教學探討：解題教學中的過程設計方略

申曉華

[摘? 要] 解析幾何問題的教學需要重視過程引導、教學反思，幫助學生掌握解題思路的構建過程，積累相應的解題經驗，形成類型問題的解題策略. 文章將以一道解析幾何綜合題為例，開展過程講評、教學重點探討，并探究教學微設計，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 解析幾何;教學;定點;向量積;過程;思維

解析幾何是高中數學的重難點內容，高考常以其為基礎命制綜合題考查學生對知識的掌握情況，運算和推理能力. 解析幾何問題的求解過程需要用全面的、聯系的觀點來處理，整體把握問題、構建解題思路規范作答. 往往學生規避解題障礙，處理關鍵點的能力有所欠缺，因此在教學中需要教師注意解題引導，重視回顧反思. 下面以一道解析幾何定點問題為例，進行解題教學探討.

■解析幾何綜合題的講評過程

1. 問題呈現

（2020屆湖北高三教研卷）如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成. 已知曲線C1和C2的公共點為A，B，橢圓C1的離心率為■，回答下列問題：

（1）試求a和b的值;

（2）直線l過點B，與曲線C1和C2的交點分別為P，Q（兩點均異于A，B），分析是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過點A？如果存在，請求出直線l的方程;如果不存在，請說明理由.

2. 講評過程

考點定位：問題主要考查圓錐曲線內容，涉及橢圓、拋物線、直線相交、圓等. 第一問為常規的解析式求解，第二問為解析幾何定點問題.

思路及過程：

（1）該問可根據頂點定義求解，在C2的方程中，令y=0，即可確定b的值及A和B的坐標，聯合離心率及參數關系即可求出a的值.

對于C2的方程y=-x2+1（y≤0），令y=0，可得x=±1，則b=1，點A和B的坐標分別為（-1，0）和（1，0）. 設C1的半焦距為c，由橢圓的離心率■=■，又a2-c2=b2=1，可解得a=2. 綜上可知，a=2，b=1.

（2）該問分析以PQ為直徑的圓是否恰好過點A，采用“假設→驗證”的策略. 假設這樣的圓過點A，則點A位于以PQ為直徑的圓上，結合圓的直徑所對的圓周角是直角可知AP⊥AQ，再根據垂直與向量積的關系可知■·■=0，后續聯立橢圓與直線的方程，通過“舍而不求”求得直線PQ的斜率即可.

由（1）問可知，上半橢圓C1的方程為■+x2=1（y≥0）. 由題意可知，直線l不與x軸重合或垂直，可設其斜率為k，則表達式為y=k（x-1） （k≠0），與橢圓的方程聯立■+x2=1，y=k（x-1），？搖整理可得（k2+4）x2-2k2x+k2-4=0 ①. 設點P的坐標為（xp，yp），由于點B是橢圓與直線l的一個交點，故x=1是方程①的一個根，由根與系數的關系可解得xp=■，則yp=■，所以點P的坐標為■，■. 聯立直線l與拋物線的方程，同理可得點Q的坐標為（-k-1，-k2-2k），所以向量■=■（k，-4），■= -k（1，k+2）. 因為AP⊥AQ，則■·■=0，即■[k-4（k+2）]=0. 因為k≠0，所以k-4（k+2）=0，解得k=-■. 經驗證，k=-■符合題意，所以直線l的方程為y= -■（x-1）.

■解析幾何問題的教學重點

上述所呈現的是一道解析幾何問題的講評過程，在實際解題過程中需要及時提示學生問題中的解題障礙，引導學生處理問題難點. 例題第二問的探究過定點是核心之問，教學中要注意以下內容.

1. 障礙提示

第二問實則就是曲線與直線的相交問題，一般采用聯立方程的方式解析，解題教學中需要對其中的三點障礙做出提示：①點P和點Q是關鍵點，需要分別聯立直線l與橢圓、拋物線的方程來獲得其坐標，常用方法是“設而不求”，但若不能注意到點B坐標的x值是對應聯立方程的一個根，而直接利用韋達定理轉化則會增大計算量;②該問是探究以PQ為直徑的圓恰好過點A，解題教學需要提示學生從中轉化出對應的幾何條件AP⊥AQ;③后續需要串聯起幾何條件與函數解析式，故教學中需提示學生由■·■=0來體現條件AP⊥AQ，避免陷入推理誤區，造成運算繁雜且重復.

2. 關鍵點處理

解析幾何綜合題的推理過程存在一定的難度，對于上述探究論證性問題，一般采用假設驗證的策略，但在教學中還需引導學生分析問題的關鍵點，采用合理的方法處理. 第二問中主要有兩個關鍵點需要處理，具體如下：①求解直線l的方程，但沒有設定直線的斜率，教學中需要引導學生討論直線的斜率，排除直線l與x軸重合或垂直的情形，聯系點B的坐標直接設定為y=k（x-1）;②求解時提取了兩線垂直，得到AP⊥AQ，而條件坐標化的關鍵是對其幾何性質的轉化，教學中可引入向量積為零，從而聯系曲線相交所確定的關鍵點的坐標.

■基于解析幾何問題的教學微設計

解析幾何問題的綜合性極強，以上述問題為例，需要處理其中的幾大關鍵點，包括討論直線l的斜率、轉化兩線垂直條件、變形為向量積等，但學生理解時依然存在一定的難度. 為幫助學生構建解析思維，有必要對問題進行拆解轉化，采用教學微設計的方式，合理設問，引導學生思考，同時合理變形，提升學生的思維.

環節一：基礎鞏固，理解題意

問題：如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C1：■+x2=1（y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，已知曲線C1和C2的公共點為A，B.

設問：（1）試求上半軸橢圓C1的離心率;（2）試求點A，B的坐標.

教學引導：引導學生回顧橢圓的基本概念，強化離心率的定義，從橢圓方程和拋物線方程兩大方向求解點A，B的坐標，點A，B既為橢圓的左、右頂點，也為拋物線與x軸的交點.

環節二：拾級而上，問題深入

在環節一的基礎上，添加如下條件：過點B的直線l與曲線C相交于點P，Q（兩點均異于A，B）.

設問：（1）討論直線l的斜率是否存在;（2）若直線l的斜率為k，用含k的參數表示點P，Q的坐標.

教學引導：（1）直線l與曲線C有兩個交點，且異于A，B，顯然其斜率k≠0;若其斜率不存在，則直線l垂直于x軸，與曲線的交點不滿足條件，顯然其斜率必然存在，且不與x軸重合或垂直. （2）引導學生設定直線l：y=k（x-1） （k≠0），分別聯立直線l與曲線C1，C2的方程，并整理出含參數k的關于x的一元二次方程，同時引導學生注意點B坐標的x值為對應聯立方程的一個解，從而簡化求出點P，Q的坐標.

環節三：深入探究，定點論證

在上述基礎上進行定點問題探究論證，進行如下設問：分析以PQ長為直徑的圓是否經過定點A，若經過請求出k的值.

教學引導：引導學生從中提取出AP⊥AQ，并結合向量轉化為■·■=0，從而代入點的坐標構建相應的方程，求解并驗證k的值.

環節四：拓展變式，思維提升

完成上述環節探究后，學生對解題過程有了初步的了解，基本掌握了相應的解法，則教學中有必要對其適度拓展，提升學生的思維.

變式問題：如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C■：■+x2=1（y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，已知曲線C1和C2的公共點為A，B. 直線l過點B，與曲線C1和C2的交點分別為P，Q（兩點均異于A，B），試分析△APQ的面積為6時，直線l的方程.

教學引導：教學中引導學生構建△APQ的面積模型，利用x軸將其分割為△ABP和△ABQ兩部分，構建模型S△APQ=S△ABP+S△ABQ=■OB·yP-yQ=6，從而將其轉化為含有k的方程，完成求解.

■關于解題教學的進一步思考

1. 注重過程引導，基礎強化鞏固

解題教學實則就是過程教學，需要從讀題出發，形成相應的解題思路，故教學中需要注重解題的讀題審題、條件轉化、運算推理、結果驗證等過程，學生在理解分析過程后才能充分掌握考題的構建思路. 往往解析幾何問題所涉及的知識內容較多，在過程教學中要適時引導學生回顧概念定義，從教材內容出發來探究問題，幫助學生鞏固基礎，強化知識應用;同時可以引導學生結合考題歸納常見考點，整合教材知識，形成基本備考策略.

2. 重視解后反思，拓展解題思維

解后反思是解題教學的重要環節，在該環節中需要引導學生反思問題特點、解題方法、突破關鍵、過程優化，從而形成類型問題的解題策略;同時適度變式問題，引導學生思考可能存在的變式方向，拓展學生的解題思維. 通過重新回顧考題，學生的思維將從基本的“表象解題”上升到深層的“思想解題”，從而從思想層面提升學生的解題能力. 解后反思教學環節可靈活設計，可借助教學微設計、一題多題、一題多變等形式開展，使學生的思維在多樣的探究活動中獲得升華.