核心素養視角下反證法解題思路研究

胡昊宇 張志平

[摘? 要] 反證法是數學證明的方法之一，解題過程遵循否定之否定規律和事物之間的矛盾規律. 文章以核心素養為切入點，通過對一些技巧性較強的奧賽題進行解題分析，培養中學生的數學解題能力，提高其數學核心素養.

[關鍵詞] 反證法;核心素養;解題研究

■核心素養視角下的反證法相關理論探究

對于一些難以使用分析法直接去證明的思考題（若p成立，證明q），可以考慮不用直接去證明它，而是將命題q進行否定并把q作為前提，并加入原命題中，通過推理得出與所給條件或相關定理、定義相互矛盾的單個或者若干個結論，從而證明出原命題成立的一種解題思路，這就是反證法.這種方法對培養學生的邏輯推理能力有很大幫助，在學生的數學學習中有重要的意義.邏輯推理能力強的學生在相關證明題中表現更游刃有余，掌握相關數學問題的解題方法將會更迅速.邏輯推理素養的提高還有助于培養學生的生活應變能力，學生在將來的工作、生活中會遇到更多復雜多變的難題，良好的邏輯推理能力將會幫助他們靈活處理這些問題，有助于難題的解決.

證明逆否命題，就是在使用反證法，這是反證法的第一種形式，就是假設命題q，通過一系列的推理推出了與命題p矛盾，即q→p，但是用反證法并不一定就是在證明逆否命題，這是因為反證法的解題方式并不固定，反證法有多種解題形式，第二種形式是把q作為前提，與已知前提p相結合推出p（與p相矛盾）.第三種形式應用難度較大，是把q作為前提，與已知前提p相結合推出兩個自相矛盾的結論. 第四種形式是以q為前提與p相結合推出一個與公理、定理以及已知真命題相矛盾的結論. 第五種形式是把q與原命題前提中的p相結合推出與原命題p中的p′相矛盾的命題■.

五種形式的解題思路：

1.？搖假設q不成立，直接推理之后得到的結論與p相矛盾.

2.？搖假設q不成立，結合p之后推出的結論與p矛盾.

3.？搖假設q不成立，結合命題p之后推出了兩個自相矛盾的結論.

4.？搖假設q不成立，結合命題p推出的結論與已有的正確結論矛盾.

5.？搖假設q不成立，結合命題p推出的結論與命題p的一部分p′矛盾.

■核心素養視角下的反證法數學解題研究

例1：△ABC和△A′BC有公共邊BC，且A′C+A′B>AB+AC，

求證：A′一定在△ABC的外部.

證明：假設A′不在△ABC的外部，這時A′會在△ABC上或者在其內部，當A′在△ABC上時，假設A′是AC邊上的任意一點，畫出相應的幾何圖形（如圖1）.

如圖1所示，若A′在AC邊上，則AB+AA′>A′B，所以有：AB+AA′+A′C>A′B+A′C，即A′B+A′C

同理可證出A′也不可能在AB，BC邊上.

當A′在三角形內部時，設A′在三角形內部的任意一點，畫出相應的幾何圖形（如圖2所示）.

延長BA′交AC于D，則AB+AD+DC>A′B+A′D+DC>A′B+A′C，所以有：AB+AC>A′C+A′B（與已知條件矛盾），因此A′也不在三角形內部.

思路分析：本題采用了第二種形式的反證法，與窮舉法相結合，分兩種否定的情況，結合“△ABC和△ABC′有公共邊BC”這個條件將假設一一推翻. 本題由于沒給出相應的幾何圖，學生只能通過繪圖并進行觀察，將反證法和“三角形的兩邊之和大于第三邊”概念相結合.本題的技巧性和綜合性較強，有利于培養學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和直觀想象素養.

例2：△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證：B<90°.

證明：假設B≥90°，則a，b，c中b最大，則■，■，■中■最小，所以有：■-■>0，■-■<0，顯然■-■≠■-■，三角形三邊的倒數不成等差數列，與題干矛盾，命題得證.

思路分析：本題采用了第一種形式的反證法，直接通過證明逆否命題從而證明原命題成立，培養學生的邏輯推理素養和數學運算素養.

例3：已知a，b，c為實數，滿足a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.

證明：本題的解法與例1類似，需要使用窮舉法將所有假設條件一一推翻.

（1）假設a=0，則b+c>0且bc>0，但abc=0，與題干中的abc>0相矛盾，所以a≠0.

（2）假設a<0，根據已知條件，bc<0，b+c>-a？圯b+c>0，

由題a（b+c）+bc>0，得到：b+c<-■<0（推出了兩個自相矛盾的條件），所以a>0.

思路分析：本題使用了反證法解題思路的第三種，有利于培養學生的邏輯推理素養和數學運算素養.

例4：設二次函數f（x）=x2+px+q，求證：f（1），f（2），f（3）中至少有一個不小于■.

證明：假設f（1），f（2），f（3）均小于■，則有

f（1）+2f（2）+f（3）<2（1），

f（1）+2f（2）+f（3）≥f（1）-2f（2）+f（3）=（1+p+q）-2（4+2p+q）+（9+3p+q）=2（2），

顯然（2）式與（1）式相矛盾，推出（2）式與假設矛盾，所以原命題成立.

思路分析：本題難度不大，運用了反證法的第三種形式. 但學生在假設之后需要反復地對假設和題干進行觀察和計算，與絕對值不等式相結合，建立的不等式需要大于某個定值.因此學生需要對恒等式進行變換和計算之后得出某個定值，最終實現解題的目的. 需要學生有較為靈活的數學思維和敏銳的觀察力，對學生的數學抽象素養和數學運算素養是一個很大的考驗.

例5：設f（x）和g（x）是定義在[0，1]上的函數，求證：？堝x■，y■滿足0≤x■≤1，0≤y■≤1，有x■y■-f（x■）-g（y■）≥■.

證明：假設對？坌x■，y■∈[0，1]，都有

x■y■-f（x■）-g（y■）<■，

取x■=0，y■=0，有0-f（0）-g（0）<■;

取x■=0，y■=1，有0-f（0）-g（1）<■;

取x■=1，y■=0，有0-f（1）-g（0）<■;

取x■=1，y■=1，有1-f（1）-g（1）<■，

并且由絕對值不等式：

1=[1-f（1）-g（1）]-[0-f（1）-g（0）]-[0-f（0）-g（1）]+[0-f（0）-g（0）]

≤1-f（1）-g（1）+0-f（1）-g（0）+0-f（0）-g（1）+0-f（0）-g（0）<4×■=1（推出了自相矛盾的命題），因此原命題得證.

思路分析：本題采用了第三種形式的反證法，具有一定的技巧性，考查了學生對絕對值不等式的靈活運用程度.學生在本題中除了需要將第三種反證法和絕對值不等式相關知識結合運用以外，還需要采用特值法、構造法. 本題培養了學生的邏輯推理、數學抽象素養.

■小結

使用反證法的習題難度較大，學生需要綜合性地運用相關數學知識，熟練掌握反證法的五種形式. 反證法的解題往往要求學生具有較強的邏輯推理能力，將所學的基礎數學知識抽象出來并加以靈活運用，并結合反證法的解題思路從而達到解決一些技巧性較強的問題的目的. 學生在參加奧數競賽時若碰到一些無法直接證明的考題時，可以考慮使用反證法，通過對題干的不斷觀察和反復思考，找出考題和知識之間的聯系，最終達到解決問題的目的. 反證法一般適用于：直接證明無從著手的問題;由部分推整體的問題;所證結論范圍較大的問題.