從題目隱含信息中尋求解法的優化、簡化及準確化

摘 要：本文就如何挖掘題目中的隱含信息來優化解題，從多個方面加以闡述.

關鍵詞：隱含信息;挖掘;解題

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0051-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：雷亞慶（1972- ），男，中學高級教師，從事高中數學教學和解題研究.

我們在解決有些數學問題時，會碰到這樣一種情況：一個問題如果按照常規思路很難去解決，即使能解決，也要大費一番周折，非常繁瑣.而這時我們如果能根據問題的結構特征及其已知條件中的數量關系，挖掘潛在的已知和未知間的信息，通過巧妙的構造，就可以把問題轉化為我們熟知的問題，從而使解答巧妙、簡捷、準確.以下是筆者的一些粗淺的體會.

一、挖掘隱含信息，使解法得以優化

例1 求sin238°+sin282°-sin38°sin82°的值.

分析 如果利用三角公式進行化簡和求值運算，需要降冪公式和和差化積公式，仔細觀察所給角的特征，我們發現隱含信息：38°，82°與60°正好構成一個三角形的三個內角，因此考慮構造三角形利用正余弦定理求解.

解 構造△ABC，使得A=38°，B=82°，C=60°，設△ABC外接圓直徑為2R，則：sin238°+sin282°-sin38°sin82°=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

例2 已知直線l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0，和圓C：x2+y2-x-y-2=0，試判斷直線l與圓C的位置關系.

分析 本題的常規思路有兩種：一利用圓心到直線距離與半徑的大小關系;二是聯立方程組，消元后利用根的判別式判斷方程解的情況進而得到直線域圓的位置關系.但是兩種方法都面臨復雜的運算與化簡.這時如果換個角度審題，我們就會發現題目中隱含的重要信息，那就是直線過定點，只要判斷定點與圓的位置關系就可以順利解決本題.

解 直線l：（2+m）x+（2m-1）y-3m-1=0的方程可化為

所以過點A的直線l一定與圓C相交.

二、挖掘隱含信息， 使解法得以簡化

例3 已知函數f（x）=-12x2+x，是否存在實數m，n使得f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]如果存在，求出m，n;若不存在，說明理由.

常規解法 分類討論

（3）當m<1 ? ? 所以f（x）在[m，n]上的最大值為f（1）=12<2n，與已知條件矛盾，舍.

綜上，存在m=-2，n=0，使得f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n].

反思 上述通性通法解法思路清晰，自然.不過我們發現后兩種情況沒有解.感覺忙了半天沒有什么收獲，能不能通過挖掘隱含信息避免不必要的討論而使解法得以簡化呢？我們發現當x∈R時，f（x）的最大值為12，當x∈[m，n]時，值域為[2m，2n]，因此我們發現本題條件所隱含的信息，那就是：2n≤12即n≤14，所以[m，n]（-∞，1），所以f（x）在[m，n]上單調遞增.

分析 如果我們設f（x）=x2-2ax-1，題目中包含兩個隱含信息：一是對稱軸x=a（a>0），二是f（0）=-1<0.由對稱性可知x1<0 ? ? 解 A=xx<-3或x>1，由題意B≠，f（0）=-1<0可知函數f（x）=x2-2ax-1有兩個零點，不妨設為x1，x2（x1 ? ? 因為拋物線f（x）=x2-2ax-1的對稱軸為x=a（a>0）， 由對稱性可知x1<0 ? ? 若x1<-3，則x2>3，則A∩B=xx1≤x<-3或1 ? ? 因此若要A∩B中有且只有一個整數，需2≤x2<3，此時A∩B=2（如圖1），所以f（2）≤0且f（3）>0（如圖2）.

解得：34≤a<43.

三、挖掘隱含信息，使解題方法準確化

錯因分析 這種解法由于沒有發現y2≥0這一隱含信息，在將x2+y2變為一元二次函數f（x）=-12（x-3）2+92后弄錯了定義域，致使最后結果出現錯誤.

正解 由3x2+2y2=6x得

例6 在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若C=2B，則cb的范圍是

.

分析 這是一個二元目標函數的最值問題，從代數角度很難找到解題思路.這時我們仔細觀察目標函數的特征，就會發現隱含的解題信息：二元目標函數可以轉化為兩條特殊曲線上的兩個動點間的距離，解題思路由此清晰.

解 構造圓C：x2+（y-4）2=1和橢圓D：x29+y2=1.顯然點P（x，4+1-x2）在圓C上，點Q（y，-1-y29）在橢圓D上，所以f（x，y）=PQ2.

問題轉化為：求橢圓D上一動點Q到圓C上一動點P的距離的最大值

顯然當PQ過圓C的圓心C時才可能取得最大值，即PQmax=PCmax+1

由此問題進一步轉換為求定點C（0，4）與橢圓上動點Q的最大距離問題

所以當y0=-12時，CQ有最大值33.

所以PQ的最大值為33+1.

即f（x，y）的最大值為（33+1）2=28+63.

例8 求y=x-4+15-3x的值域.

分析 求根式函數的值域是一個難點，特別是雙根式函數，實際上如果我們養成解決函數問題先明確定義域的好習慣的話，就會發現隱藏的解題信息，利用三角代換，就可以把根式函數轉換為三角函數問題處理.

分析 習題咋一看很難，目標函數是一個二元雙絕對值函數，如何才能去絕對值呢？怎么分類討論呢？有點無從下手的感覺，實際上如果我們根據題干中隱含的信息作出可行域，就會發現原來問題比想象的簡單的多.

解析 作出x2+y2≤1對應的區域，同時作出直線2x+y-4=0和直線x+3y-6=0（如右圖）.由圖形結合線性規劃的知識可知：

從上述問題的解決過程中我們發現：解題時，要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知的相關量進行定量分析，充分挖掘題目中的隱含信息，從中尋求解題思路的優化、簡化、準確化乃至解題方向，避免無謂的分類討論或繁瑣的運算化簡，提高思維的變通性，使問題得以順利解決.

參考文獻：

[1]雷亞慶.例談數學解題中“除”的妙用[J].數理化解題研究，2017（07）：31-32.

[責任編輯：李 璟]