課堂教學中要重視直觀想象素養的落實

王莎莎

[摘? 要] 高中數學課堂教學的最終目標指向是提升學生的數學核心素養，如何能將這一目標落實到日常課堂教學中，是高中教師面臨的重大課題，不同的數學分支對學生數學核心素養提升的側重點會有差異. 文章重點闡述了對“直觀想象素養”的理解，并通過“基本不等式”第一課時的教學設計為例說明如何在課堂教學中有效落實直觀想象素養.

[關鍵詞] 幾何直觀;空間想象;直觀想象素養;課堂教學

高中數學學科核心素養主要包含以下六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析. 這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體. “直觀想象”是由兩個詞“直觀”與“想象”組合而成的，在以前的大綱中它們分別是“幾何直觀”與“空間想象”的簡稱. 它們既相互獨立又存在一定的關系，從思維過程順序看，應該“直觀”在前，“想象”在后.那么這兩者究竟存在什么樣的關系？兩個詞合成一個詞后又有什么內涵的變化？如何在教學中落實“直觀想象”素養？這些都是我們應該理清的基本問題.

■何為直觀想象

1. 直觀與幾何直觀

數學家克萊因認為“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”;而西方哲學家通常認為“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”;心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”.

徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是將相對復雜、抽象的問題“圖形化”，利用圖形描述問題，進而借助圖形分析、解決問題.

上述可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢，直觀的對象不一定是幾何圖形，而幾何直觀則注重對幾何圖形的感知.

2. 想象與空間想象

普通心理學解釋：想象是人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程. “想象”并不是憑空生成的思維能力，比如先天聾啞人就不太可能想象出動聽的音樂.

空間想象則是以現實世界為背景，基于對幾何圖形的運動、變換和位置關系的把握，對事物的幾何表象進行加工、改造，甚至去創造新的空間想象.

由此可見，想象這一心理過程所形成的新形象也并不一定是空間圖形，而空間想象所形成的新形象就是空間圖形.

3. 核心素養中的直觀想象

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中對“直觀想象”核心素養的界定：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養. 主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系，形態變化與運動規律;利用圖形描述，分析數學問題;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路. ”■[1]

通過對上述三個名詞“直觀”“想象”“直觀想象”比較分析，筆者對新課標提出的直觀想象這一核心素養形成以下幾點認識：

（1）直觀想象是對幾何直觀、空間想象的融合與發展.分解開來，直觀屬于認識過程，想象屬于認識方法;聯系來看，想象可建立在直觀的基礎之上，視為直觀的延伸，在直觀后想象，通過想象能更好地提升對事物的認識，二者結合為一個連續性的整體.

（2）直觀想象的內涵更為豐富，不再局限于幾何圖形，函數、向量、數列、不等式等問題都可以作為直觀的對象、想象的素材.例如，“糖水加糖，糖水會變甜”，在這個實際問題中可以帶給學生一直觀想象，那就是當一個量在增大時，另一個量也會隨之增大，從函數的性質來看就是函數單調遞增. “如何用函數的性質表示這一現象”就是一個直觀想象的過程■[2]. 同時，這個糖水濃度問題也很形象地證明了不等式■<■（a>0，b>0，c>0），從生活實際問題這一現象中抽象出數學不等式，這也是直觀想象的過程.

（3）直觀想象的目標要求更高，在能力方面它指向數形結合、幾何直觀、空間想象等三個能力;在意識方面它強調運用直觀的手段以及借助直觀展開想象去思考問題;在感悟事物方面，能借助數學直觀，依托情境去感悟事物的本質.

■為何要重視直觀想象素養的培養

（1）直觀想象素養具有很高的學科價值和育人價值. 2017年版的新課標指出直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.在數學教學活動中，重視直觀想象核心素養的培養，有助于學生提升自我觀察發現的能力與數形結合的能力，有助于學生發展幾何直觀和空間想象能力;能更好地增強學生運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，提升在具體的情境中感悟事物的本質的能力.

（2）直觀想象在數學學科核心素養體系中具有重要的地位，它與其他數學學科核心素養密不可分. 例如，在復雜的情境中發現和解決實際問題，通常需要通過直觀想象對問題進行分析，探尋問題的實質，再通過數學抽象或數學建模將其轉化為數學問題;在進行復雜的邏輯推理或數學運算中，需要通過直觀想象來理清邏輯推理或數學運算的思路，探尋研究的方法與路徑，將復雜的問題簡單化;在進行大數據分析時，也需要通過直觀想象將數據圖表化，并利用圖表和相關的統計方法對數據進行分析和處理■[3].

■如何在數學課堂中培養直觀想象素養

史寧中教授在一文中說道：“數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理，也就是說，在大多數的情況下，數學的結果是‘看出來的而不是‘證出來的，所謂‘看是一種直覺判斷，這種直覺判斷建立在長期的有效的觀察和思考的基礎上. 直觀感知的能力是先天的，但一個好的直觀感知能力的養成卻是依賴于經驗的.”■[4]史寧中教授在另一文中也指出：“直觀不是‘教出來的，而是自己‘悟出來的，這就需要經驗積累.”■[5]這些見解，對我們培養學生的直觀想象這一核心素養有很好的指導意義.

師：很好，這位同學通過觀察式子結構聯想到等差數列與等比數列，于是基本不等式又可以描述為兩個正數的等差中項不小于等比中項. 剛才生1看出■是a，b的算術平均數，但不知道■有什么含義，老師今天告訴大家，■叫作a，b的幾何平均數，因此基本不等式可以描述為兩個正數的算術平均數不小于幾何平均數. （為什么叫幾何平均數？稍后做解釋）

此時教師跟著在黑板上板演：

a，_____，b ■ a，■，b

a，_____，b ■ a，■，b

師：剛才同學們從數的角度對■，■與a，b的關系做了很好的解讀，請大家再觀察■，■與a，b，你還能從其他數學角度作更多的想象嗎？

生3：既然可以理解為等差數列與等比數列，那么應該可以利用等差數列、等比數列的圖像性質來刻畫它們的關系.

生4：我們平常用字母a，b來表示線段，是不是可以用線段的長度來刻畫它們呢？

師：這兩位同學的想象力非常好，能夠用數學的方式作更多的聯想，剛才幾位同學聯想的主要有兩個角度：（1）數列的圖像;（2）幾何線段. 前面我們利用面積這個幾何關系推導得到了基本不等式，這樣一來同學們就賦予了基本不等式更多的幾何背景.下面分組討論，分別從數列、線段的角度通過構造證明基本不等式.

小組1：如圖5，AB=a，CD=b，E是AC的中點，則EF=■，EG=■，由數列圖像得EF≥EG，即■≥■（a>0，b>0）.

小組2：如圖6，AC=a，BC=b，以AB為直徑作圓，過C作AB的垂線交圓于D，E兩點. 由相似可得CD=■，而OD=■，由圖得OD≥CD，所以■≥■（a>0，b>0）.

師：兩個小組都從各自的角度通過分析構造，得到了基本不等式■≥■（a>0，b>0）. 從圖6我們可以看到■所表示的幾何線段，這就是它為什么叫幾何平均數的緣由.下面哪位同學能把今天這節課的內容作簡要的梳理，我們從哪些角度認知了這個不等式？

生5：首先我們從圖形的面積角度得到了兩個不等式，然后又從數的運算以及等差數列、等比數列兩個角度解讀了基本不等式，最后又從指數函數圖像與一次函數圖像以及圓中的弦與直徑的關系解釋了基本不等式.

師：非常好，就代數層面而言，它涉及兩個正數的運算，即通過加、乘、乘方、開方等運算產生的不等關系，也是兩個正數等差中項與等比中項的大小關系. 從幾何角度審視，可以進行如下理解：在周長相等的矩形中，正方形的面積最大;在以a+b為斜邊的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長;在同一個圓中，弦長不大于直徑，等等. 還有很多視角、很多知識與基本不等式有著前世今生的緣分，它是很多重要的數學概念和性質的認識基礎，小小一個不等式，可以貫通代數、幾何等知識，而且不等式中涉及的是代數、幾何中的“基本量”.正因此，不等式■≥■（a>0，b>0）被稱為“基本不等式”.

設計意圖：從形的直觀中聯想到數量的關系，再由數之關系聯想到形的結構形態，讓學生不斷在直觀中發揮想象，在想象中提高對基本不等式的認識與“悟”性，收獲經驗.教師設計恰當的情境引導學生從不同角度來探究學習，這不僅讓學生對基本不等式知識的本質有更深刻的認識，提升數形結合的能力，更能領略到數學知識的前后相互聯系與本身的內在幾何背景，提升直觀想象素養.

■結束語

直觀想象素養的培養與形成不是一蹴而就、立竿見影的，某種意義上來說，核心素養并不是教師教出來的，它一定是學生在數學知識的學習過程中、在數學定理的探究過程中、在數學問題的發現與解決過程中逐步養成的，親身經歷、慢慢去體會、慢慢去“悟”和“養”是素養提升的必要條件. 優秀的數學課堂教學要在創設合適情境上下功夫，在指導學生如何觀察數學對象上動腦筋，在學生發現問題、提出問題上作引導，在學生自主探究過程中盡量放手，在學生研討活動中平等參與. 因此需要教師不斷在實踐中上下求索，不斷改進、優化課堂教學，把培養學生直觀想象素養落實在教學的每個環節中.？搖？搖

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部制訂. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 金玉明. 例談直觀想象能力[J]. 新課程（下），2016（11）.

[3]? 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 高等教育出版社，2018.

[4]? 史寧中. 數學的抽象[J]. 東北師大學報（哲學社會科學版），2008（05）.

[5]? 史寧中. 數學的基本思想[J]. 數學通報，2011（01）.