對一道融合拋物線的動點幾何問題的探究

江 田

[摘? 要] 研讀全國各地中考試題，以函數為背景的動態幾何問題常作為壓軸題出現，能夠突出考查學生對概念、思想方法和知識綜合的掌握情況，文章對一道融合拋物線的動態幾何問題進行思路探索，總結歸納該類問題的解法策略，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 拋物線;動點;動態幾何;靜態;轉化;變式

問題引入

近幾年中考壓軸題逐步向數形結合、動態幾何、知識探究等方向發展，其中以拋物線為背景融合動態幾何是命題的熱點. 除了需要學生掌握常用的分析方法，具備相應的推理能力外，還需具有一定的空間觀念，能夠在“運動”與“靜態”視角中自如切換，下面進行深入探究.

引例呈現

例題? 直線l的解析式為y=-x+3，與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，拋物線y=-x2+2mx-3m的頂點為D，并經過點A，與x軸的另一交點為C，現連接BD，AD和CD，如圖1所示.

（1）試求拋物線的解析式以及點A，C，D的坐標;

（2）設點P以每秒2個單位長度的速度，沿著BD，從點B向點D運動，同一時間點Q以每秒3個單位長度的速度，沿著CA，從點C向點A運動，而當其中一點達到終點停止運動時，另一點也立即停止運動. 設運動過程中的時間為t秒，PQ與線段AD的交點為E，回答下列問題.

①試求當∠DPE=∠CAD時t的值;

②過點E作BD的垂線，垂足為點M，再過點P作PN⊥BD，交線段AB或者AD于點N，試求當PN=EM時t的值.

思路探索

本題為以拋物線為背景的雙動點幾何問題，主要考查二次函數的應用與幾何性質. 設問分為兩個小問，下面對其解題思路進行探索.

1. 待定系數求式

第（1）問屬于基礎問題，并不涉及動點分析，只需要求出其中點A和點B的坐標，然后將點A坐標代入拋物線的解析式中即可求出m的值，進而推知點C和D的坐標.

點A和B是直線l與坐標軸的交點，直線l的解析式為y=-x+3，則可以求得點A（2，0），B（0，3）. 將點A的坐標代入y=-x2+2mx-3m中，從而可解得m=3，所以拋物線的解析式為y=-x2+6x-9，對其變形可得y=-（x-4）2+3，則點D（4，3），點C（6，0）.

評析? 求拋物線的解析式和交點坐標相對簡單，但需要強調的是要確保答案準確，因此求出結果后需要對其進行驗證，這也是確保后面兩小問正確解答的條件，可以采用交點法或兩根法來加以驗證.

2. 化“動”為“靜”求解

第（2）問分為兩個小問，其中引入了動點P和Q，隨著兩點的運動，直線PQ的斜率也會發生變化，設問均與幾何圖形有關，因此需要聯系幾何性質來探索. 但突破的關鍵依然是合理進行“動”與“靜”的視角轉化，找到幾何元素與動態條件之間的關聯.

第①問解析：該問求∠DPE=∠CAD時t的值，其中的動態條件是時間t，可以聯合運動速度來構建關于線段長的函數，即BP=2t，CQ=3t，從而完成動態條件的靜態轉化. 后續求解時只需要建立等角與等線之間的關系即可.

由第（1）問可知BD=AC=4，根據題意可知0≤3t≤4，解得0≤t≤. 由于點B（0，3），D（4，3），則BD∥OC，由平行線的性質可得∠CAD=∠ADB，當∠DPE=∠CAD時有∠DPE=∠ADB. 由點A，B和D的坐標可得AB=AD=，所以∠DPE=∠ABD（等邊對等角），則PQ∥AB，從而可知四邊形ABPQ為平行四邊形，必然有AQ=BP，即2t=4-3t，可解得t=，所以當∠DPE=∠CAD時t的值為.

評析? 該問是分析等角與時間t之間的關聯，上述分析動態元素時引入了與時間t相關的線段函數，這是利用了函數的動態特性，將問題轉化為分析等角與線段長之間的關聯，從而有利于幾何特性的介入.

第②問解析：該問構建了兩條垂直線段，需要注意的是：隨著點P的運動，點N的位置會發生變化，其可能位于線段AB上，也可能位于線段AD上，因此需要對兩種情形加以討論. 聯系點A，D和點P的運動速度可知，當0≤2t≤2時，點N位于AB上;當2<2t≤4時，點N位于AD上. 后續只需要結合條件PN=EM以及幾何性質來構建關于時間t的方程即可.

（i）當N位于AB上時，0≤2t≤2，解得0≤t≤1. 連接NE，分別延長PN和ME，與x軸相交于點F和點H，如圖3所示.

結合垂直關系和線段等長條件可知OF=BP=2t，PF=OB=3，進一步可知FQ=OC-OF-QC=6-5t，點N位于直線AB上，可將其坐標表示為（2t，-3t+3）. 當PN=EM時，NE∥FQ，則△PNE與△PFQ相似，由相似性質可得=，則FH=NE=·FQ=6t-5t2. 直線AD的解析式為y=x-3，則點E的坐標可以表示為（4-2t，-3t+3），由于OH=OF+FH，從而有4-2t=2t+6t-5t2，可解得t=1-或t=1+（舍去）.

（ii）當N位于AD上時，2<2t≤4，解得1

綜上可知，當PN=EM時t的值有兩個，分別是1-和.

評析? 該問分析等線段長時時間t的值，需要建立關于時間t的線段長的方程，突破的關鍵同樣是處理其中的“動態”條件. 上述解法結合了物理上求運動距離的公式進行轉化，后續只需要結合幾何性質分析問題. 另外，求解時還充分運用了分類討論的思想方法，通過對問題情形進行分類降低了思維難度，避免了漏解，這也是動點幾何問題常用的解析策略.

總結歸納

1. 考查的知識點

以拋物線為背景的動點幾何問題所考查的內容眾多，其中有以下幾大重要知識點.

（1）融合特殊四邊形，如正方形、平行四邊形、菱形等，考查幾何特性;

（2）以動點、動線為基礎構建三角形，探究與三角形相關的知識，例如相似、全等、面積函數等;

（3）以探究的方式進行存在性分析，考查“假設——驗證”方法的運用.

2. 問題突破策略

融合拋物線的動點幾何問題可以根據相應的問題條件采用如下策略分析：

（1）動點以速度、時間參數的形式呈現——結合對應公式轉化為含參線段;

（2）涉及菱形、等腰三角形等特殊圖形——觀察圖形結構，提煉出圖形所具備的特性;

（3）探究相似三角形——采用分類討論的策略，畫圖探究，利用相似性質得出相似比構建方程;

（4）與動點相關的幾何面積——分析圖形結構，構建面積模型，利用面積公式轉化為與運動參數相關的面積函數.

教學思考

動點問題一般具有較高的難度，學生在求解時需要解決諸多問題，包括如何處理動點條件、提取等量關系等，學生的分析能力與教師的教學指導有著密切的關聯，因此教師需要在解題教學中深入分析解題難點，引導學生掌握解題方法.

1. 化動為靜，常規轉化

動點問題一般與運動要素相關，在分析問題時需要明確其中的運動對象、方向、速度、終點等，然后結合相應的運動公式呈現運動距離，從而將運動問題轉化為常規的幾何問題，實現“動點”靜化. 例如本題中給出了點P和Q的運動要素，此時就可以利用公式s=vt得到BP=2t，CQ=3t等，然后以此為基礎來分析其中的幾何關系，逐步使問題思路變得清晰.

2. 數形結合，特定分析

動點問題一般以點動為表象來考查幾何與函數等知識，其中隱含了數形結合、分類討論、方程等思想. 問題突破時需要引導學生重視數形結合思想，結合圖像來分析動態幾何的不同狀態. 無論是求證等角、等線問題，還是分析幾何面積、極值問題，均需要合理處理運動變量，將其轉化為常規的形式. 教學中可以引導學生合理利用數形結合方法對圖像進行分類或者分割，從中提取相應的幾何圖形，利用圖形特性構建方程. 例如上述在第（2）②問求解時根據點N的位置構建了兩類圖像，從中提取了平行四邊形、等腰三角形和直角三角形等特殊圖形，通過定性分析逐個擊破.

3. 變式訓練，拓展思維

運動問題屬于重點問題，教學中需要加強變式訓練. 變式訓練可以使學生強化理解，磨煉技能，同時拓展思維. 對于本題的變形，我們可以從以下三個方面進行.

（1）試問當t為何值時，四邊形ABPQ為平行四邊形？

（2）分析在點P的運動過程中△PBN的面積，試問t為何值時△PBN的面積為？

（3）點P運動過程中，△PNE能否為等腰直角三角形？若可以，求出t的值;若不可以，請說明理由.

上述第（1）和（3）問是分析運動過程中的特殊圖形，只需要把握特殊圖形的特殊條件，聯系運動要素進行分析即可. 而第（2）問要分析三角形的面積，只需要結合面積公式將其轉化為關于時間t的函數，然后構建方程求解即可.