核心素養導向的一道正方形習題 的變式教學探析

羅志浩 楊偉東

[摘? 要] 在初中數學習題教學中，教師不僅要教會學生怎樣做題，更應滲透學科核心素養，優化數學習題教學，才更有助于培養與發展學生的創新思維能力. 文章以一道課本正方形習題為例，談談如何進行幾何題變式教學探析.

[關鍵詞] 核心素養;正方形;習題;變式

根據新課標要求，培養并提升學生的核心素養，成為當下數學課堂重要的教學目標. 本文以人教版八年級下冊第 69 頁第14題為例，綜合運用正方形的性質、余角的性質、角平分線的性質、三角形全等等知識，通過一系列變式拓展探究，構建幾何知識網絡，尋求圖形共性，挖掘問題本質特征，提高課堂教學效率，促進學生學科核心素養的發展.

原題引入

如圖 1，四邊形 ABCD 是正方形，點 E 是邊 BC的中點，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分線 CF 于點 F，求證：AE=EF.

思路點撥? 取 AB 的中點 M，連接 ME，則AM=EC， 易證△AME≌△ECF，所以AE=EF.

證明? 取 AB 的中點 M，連接EM，則AM=EC，因為∠AME=180°-45°=135°，∠ECF=90°+45°=135°，所以∠AME=∠ECF;因為∠MAE=90°-∠AEB，∠FEC=180°-90°-∠AEB，所以∠MAE=∠FEC，所以△AME≌△ECF，所以AE=EF.

考點分析? 此題考查了角平分線的性質、余角的性質、正方形的性質、三角形全等及添加輔助線等知識點.

注? 本題分析的重點是E點和∠AEF=90°這兩個條件，能否將這兩個條件進行改變，將E點變為動點，∠AEF角度的確定跟正多邊形的邊數和內角是否有關，對問題的設計能不能通過改變圖形結構，改變命題的條件引入相似和特殊多邊形的判定，最后加強條件引入坐標系，求線段最值問題以達到題目的升華.

變式探究

變式1? 從特殊變為一般，把“點E是BC的中點”改為“點E是BC邊上（除 B，C 外）的任意一點”（如圖2），或改為 “點E 是BC邊延長線上的任意一點”（如圖3），或改為“點E是BC邊反向延長線上的任意一點”（如圖4），但結論、解題思路都不發生改變.

設計意圖? 以上變式是在正方形的基礎上，通過改變點的位置，達到一圖多變的目的，讓學生體會從特殊到一般的魅力，有利于培養學生的幾何直觀和邏輯推理等核心素養.

變式2? 如圖5，點M是等邊△ ABC的邊BC所在直線上的任意一點（除 B，C 外），作∠AMN=60°，射線 MN與三角形外角∠ACD 的平分線交于點 N，試探究AM與MN有怎樣的數量關系？

解答? AM=NM. 理由如下：在AB上截取EA=MC，連接EM，因為∠1=∠AMP-∠B，∠2=∠ AMP-∠AMN，∠AMN=∠B=60°，所以∠1=∠2，又因為CN平分∠ACP，∠4=∠ACP=60°，所以∠MCN=∠3+∠4=120°，又因為BA=BC，EA=MC，所以BA-EA=BC-MC，即BE=BM，所以△BEM為等邊三角形，∠6=60°，所以∠5=180°-∠6=120°，得到∠MCN=∠5. 所以△AEM≌△MCN（ASA），故AM=NM.

設計意圖? 此變式改變圖形載體，將原題中的“正方形ABCD”改為“正三角形 ABC”，同時改變夾角的度數，其他條件不變. 但此題與原題解讀思路如出一轍，有利于讓學生發現數學問題的規律及本質.

變式3? 如圖6，M 是正五邊形 ABCDE 的邊BC所在直線上的任意一點（除B，C外），作∠AMN=108°，射線MN與外角∠DCF的平分線交于點N，結論“AM=MN”還成立嗎？

證明? 在AB上截取AG=MC，連接MG. 因為五邊形ABCDE是正五邊形，所以∠B=∠BCD=108°，AB=BC;因為AG=MC，所以AB-AG=BC-MC，即BG=BM，所以∠BGM=∠BMG=36°，所以∠AGM=180°-∠BGM=180°-36°=144°. 因為CN是∠DCF的平分線，所以∠DCN =36°，所以∠MCN=∠MCD+∠DCN=108°+36°= 144°，所以∠AGM=∠MCN= 144°. 因為∠BMG+∠AMG+∠AMN+∠CMN=180°，∠ABM+∠BAM+∠BMA=180°，所以∠BAM=∠NMC，所以△AGM≌△MCN，所以AM=MN.

設計意圖? 此變式旨在深化學生對問題的理解，提高學生發散性和創新性思維能力. 事實上在正五邊形、正六邊形、正八邊形、正九邊形等圖形中，只要保證∠AMN的度數與正多邊形每一個內角度數相等，其他條件不變，即可證明AM=MN.

變式4? 已知：如圖7，正方形ABCD，BM，DN分別是正方形的兩個外角平分線，∠MAN= 45°，將∠MAN繞著正方形的頂點A旋轉，邊AM，AN分別交兩條角平分線于點M，N，連接MN.

（1）求證：△ABM∽△NDA;

（2）連接BD，當∠BAM的度數為多少時，四邊形BMND為矩形？并加以證明.

解答? （1）因為四邊形ABCD是正方形，所以∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°. 因為BM，DN分別是正方形的兩個外角平分線，所以∠ABM=∠ADN=135°. 因為∠MAN=45°，所以∠BAM=∠AND=45°-∠DAN. 所以△ABM∽△NDA.

（2）因為四邊形BMND為矩形，所以BM=DN，因為△ABM∽△NDA，所以=，所以BM2=AB2，所以BM=AB，所以∠BAM=∠BMA==22.5°.

設計意圖? 此變式考查學生相似三角形、特殊四邊形的性質和判定等知識的靈活應用，讓學生體會從特殊到一般的過程，充分挖掘了學生思維的深度、廣度，培養了學生的探究能力.

變式5? 如圖8，在平面直角坐標系中，已知正方形ABCO，A（0，3），點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作等腰直角三角形ADE，∠ADE=90°，連接OE，求OE的最小值.

解答? 因為∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，所以∠ADO+∠EDH=90°， ∠EDH+∠DEH=90°，所以∠ADO=∠DEH. 因為AD=DE，所以△ADO≌△DEH，所以OA=DH=OC，OD=EH，所以OD=CH=EH，所以∠ECH=45°. 因為y=x+b過點（3，0），所以點E在直線y=x-3上運動，作OE′⊥CE，則△OCE′是等腰直角三角形. 因為OC=3，所以OE′=. 所以OE的最小值為.

設計意圖? 此變式相比原題，由淺入深，層層深入，環環相扣，增加相似和最值問題，但遷移應用原題的思路方法，即可找到新問題的本質特征，有利于培養學生化歸等數學思想方法.

結束語

作為一線數學教師，我們應該活用、深挖教材例、習題資源，通過不斷地融入新知識點，構建原題和變式題之間的知識網絡，尋找解題思路的共性，提高幾何課堂教學效率，這既可提高教師的專業素養，又能培養并提升學生的核心素養.