關注圓的形成 加強解題應用

摘 要：本文簡述了圓的三種形成方式，解題時通過關注，應用于解題，開拓了解題思路，有的問題通過轉化，利用圓的方程及圖形解決顯得很簡捷，優化了解題思路.

關鍵詞：圓;形成方式;解題應用

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0049-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：陳志年（1962.4-），男，安徽人，本科，中學高級教師，從事數學教學研究.

圓是我們大家很熟悉的一種圖形，看似簡單，實則奇妙，奇妙得連它的形成方式也多種多樣.下面就圓的三種簡單形成方式，例析它在解題中的應用.

一、圓的第一種形成方式

平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.這是大家熟悉的圓的定義，也稱為圓的第一定義.

例1 （2014年湖南高考題）在平面直角坐標系中，O為原點，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），動點D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的取值范圍是（ ?）.

A.[4，6] ? ? ?B.[19-1，19+1]

C.[23，27]D.[7-1，7+1]

解 ∵|CD|=1，∴動點D的軌跡是以點C為圓心，1為半徑的圓，設D點的坐標為（x，y），則（x-3）2+y2=1.∵|OA+OB+OD|=（x-1）2+（y+3）2表示圓（x-3）2+y2=1上動點D到點（1，-3）的距離，∴|OA+OB+OD|的取值范圍是[7-1，7+1]，答案選D.

例2 （1990年全國高考題）設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=32，已知點P（0，32）到這個橢圓上的點的最遠距離是7，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于7的點的坐標.

解 設橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），∵e=32，∴a2=4b2，橢圓方程變為x2+4y2=4b2，到點 P（0，32）距離等于7的動點軌跡是圓x2+（y-32）2=7.

∵點P（0，32）到這個橢圓上的點的最遠距離是7，∴橢圓x2+4y2=4b2內切于圓x2+（y-32）2=7.聯立方程x2+4y2=4b2和x2+（y-32）2=7得關于y的一元二次方程12y2+12y+19-16b2=0，由Δ=0得b=1，又a=2，∴橢圓方程是x24+y2=1.

解方程x24+y2=1和x2+（y-32）2=7組成的方程組，得x=3，y=-12或x=-3，y=-12，∴橢圓上到點P的距離等于7的點的坐標是（3，-12）和（-3，-12）.

二、圓的第二種形成方式

追本溯源，普通高中課程標準實驗教科書數學必修2第124頁習題：已知點M（x，y）與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，求點M的軌跡方程.經研究得點M的軌跡方程是（x+1）2+y2=4，軌跡是圓.

推廣：平面內到兩定點A，B的距離之比為正數λ（λ≠1）的點的軌跡是圓.與橢圓、雙曲線的第二定義類似，我們把“平面內到兩個定點的距離之比為正數λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”叫作圓的第二定義.

例3 （安徽省合肥市2020屆高三調研性檢測題）設直線l：x-3y+m=0上存在點P到點A（3，0），O（0，0）的距離之比為2，則實數m的取值范圍為

.

解 設點P的坐標為（x，y），則（x-3）2+y2x2+y2=2，化簡整理得：（x+1）2+y2=4，所以滿足此條件的點P軌跡是圓.又點P在直線l上，所以直線l和圓（x+1）2+y2=4有公共點，圓心到直線的距離小于或等于半徑，即|-1-3×0+m|2≤2，解得：-3≤m≤5，所以實數m的取值范圍為-3，5.

例4 在△ABC中，BC=2，ACAB=2，則△ABC面積的最大值為

.

解 建立直角坐標系xOy，使得B、C兩點的坐標分別為（-1，0）和（1，0）.設A點坐標為（x，y），則（x-1）2+y2（x+1）2+y2=2，即（x+3）2+y2=8.又y≠0，所以點A的軌跡是以（-3，0）為圓心，半徑為22的圓（除去與x軸的兩個交點）.當點A在x軸上方最高點或x軸下方最低點時，△ABC面積最大，最大面積為22.

三、圓的第三種形成方式

平面內對定線段所張的角為θ（θ為常數且0<θ<π）或它的補角π-θ的動點軌跡是圓（除去線段兩端點）.

例5 （智學網試題改編 ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知向量m=（cosA，cosB），n=（a，2c-b）且m∥n.

（1）求角A的大小;

（2）若△ABC是銳角三角形，a=23，求△ABC 面積S的取值范圍.

解 ?（1）∵m∥n.

∴acos B-（2c-b）cos A=0.

在△ABC中，acosB+bcosA=c，

∴c-2ccosA=0，

∴cos A= 12.又0

（2）∵a=23，A=π3，

∴點A在以BC為弦，所對圓周角為π3的圓弧上運動.

設P是圓弧的中點，A1、A2是圓弧上兩點，且∠A1BC=∠A2CB=π2.∵△ABC是銳角三角形， ∴點A在圓弧A1PA2（不含A1、A2兩點）上運動，不難求得△PBC的面積等于33，△A1BC和△A2CB面積相等均為23，∴△ABC 面積S的取值范圍為（23，33＼].

例6 設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長軸為A1A2，若橢圓C上存在點P使得∠A1PA2=120°，求此橢圓離心率e的取值范圍.

解 根據橢圓的對稱性，不妨設點P在x軸的上方. ∵∠A1PA2=120°，可知點P又在以A1A2為弦，所對圓周角為120°的圓弧上，此圓弧所在圓的圓心為（0，-33a），半徑為233 a，方程為x2+（y+33a）2=43a2.由橢圓和圓的方程消去x，得關于y的一元二次方程c2b2y2-233ay=0，解得：y=0或y=23ab23c2，其中23ab23c2是橢圓與圓公共點P的縱坐標，∴23ab23c2≤b，∴e≥63.又e<1，∴此橢圓離心率e的取值范圍是[63，1）.

以上各例我們是通過關注圓的三種形成方式，明確點在圓上，通過圓的方程或圖形解決了問題;可見，增強意識，適時而用，切入解題，簡化思維過程，收到很好的效果.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書數學必修2[M].北京：人民教育出版社，2007.

[責任編輯：李 璟]