例談依托核心問題培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力

符展浩

摘要：幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題，本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象力，它有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。文章以《平行四邊形面積》一課的教學(xué)為例，指出通過核心問題驅(qū)動讓學(xué)生展開探究活動，從而引發(fā)學(xué)生的思考和想象，使學(xué)生逐步形成幾何直觀能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);核心問題;幾何直觀

問題是推動學(xué)生思維的關(guān)鍵，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一種載體。在核心問題的驅(qū)動下，通過活動與方法的介入，最大限度地激發(fā)學(xué)生探究、體驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成幾何直觀能力，使學(xué)生把顯性的知識技能內(nèi)化為隱形的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從設(shè)計(jì)到實(shí)踐，從實(shí)踐到收獲，的確是一個(gè)充滿艱辛的過程。下面就以《平行四邊形面積》為例，進(jìn)行具體闡述。

一、溯源解析，找尋問題起點(diǎn)

我們生活的空間是一個(gè)由形體構(gòu)成的圖形的世界，學(xué)生在日常生活中積累下的對圖形世界的感知、表象和思考構(gòu)成了豐富的經(jīng)驗(yàn)背景。且“空間與圖形”領(lǐng)域中的每一個(gè)知識點(diǎn)都不是孤立存在的，它們或前有關(guān)涉，或后有呼應(yīng)，或二者兼而有之。

（一）解讀學(xué)生背景

人們約定將邊長為1米的正方形面積規(guī)定為lni2。于是，對邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其分為若干個(gè)邊長為1米的正方形，這個(gè)矩形就由ab個(gè)單位正方形組成，從而，這個(gè)矩形的面積為ab平方米（整數(shù)），圖1便是小學(xué)數(shù)學(xué)中平面圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程和各圖形之間的聯(lián)系。

從以上聯(lián)系圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)，平行四邊形面積既可以在已學(xué)知識的基礎(chǔ)上找到生長點(diǎn)，同時(shí)又構(gòu)成后續(xù)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn)。

（二）梳理教材脈絡(luò)

關(guān)于本節(jié)課，教材安排的三句話中蘊(yùn)含著：提出問題——這兩個(gè)花壇哪一個(gè)大？探索問題——要知道它們的面積……提供策略——我只會算長方形的面積，用數(shù)格子的方式試一試。

比較哪一個(gè)花壇大，用數(shù)格子的方法計(jì)算平行四邊形面積，實(shí)質(zhì)是數(shù)面積單位，這一方法學(xué)生在學(xué)習(xí)“長方形和正方形面積計(jì)算”時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)，是學(xué)生熟悉的一種直觀計(jì)量面積的方法，但是像平行四邊形這樣兩邊不成直角的圖形該如何數(shù)，對學(xué)生來講是一個(gè)新問題。為此，教材安排比較一個(gè)長方形和一個(gè)平行四邊形的面積，如圖2，再對它們的底（長）、高（寬）和面積進(jìn)行比較，讓學(xué)生建立兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，經(jīng)驗(yàn)便容易自動對接，剪拼轉(zhuǎn)化的指向性也會更加明確。基于以上分析，筆者認(rèn)為《平行四邊形面積》這一學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心問題是——為什么“平行四邊形面積=底×高”？

二、問題驅(qū)動，促進(jìn)自主建構(gòu)

（一）多元素材，生成核心問題

學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心問題應(yīng)該是學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出的，“巧婦難為無米之炊”，由于學(xué)生的認(rèn)知水平和思維水平存在差異，因此，學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)，教師應(yīng)該為學(xué)生操作活動的開展提供豐富而感性的材料，尤其是一張透明方格紙和平行四邊形活動框架在這里顯得尤為必要。

對于如何比較這兩個(gè)花壇的面積，學(xué)生通過獨(dú)立思考后，借助于學(xué)習(xí)材料出現(xiàn)了以下幾種結(jié)果。

方法一：將長方形和平行四邊形放到網(wǎng)格紙上，數(shù)一數(shù)，比較它們面積大小。（一個(gè)方格代表1m2，不滿一格的都按半格計(jì)算）

方法二：通過剪一剪、拼一拼的方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形來計(jì)算。

方法三：根據(jù)已有知識，直接利用公式計(jì)算，6×4= 24m2。當(dāng)然，也有部分學(xué)生是憑直覺，感覺平行四邊形面積是6×4= 24m2。

這些多元化素材的提供，打開了學(xué)生探索、研究的切入口，學(xué)生有的數(shù)、有的剪、有的算，共同得出，兩個(gè)圖形的面積相等，但同樣的結(jié)果卻蘊(yùn)含著不同的數(shù)學(xué)思考。

其次，學(xué)生交流以上計(jì)算方法發(fā)現(xiàn)，這幾種方法都是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，從而計(jì)算它的面積。在此情景下，為什么“平行四邊形的面積=底×高”一個(gè)值得探討的核心問題便呼之欲出。

（二）核心問題，展開驗(yàn)證分享

核心問題是一節(jié)課的中心，是基于探究主題下的一種課堂問題，教學(xué)中的其他關(guān)鍵問題都與核心問題有著緊密聯(lián)系的派生性問題。如何為學(xué)生設(shè)計(jì)出好的學(xué)習(xí)性問題，讓數(shù)學(xué)探究活動能夠在關(guān)鍵點(diǎn)上展開，從而引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考？

我們可以圍繞以下問題，做足教學(xué)細(xì)節(jié)，將學(xué)生的淺層思維引向深入，讓學(xué)生的探究活動具有深度。

①討論剪法。你覺得這一刀可以剪在哪里？還可以剪在哪里？能隨便剪嗎？（并抽生到上面來指一指。）

通過這樣的追問，讓學(xué)生理解可以把平行四邊形沿高剪開，轉(zhuǎn)化成長方形來計(jì)算它的面積。

②這個(gè)剪拼過程把原來底6米，高4米的平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長、寬各多少米的長方形呢？（讓學(xué)生初步感悟平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長方形之間有著怎樣的關(guān)系）

③是不是所有的平行四邊都可以轉(zhuǎn)化成長方形呢？要求學(xué)生再驗(yàn)證。

④平行四邊形在轉(zhuǎn)化成長方形的過程中，什么在變？什么沒有變？除了面積沒有變，還有什么沒有變？

學(xué)生在以上核心問題的引領(lǐng)下，層層推進(jìn)，思緒聚焦到知識的本原上。同時(shí)借助于剪、拼等有效的操作活動，促使學(xué)生轉(zhuǎn)變想法，從一開始的疑惑，變成了確信：所有的平行四邊形沿著高剪開都可以轉(zhuǎn)化成長方形。放大生成點(diǎn)，讓學(xué)生在一波三折的思維波瀾中不斷經(jīng)歷著認(rèn)知結(jié)構(gòu)的失衡與平衡，平行四邊形面積的認(rèn)知難點(diǎn)被成功突破，思維能力也在解決問題中不斷提升，對平行四邊形面積計(jì)算公式的建構(gòu)逐漸清晰。

（三）比較篩選，提取關(guān)鍵特征

平行四邊形和轉(zhuǎn)化后長方形之間存在哪些等量關(guān)系？為什么“平行四邊形面積=底×高”？通過猜想、操作、驗(yàn)證、分析等數(shù)學(xué)活動，在充分積累幾何活動經(jīng)驗(yàn)、體驗(yàn)知識的形成過程后，學(xué)生借助于下圖，不難發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系。

找準(zhǔn)數(shù)形結(jié)合的思維點(diǎn)，使數(shù)形之間有效溝通，便成為培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的關(guān)鍵點(diǎn)，直接影響學(xué)生幾何直觀思維習(xí)慣的形成。直觀演示、感悟體驗(yàn)、水到渠成，原本抽象的用數(shù)學(xué)符號表示平行四邊形面積的數(shù)量關(guān)系式，在此變得通俗易懂。推導(dǎo)面積公式并體會到轉(zhuǎn)化思想，為后面其他圖形面積公式的推導(dǎo)作以思考導(dǎo)向。顯然，無論從知識建構(gòu)的本身，還是從數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)上，都達(dá)到了最佳效果。

三、抓住本質(zhì)，深化特征認(rèn)識

幾何直觀常靠邏輯支撐，它不僅指看到了什么，還表現(xiàn)在通過看到的圖形思考到了什么、想象到了什么，甚至根據(jù)新舊知識的聯(lián)系，猜想一些可能的結(jié)論和論證，這是數(shù)學(xué)重要而有價(jià)值的思維方式之一。

例如，在理解并建構(gòu)了平行四邊形面積計(jì)算公式后，我們同樣可以創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問題情境，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)知識的二度建構(gòu)。

【課堂教學(xué)片斷展示】師：你能計(jì)算這個(gè)平行四邊形的面積嗎？

生：能。（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，交流反饋：10×6.4=64cm2）

師：如果沿著6.4cm這條高剪開，得到的是一個(gè)長是幾、寬是幾的長方形呢？

生：得到的是一個(gè)長是10cm、寬是6.4cm的長方形。

（先讓學(xué)生獨(dú)立思考、想象，再白板演示剪拼、平移的過程）

師：如果知道這條鄰邊長為8cm，你能計(jì)算這個(gè)圖形的面積嗎？

生：能，還是10×6.4=64cm2，因?yàn)椴恢?cm這條底邊上的高。（抽生指出底和相對應(yīng)的高）

師：那你能根據(jù)這些信息計(jì)算出這條底邊上的高嗎？

生：能！（學(xué)生計(jì)算，得出10×6.4÷8=8cm）

師：如果沿著8cm這條高剪開，得到的又是一個(gè)長是幾、寬是幾的長方形呢？

生：（生稍作思考后回答）得到的是一個(gè)邊長為8cm的正方形。

（隨后教師用白板配合演示剪拼、平移的過程）

以上簡短的師生互動環(huán)節(jié)，在問題驅(qū)動和媒體技術(shù)的演示下，激活了學(xué)生的想象力，再一次讓學(xué)生感受到“轉(zhuǎn)化”思想的本質(zhì)，沿著不同的“高”剪拼，拼成的平行四邊形“形狀雖不同，但面積相等”這一辯證統(tǒng)一關(guān)系。我們甚至可讓學(xué)生猜想用“轉(zhuǎn)化”的方法探究三角形和梯形的面積計(jì)算公式。

綜上所述，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密相連。教師唯有從學(xué)的角度出發(fā)圍繞學(xué)科本質(zhì)，抓住核心問題讓學(xué)生展開探究，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容變的形象、生動，才是實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識形成、培養(yǎng)幾何直觀能力的有效載體。

參考文獻(xiàn)

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