在變式探究中培育幾何直觀素養

溫暉

[摘? 要] 培育初中生的幾何直觀素養是值得探討的課題. 數學章節復習應該實現復習課的育人功能，培育學生的數學核心素養，增強學生的數學自我效能感. 變式探究是培育學生的幾何直觀素養的有效方式. “數軸上兩點距離問題”是培育學生幾何直觀能力的重要載體.

[關鍵詞] 初中數學;幾何直觀;變式探究;章節復習;兩點距離

如何培育初中學生的幾何直觀素養是初中數學教學的重要課題. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.”[1]

筆者認為，數學章節復習不是課本知識的簡單重復，應該梳理知識形成能力，實現復習課的育人功能，增強學生的數學自我效能感，著力提升學生的數學核心素養. 變式探究是培育學生的幾何直觀素養的有效方式. 數軸是培養初中生幾何直觀的第一個核心概念. 本文以“數軸上兩點距離問題”的章節復習為例，分享筆者的實踐與思考.

教學設計

案例? 數軸上兩點距離問題

1. 教學內容解析

教材地位：數軸是初中數學的核心概念. 《標準》要求：“能用數軸上的點表示有理數，能比較有理數的大小.”“借助數軸理解相反數和絕對值的意義，掌握求有理數的相反數與絕對值的方法，知道|a|的含義（這里a表示有理數）.”

數軸上兩點距離問題涉及數軸、相反數、絕對值、有理數運算等基礎知識，具有一定的綜合性. 解決問題，要求學生利用數軸的幾何直觀，運用數形結合、分類討論、化歸轉化等數學思想方法. 因此，數軸上兩點距離問題是培養學生幾何直觀的重要載體.

教學重點：數軸上兩點距離問題.

教學難點：數軸上兩點距離問題.

2. 學生學情分析

從知識基礎來看，剛入初一的學生在“有理數”一章（《義務教育課程標準教科書·數學》 〈人教版〉七年級上冊）的新課學習中，對用數軸上的點表示有理數已有初步認識，知道相反數與絕對值的幾何意義，能用數軸上點的移動解釋有理數加減運算的結果，但利用數軸的幾何直觀處理相關問題的能力尚待進一步提升.

從思維基礎來看，剛入初一的學生解決數軸上兩點距離問題是有困難的，主要表現在三個方面：一是問題表征有困難，這類問題需要學生選擇合適的表征形式去審清題意;二是方法選擇有困難，這類問題需要學生選擇數形結合去解決問題;三是分類討論有困難，這類問題中表示數的點的位置往往不確定，容易出現“對而不全”.

3. 教學目標設置

（1）通過數軸上兩點距離問題的復習，促進學生對數軸、相反數、絕對值和有理數加減運算法則的深刻理解.

（2）通過數軸上兩點距離問題的復習，進一步提升學生的幾何直觀能力.

4. 教學策略選擇

本節課主要采用問題驅動策略和變式探究策略.

5. 教學過程設計

在設計理念上，基于“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的課程理念，基于數學章節復習的目標定位，在章節復習教學中尋找發展學生數學核心素養的方式和方法. 為此，在“有理數”章節復習中，筆者選擇數軸上兩點距離問題，力圖培育學生的幾何直觀素養.

在課堂操作上，本節課采用如下操作程序：復習回顧——變式探究——反饋評價——總結提煉——布置作業.

教學環節1：復習回顧

將復習內容問題化，用4個問題引領學生回顧所學知識.

問題1：數軸與普通直線有何不同？怎樣用數軸表示有理數？

設計意圖：引導學生復習數軸的三要素.

問題2：設a為正數，怎樣用數軸表示-a？a與-a有何關系？

設計意圖：引導學生復習相反數的概念，用數軸解釋一個數的相反數.

問題3：設a為有理數，怎樣理解a？

設計意圖：引導學生復習絕對值的概念，從代數與幾何兩個角度表征絕對值.

問題4：在數軸上，點A，B分別表示數-2，3，能求出點A和點B的距離嗎？（依據《義務教育課程標準教科書·數學》〈人教版〉七年級上冊第24頁“探究”改編）

設計意圖：引導學生計算數軸上兩點的距離，幫助學生利用有理數的減法或數軸上點的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者.

教學環節2：變式探究

變式1：在數軸上，點A，B分別表示數a，b，則點A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

設計意圖：引導學生一般化，建構數軸上兩點距離公式.

變式2：在數軸上，點A表示數-2，點B表示數b，若點A，B之間的距離AB=5，則b=______.

設計意圖：引導學生逆向思考，固化數軸上兩點距離問題的解決方法.

變式3：數軸上點M，N表示的數分別為-50，20，點P表示的數為x. 如果點P到點M、點N的距離相等，那么x的值是______.

設計意圖：引導學生化歸轉化，強化數形結合.

變式4：數軸上點M，N表示的數分別為-50，20，點P表示的數為x. 是否存在點P，使點P到點M、點N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

設計意圖：引導學生類比遷移，學會講清道理.

問題5：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標，有何發現？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

設計意圖：引領學生解題反思，認識數軸上兩點距離問題的結構特征，積累解題經驗.

教學環節3：反饋評價

（1）（2017年廣州市初中畢業生學業考試數學卷第1題）如圖1，數軸上兩點A，B表示的數互為相反數，則點B表示的數為（ ? ?）

A. -6 ? ? ? ? ?B. 6

C. 0 ? ? ? ?D. 無法確定

（2）在數軸上，點A向左移動2個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C. 若點C表示的數為1，則點A表示的數為（ ? ）.

A. 7B. 3C. -3 D. -2

（3）數軸上表示數-14和表示數5的兩點之間的距離為______.

（4）已知x為整數，且-2

設計意圖：引領學生自我評價.

教學環節4：總結提煉

問題6：本節課學習了什么，同學們有何感悟？

設計意圖：引領學生歸納總結，提煉數學思想方法.

教學環節5：布置作業

（1）綜合運用：七年級數學上冊第51頁第2題;七年級數學上冊第52頁第10題.

（2）拓廣探索：數軸上點M，N表示的數分別為-50，20，點P表示的數為x. 若點P到點M、點N、點O（原點）的距離之和是80，求x的值.

設計意圖：引領學生變式訓練，強化數形結合、化歸轉化和分類討論等思想方法.

教學實錄

教學片段1：變式探究

師：將問題4一般化，可得變式1.（投影）

變式1：在數軸上，點A，B分別表示數a，b，則點A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

生1：AB=a-b.

生2：AB=b-a.

師：正確！為何有兩個表達式？

生3：因為a-b和b-a互為相反數，所以它們的絕對值相等.

師：深刻！a-b的幾何意義是什么？

生4：a-b是數軸上表示數a的點到表示數b的點之間的距離.

師：類似地，a+b是數軸上哪兩個點之間的距離？

生5：a+b是數軸上表示數a的點到表示數-b的點之間的距離.

生6：a+b是數軸上表示數b的點到表示數-a的點之間的距離.

師：很好！下面交換問題4的條件與結論，可得變式2.（投影）

變式2：在數軸上，點A表示數-2，點B表示數b，若點A，B之間的距離AB=5，則b=______.

學生獨立思考后作答.

生7：b=3.

師：確定嗎？點B在數軸上的位置確定嗎？

生7：應該是b=-7或b=3. 因為AB=5，點B的位置不確定，所以點B在點A的左邊或右邊，所以b的值為-2-5=-7或者-2+5=3.

師：正確！點A把數軸分成了左、右兩部分，點B落在哪個部分不確定，需要分類討論！

師：將變式2中的已知條件稍作變更，可得變式3. （投影）

變式3：數軸上點M，N表示的數分別為-50，20，點P表示的數為x. 如果點P到點M、點N的距離相等，那么x的值是______.

師：能畫數軸示意圖表示已知條件嗎？哪位同學來畫一下.

生8主動在黑板上畫圖，但畫好后又擦掉了.

師：你已畫了3次，但都擦掉了，有何疑惑？

生8：我不知道要不要標注單位長度.

師：注意到單位長度，非常好！你覺得有必要把所有單位長度標出來嗎？

生9：沒有必要，因為只畫示意圖，把點的相對位置表示清楚就可以了.

在黑板上畫圖的學生還是猶猶豫豫，教師請生9協助生8畫圖，得到了如下示意圖（圖2）：

緊接著，生9講道理.

生9：因為MN的長度為70，除以2得到35，所以把點M向右平移35個單位長度，可得點P表示的數為-15.

師：為什么取70的一半？為何把點M向右平移？移動點N怎樣？

生9：因為數軸上點P滿足PM=PN，所以點P一定在點M、點N的中間位置，所以PM=MN=35. 把點M向右平移35個單位長度，可得點P表示的數為-15.

生10：把點N向左平移35個單位長度，也可得點P表示的數為-15.

師：非常棒！伸出你的雙手.

全班學生熱烈鼓掌.

師：停！將變式3中的已知條件再作變更，可得變式4.（投影）

變式4：數軸上點M，N表示的數分別為-50，20，點P表示的數為x. 是否存在點P，使點P到點M、點N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

師：類比變式3的解法，能解決變式4嗎？

生眾：應該可以.

學生動筆畫數軸示意圖.

教師巡堂后，請學生11在黑板上畫出如下示意圖（圖3、圖4）：

師：你為何畫了兩個示意圖？

生11：點P的位置不確定. 由于PM+PN=80，MN=70，所以點P不可能落在線段MN上，只能落在線段MN之外.

師：很好！點M和點N把數軸分成了三個區域，先確定點P落在哪個區域. 由示意圖知，點P在點M的左邊，或者點P在點N的右邊，能求得點P表示的數嗎？

生12：點P表示的數為-55或者25.

師：為什么？能講清道理嗎？

生12：因為PM+PN=80，MN=70，所以點P在點M的左邊，或者點P在點N的右邊.

當點P在點M的左邊時，如圖3，由PM+PN=PM+PM+MN=80，得PM=5，所以點P表示的數為-50-5=-55.

當點P在點N的右邊時，如圖4，由PM+PN=MN+PN+PN=80，得PN=5，所以點P表示的數為20+5=25.

師：非常棒！掌聲響起來.

全班學生熱烈鼓掌.

師：停！這是一道存在性問題，怎樣作答？

生眾：數軸上存在點P，使PM+PN=80，點P表示的數為-55或者25.

師：正確！接下來，請思考問題5（投影）：

問題7：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標，有何發現？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

生13：變式2給出數軸上兩點之間的距離，已知一個點表示的數，求另一個點表示的數.

生14：變式3給出數軸上點到兩個點之間的距離相等，已知兩個點表示的數，求另一個點表示的數.

生15：變式4給出數軸上點到兩個點之間的距離之和，已知兩個點表示的數，求另一個點表示的數.

師：變式2、變式3、變式4都是數軸上兩點距離問題.

生16：變式2、變式3、變式4的解題過程都是先畫數軸示意圖，再求點表示的數.

生17：變式3、變式4的解題過程都是先轉化為兩點之間的距離，再求點表示的數.

師：求解數軸上兩點距離問題要注重數形結合、分類討論.

教學片段2：總結提煉

師：（投影問題6）本節課學習了什么？有何感悟？

生18：學習了“數軸上兩點距離問題”.

生眾：求解“數軸上兩點距離問題”，要注重數形結合、分類討論、化歸轉化.

師：數軸是初中學習的第一個數形結合模型，同學們要學會用數軸處理問題！正如數學家華羅庚所說，“數形結合百般好，隔離分家萬事休”.

教學反思

“數軸上兩點距離問題”的復習教學，注重發揮數軸的幾何直觀作用，學生經歷了解決問題的過程，在變式探究中提升了初一學生的幾何直觀素養. 主要亮點如下：

1. 注重問題引領

本節課以6個問題引領學生學習，較好地體現了教師的主導作用. 問題1、問題2、問題3將復習內容問題化，有利于學生回顧所學知識;問題4引導學生計算數軸上兩點的距離，幫助學生利用有理數的減法或數軸上點的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者;問題5引導學生解題反思，旨在引領學生認識變式問題的結構特征;問題6旨在引領學生積累解題經驗. 在處理這6個問題中，學生較好地彰顯了主體地位. “問題引領”正是數學教學實現學生與教師“雙中心”的一個十分有效的手段[2].

2. 注重變式探究

變式探究是促進學生數學深度學習、提升數學核心素養的有效方式. 本節課用變式1、變式2、變式3和變式4引領學生變式探究. 變式1基于問題4的一般化，建構了數軸上兩點距離與兩個數差的絕對值的聯系;變式2基于問題4的逆向探求，固化了解決數軸上兩點距離問題的方法，強化了學生對有理數減法的幾何表征，學生認識到分類討論的重要性;變式3基于變式2條件的變更，引領學生化歸轉化，強化了數軸的直觀作用;變式4基于變式3的解題經驗，旨在促進學生深度學習，讓學生學會類比遷移. 這樣的變式探究對培育學生的幾何直觀素養是富有成效的.

3. 注重講清道理

初中數學教學要注重數學思考，特別是在突出重點、突破難點的過程中應該引導學生講清道理. 例如，本節課中的變式3是教學重點. 在變式3的教學中，學生經歷了處理“數軸上兩點之間距離問題”的思考過程. 首先，引導學生畫出表示PM=PN的示意圖并講清道理;其次，引導學生將PM=PN轉化為PM=35，從而解決問題.

又如，變式4是本節課的教學難點（也是教學重點）. 在變式4的教學中，用啟發性提示語——“類比變式3的解法，能解決變式4嗎”，引領類比遷移，讓學生主動建構解決問題的方法. 首先，讓學生畫數軸示意圖，學生在畫數軸示意圖中感悟分類討論思想;其次，啟發引導學生將題設條件PM+PN=80轉化為PM=5或PN=5;最后，引導學生講清道理，從而解決問題.

4. 注重提高學生的自我效能感

初中數學教學要注重提高學生的自我效能感. 研究表明，數學自我效能感是影響學生數學學業水平的重要心理因素，數學自我效能感水平與數學學業水平呈正相關[3]. 在數學課堂中，數學自我效能感水平較高的學生，積極參與數學活動，自主探究問題，自我評價意識較強，善于反思提煉. 具有較高的數學自我效能感對于學生未來的數學學習是非常有幫助的. 因此，為了增強學生的數學自我效能感，在課堂教學中教師要鼓勵學生積極參與、自主糾錯、主動建構，要引導學生回顧反思、積累數學活動經驗，要強化學生的數學學習動機，要讓學生體驗到學習成功的快樂.

幾何直觀是初中數學教學要著力培養的核心素養之一，培育學生的幾何直觀素養是值得深入探究的課題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]鄭毓信.數學教育的“問題導向”（續）[J]. 中學數學教學參考，2018（11）.

[3]孫思雨，朱雁. 初中生數學自我效能感及其校準性的調查研究[J]. 數學教育學報，2019，28（06）.