新高考形勢下的立體幾何教學感陪

徐沖 劉燁燁

摘要：本文從學生立體幾何空間想象能力及作圖能力的培養，特殊幾何模型的應用，立體幾何與古代文化三個方面闡述在2021屆新高考形勢下立體幾何的一些教學策略與感悟。

關鍵詞：立體幾何;策略;感悟

一、空間想想象能力以及作圈能力的培養

立體幾何的知識結構特點要求學生必須具備一定的空間想象能力以及作圖能力，否則不可能真正地學好和應用這部分知識，許多高中生對立體幾何這一章節“望而卻步”，最根本的原因就是缺乏空間想象能力以及作圖能力。立體幾何最開始的教學重點應該是幫助學生逐步形成空間觀念，先讓學生了解各種空間幾何體，直觀地感受立體圖形，在接觸足夠多的立體圖形后再深入探究空間幾何體的內部結構，探究其中點，線，面的關系。教師應遵循從整體了解空間幾何體到局部探究各幾何體的內部結構，也要遵循從具體實物到抽象幾何關系的原則。在立體幾何的教學過程中教師應該向學生提供豐富的實物模型或利用幾何畫板，利用GGB等多媒體軟件向學生展示空間幾何體，這樣可以幫助學生非常直觀、方便地認識空間幾何體的圖形結構特征，為學生深入學習圖形點線面的幾何性質提供依據，強調幾何學習的直觀性，經歷這樣的過程也有助于學生進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，同時有助于培養學生在平面上作空間圖形的能力。新課程標準中給了這樣一個案例：正方體截面的探究情境：如果我們用一個平面去截切一個正方體，那么所得的截面的形狀將會是什么樣的？我們可以先對剖面進行分類，可以找到一種方法來切出這些剖面，并描繪這些剖面的演示圖。比方說，可以根據橫截面圖中的邊數來分。

1.如果正方體被截得的截面是三角形，能夠截切出多少個不同的三角形？

2.如果截面是四邊形，能夠截切出多少不同的四邊形？

3.能否截出五邊形，六邊形？

4.可以超過六邊形嗎？

5.截面面積最大的三角形是什么形狀的三角形？

引用課標分析：“可以通過切割正方體白蘿卜啟發思考進行觀察白蘿卜的截面，或者使用橡皮泥做模型;也可以在透明的立方體小箱中注入彩色水，觀察水箱不停變換位置時液體表面的形狀，同時加入不同水量時觀察表面的形狀;我們還可以借助ggb，幾何畫板等多謀體技術直觀、快捷地展示各種可能出現的截切面。這樣一個展示的過程是先給學生一些直觀的感受，學生一旦有了這些直觀感，就可以做出大膽而合理的猜想，然后嚴謹地證明結論。經歷這樣逐漸深入，由淺入深，由直觀感受到抽象概括的探究過程有助于學生在具體情境中提升直觀想象，數學抽象，邏輯推理等素養，從而積累數學探究活動經驗。

感悟：新課標，新高考將學生的空間想象力的培養放在十分重要的位置，在平時的教學過程中教師可以借助各種實物，多媒體等工具幫助學生從直觀感受開始建立學生的空間想象力和空間作圖能力。

二、立體幾何與古代文化

2017年全國高中數學學科課程標準第一次明確提出在高考數學中考查數學文化的知識。近年來高考真題卷和模擬卷經常出現以經典的數學經典著作《九章算術》為參考背景的題目，其中2019由國家命題中心命題的山東高三數學模擬卷中也有類似題型。將知識、方法和文化與數學結合起來，并深層次地考慮到學生對新環境，新情境下的知識的理解以及他們將知識在不同的情境背景下的遷移能力。教師教授立體幾何這一章節時應做好這方面的融合工作。這里有一些具體的例子，教學過程中可以引用。

例1.斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構件之一，并為中國所特有.圖一圖二是斗拱實物圖，圖三是斗拱構件之一的“斗”的幾何體.本圖中的斗是由棱臺與長方體形凹槽（長方體去掉一個小長方體）組成.若棱臺兩底面面積分別是400cm²，900cm²，高為9cm，長方體形凹櫓的體積為4300cm3，那么這個斗的體積是（）。

A.5700cm³B.8100cm³C.10000cm³D.9000cm³

點評：本題以古代建筑為背景，由現實情境抽象出數學問題，考察學生在新情境下處理數學問題的能力。

例2.魯班鎖是我們古代的益智玩具，是漢代第一次在所謂的建筑結構中出現的榫卯結構。從外面看，這是一個完全對稱的立體圖形。從外部來看，六個等長的長方體被分為三組，兩兩垂直。在圖中，如果長方體的高度是8，而底部的方形的邊長是2，則將魯班鎖現在放在球形容器中，球容器的最小表面面積是（ ）（容器壁厚度可不計算在內）。

A.21π B.40π C.41π D.84π

點評：本題以古代工具魯班鎖為背景，考察球體表面積問題。新情境蘊含老問題。

例3.中國古代建筑用榫頭，卯眼連接木構件。如下圖有凸出部分的稱之為榫頭，相對應的帶有凹進部分的叫卯眼，則下圖的木質結構可以結合成一個長方體的卯眼的木構件的俯視圖可以是（ ）。

點評：以古代建筑為背景，考察了學生的空間想象能力

A.1 B.2 C.3 D.4

點評：試題以《九章算術》中研究立體幾何所用的兩個特殊椎體（陽馬，鱉懦）為背景，給予新定義，增添了試題的新穎性。但其實質仍然考察了線面垂直，面面垂直等基本幾何問題。

感悟：以上例題通過古典建筑，榫卯結構，陽馬，鱉臑，印信等有關古代文化的物體作為背景，通過現賣情境，讓學生感受數學文化的博大精深，在文化中學習數學，在數學中體會中國文化。

三、巧妙使用長方體模型

長方體是特殊的六面體，是眾多幾何體的基本結構，其特殊性在于其擁有非常好的對稱性，各點、線、面元素之間具有相等，平行，垂直等特殊的數量和位置關系，內涵豐富，是研究線面關系，線線關系，面面關系特殊幾何體的一個重要載體。在處理某些復雜立體幾何問題時，若能根據題意合理、恰當地構造出長方體模型，則可化繁為簡，化難為易，巧妙地將題目解出，收到事半功倍的效果。

例1：正四面體的邊長為2，則其外接球的體積為__。

點評：將正四面體放入正方體體中，此時比較困難的四面體的外接球問題就轉化為正方體外接球問題了。起到了化繁為簡的目的。

例2.是正方形平面，，則與所成角的度數是__。

點評：按照題目要求，構造下圖的正方體，題目迎刃而解。

例3.正四面體S-ABC，如果E，F分別為SC，AB的中點，那么異面直線EF與SA所成的角為__。

點評：此題看似復雜，但只要將四面體放入下圖的正方體中，即可化難為易。

例4.如果四面體的每一個面均是邊長為的全等三角形，那么這個四面體的體積是__。

評論：這個四棱錐的對邊是相等的，因此可以把六條邊作為六個面的對角線來構造一個長方體，四面體的體積問題可以轉化為長方體的體積問題。

例5.正四面體中，是的中點，是棱上的一動點，的最小值為，則該四面體內切球的體積為__。

點評：構造下圖的正方體，建立空間直角坐標系會非常輕松解決這道題目。

感悟：亂花漸欲迷人眼，有時很多復雜的幾何體讓我們無從下手，但靜下心去看出它本質的出處，會發現很多都源于長方體中，所以利用好長方體模型將會為我們的解題帶來很大的方便。

四、結語

立體幾何中存在的教學內容屬于高中數學教學中的難點和重點，并且對學生未來發展具有重要意義。所以我們在教學中應盡力激發學生學習立體幾何的興趣，培養學生的空間想象能力、作圖能力，為學生后續的學習工作奠定基礎。