玩味旋轉 品味精彩

張 貝 李志平

[摘? 要] 文章通過改編兩個正方形的旋轉的實驗探究題，研究一類正多邊形與直角三角形、扇形等圖形的旋轉形成的重疊面積的變化問題，希望能對一線教師教學旋轉相關知識有所啟示.

[關鍵詞] 正多邊形;扇形;旋轉;重疊面積;變式

正多邊形是九年級學生熟悉的圖形，由正方形的旋轉拓展到正三角形、正五邊形、正n邊形的旋轉，由特殊到一般地設計一些有規律的問題，通過讓學生實踐操作、猜想、證明、驗證，讓學生親身經歷知識自然生成的過程，進一步提升學生對正多邊形邊角關系、全等三角形、旋轉變換等知識的理解，讓其透過旋轉表象理解常見正多邊形的性質，歸納共性，提升解題能力，提高學生數學邏輯思維、直觀想象等核心素養. 原題選自人教版八年級下冊第63頁實驗與探究中有關正方形的小實驗，通過旋轉一類圖形后重疊部分面積的變化問題，讓學生透過表象看到本質.

原題

如圖1，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O是又是正方形A1B1C1D1的一個頂點，而且兩個正方形的邊長相等，無論正方形A1B1C1D1繞點O怎樣轉動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的，想一想，這是為什么？

該實驗考查正方形的四個角是直角，對角線互相垂直平分且相等等性質，在正方形的背景上結合三角形全等的判定和性質來發展學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養. 本題只是考查了面積相等，那么除了面積相等我們還可以探究在旋轉過程中相等的線段等結論，因此可以在結論和條件上做些適當的變式.

變式

變式1? 如圖2，點O是正方形ABCD對角線的交點，將直角三角形GHI的直角頂點H與點O重合，轉動三角板使兩直角邊始終與AD，CD相交于點F，E.

（1）求證：OF=OE;

（2）試探究四邊形OEDF的面積是一個定值，并求出這個定值.

注? 在原題中涉及兩個正方形，但在旋轉正方形A1B1C1D1過程中只用到了正方形的其中一個角是直角的性質，為此，筆者把原題中的正方形A1B1C1D1改編為直角三角形，在結論上增加考查在旋轉過程中除了面積的不變性外還有始終相等的線段的不變性.

變式2? 如圖3，點O為正五邊形ABCDE的中心，以O為頂點的扇形PFI繞點O無論怎樣轉動，要使它與正五邊形ABCDE的重疊部分的面積總保持不變，問扇形PFI應滿足什么條件？請說明你的理由.

注? 變式2把原題中的正方形變為正五邊形和扇形，把題設和結論進行倒置，以探究旋轉過程中重疊面積不變的核心是要保證△OHD與△OGC全等，其實質是要讓繞點O旋轉的那個角等于中心角.

變式3? （1）如圖4（a），已知∠DOE=120°，把∠DOE的頂點放在正三角形（面積為S1）的中心點O，并將∠DOE繞點O旋轉，試求出∠DOE與正三角形重疊部分的面積.

（2）如圖4（b），已知∠GOH=90°，把∠GOH的頂點放在正方形（面積為S2）的中心點O，并將∠GOH繞點O旋轉，試求出∠GOH與正方形重疊部分的面積.

（3）如圖4（c），已知∠POI=72°，把∠POI的頂點放在正五邊形（面積為S3）的中心點O，并將∠POI繞點O旋轉，試求出∠POI與正五邊形重疊部分的面積.

（4）如圖4（d），當 ∠MON=_______度，把∠MON的頂點放在正六邊形（面積為S4）的中心點O，并將∠MON繞點O旋轉，則∠MON與正六邊形的重疊部分的面積為________.

（5）根據（1）（2）（3）（4）的規律，猜想當一個角為________，把這個角的頂點放在正n邊形（面積為Sn）的中心點O，并將這個角繞點O旋轉，可以得出： 這個角與正n邊形的重疊部分的面積為________.

注? 根據正方形是特殊的平行四邊形，也是一個正多邊形，點O是正方形的中心，OA，OB，OC，OD分別是正方形外接圓的半徑，∠AOB，∠BOC，∠COD，∠AOD分別是外接圓的中心角，OA=OB=OC=OD，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD，所有的正多邊形都具有這些性質，因此，筆者把題設中的正方形改編為正三角形、正五邊形、正六邊形，由特殊到一般地去探究這一類正多邊形旋轉面積不變的共性.

變式4? （1）如圖5（a），正三角形（半徑為a1，面積為S1）的中心點O和圓心角為240°的扇形DOG（半徑為b，且b>a1）的頂點重合，使扇形DOG繞點O旋轉，求出圖中重疊部分的面積.

（2）如圖5（b），正方形（半徑為a2，面積為S2）的中心點O和圓心角為180°的扇形GOI（半徑為b，且b>a2）的頂點重合，使扇形GOI繞點O旋轉，求出圖中重疊部分的面積.

（3）如圖5（c），正五邊形（半徑為a3，面積為S3）的中心點O和圓心角為144°的扇形POM（半徑為b，且b>a3）的頂點重合，使扇形POM繞點O旋轉，求出圖中重疊部分的面積.

（4）猜想：如圖5（d），正六邊形（半徑為a4，面積為S4）的中心點O和圓心角為________度的扇形MON（半徑為b，且b>a4）的頂點重合，使扇形MON繞點O旋轉，圖中重疊部分的面積為_________;

（5）根據（1）（2）（3）（4）的規律，猜想當圓心角為_______度的扇形，把這個扇形的頂點放在正n邊形（半徑為b，且b>an）的中心點O，并將這個扇形繞點O旋轉，可以得出： 這個扇形與正n邊形的重疊部分的面積為_______.

注? 變式4在變式3的基礎上繼續拓展到扇形的圓心角是正多邊形的中心角度數的整數倍時，再將有關圖形適當組合，就可以得到一系列在旋轉過程中，重疊部分面積不變的若干問題.

小結

通過對課本實驗題進行適當的改編，讓題目變活了，學生的思維容量增大了，課堂也豐富了，更激發了學生探究的欲望. 教師可以通過變式訓練讓學生在學習過程中發現問題的本質，加深對同類型、同系列數學問題的理解，幫助學生總結歸納解這一類題的方法和規律.

總之，在課堂教學中我們要讓學生有深度和廣度地思考有價值的數學問題，鼓勵學生大膽猜想、驗證與證明. 教師對一道題不能就題論題，要進行適當的拓展和延伸，在拓展和延伸過程中要滲透轉化、建模、從特殊到一般等數學思想，最終達到提升學生分析問題、解決問題的能力的目的.