi)涵，是文化育人的好素材.最后，數(shù)學(xué)歸納法在高中階段是可教的、可學(xué)的，有很多優(yōu)秀的教學(xué)案例可以幫助教師的教和學(xué)生的學(xué)習(xí).因此，建議在下一次修訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，將數(shù)學(xué)歸納法納入必修內(nèi)容.

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