基于分割法探究四面體體積的新方法

滕旭

[摘? 要] 四面體體積計算是研究四面體的基本問題，文章基于分割法推導出了四面體的一個新的體積公式，并由推出的體積公式推導出了傳統體積公式及三面角的特征值.

[關鍵詞] 四面體;分割法;體積公式

■四面體中的元素及其表示

四面體為空間圖形（如圖1所示），因此其元素的形式比三角形的元素復雜得多，研究四面體的體積須明確其元素及表示.

1. 角

四面體中的角包括空間角和平面角，空間角包括三面角、二面角及棱面角三種，平面角指的是每個面（三角形）的內角，只有一種.

（1）三面角

四面體中的一個頂點及由該頂點出發的三條棱構成其一個三面角，四面體中共四個三面角，記作：A-BCD，B-ACD等.

（2）二面角

四面體中的一條棱及由該棱出發的兩個面構成其一個二面角，四面體中共四個二面角，記作：A-BC-D，B-AC-D等.

（3）棱面角

四面體中的一條棱及與該棱相交的面構成棱面角，四面體中共八個棱面角，記作：AB-ACD，AB-BCD等.

（4）平面角

四面體中的面（三角形）的內角稱為四面體的平面角，四面體共十二個平面角，記作：∠ABC，∠ACD等.

2. 棱

四面體中共十二條棱記作：AB，AC等.

3. 面

四面體中四個面記作：△ABC，△ABD等.

■分割法

1. 分割法求四面體體積的一般方法[1-5]

文獻[1-5]在推導四面體的體積時均采用將四面體從平行六面體中分割出來進行計算，而計算平行六面體的體積則采用向量的混合積.

2. 分割法求四面體體積的新的方法

（1）已知二面角棱長及兩個面的面積求體積

在四面體ABCD中，已知二面角A-BC-D，棱BC及兩個面△ABC，△BCD的面積d，a. △ABC在BC邊上的高為■為定值，所以A點在過A點BC的平行線上，同理D點在過D點BC的平行線上，現以三條平行線為側棱，BC為高構造直三棱柱，如圖2所示.

三棱柱的體積為：V=S·h=■·■·■sinA-BC-D·BC=2■sinA-BC-D，

所以四面體的體積為V■=■V=■·■sinA-BC-D.

■其他計算四面體體積的公式

1. 已知三面角及三條棱棱長求體積

在四面體ABCD中，已知三面角A-BCD，棱AC，AB，AD.

由2.2.1知：四面體的體積為V■=■·■sinC-AB-D，其中c=S△ABD=■·AB·AD·sin∠BAD，d=S△ABC=■·AB·AC·sin∠BAC，所以V■=■·■·■sinC-AB-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠BAC·sinC-AB-D;

同理：V■=■AB·AC·AD·sin∠BAC·sin∠CADsinB-AC-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C.

根據上述三個體積公式可知，對三面角A-BCD總有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsin∠CAD·sinB-AC-D=sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C？搖=sin∠BACsin∠BADsinC-AB-D？圯T■（A-BCD）=sin∠BACsinB-AC-DsinC-AB-D=sin∠BADsinB-AD-CsinC-AB-D=sin∠CADsinB-AD-CsinB-AC-D

分別稱T■（A-BCD），T■（A-BCD）為三面角A-BCD的特征值1和特征值2[6-7].

2. 已知棱面角及三條棱棱長求體積

在四面體ABCD中，已知棱面角AB-ACD，棱AC，AB，AD.

設四面體在面ACD上的高為H，則H=AB·sinAB-BCD，

所以，四面體的體積為V■=■·S△ACD·H=■·■·AC·AD·sin∠CAD·（AB·sinAB-ACD）？搖=■AC·AD·AB·sin∠CADsinAB-ACD

同理：

V■=■AC·AD·ABsin∠BAC·sinAD-ABC？搖=■AC·AD·ABsin∠BAD·sinAC-ABD

根據上述三個體積公式可知，對三面角A-BCD總有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsinAD-ABC=sin∠BADsinAC-ABD？搖=sin∠CADsinAB-ACD

3. 已知六條棱棱長求體積

除了上述已知角和棱長求四面體的體積，還可以通過六條棱長l■，l■，l■，l■，l■，l■求體積■.

若l■，l■，l■為同一面上的三條棱且其對棱分別是l■，l■，l■，則四面體體積為：

V■=■■

其中：

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M=l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■

■總結

四面體體積公式多采用向量的混合積的幾何意義進行推導，運算比較復雜，本文通過三棱柱分割法簡化了四面體體積公式的推導，并對四面體體積計算的方法進行了系統的總結.

參考文獻：

[1]? 楊世國.向量在幾何中的應用[J]. 數學的實踐與認識，2006，36（9）.

[2]? 陶興模. 四面體的一個體積公式及應用[J]. 數學教學通訊：中學生版高三卷， 2000（1）.

[3]? 蔡樹松. 四面體的一個體積公式及其應用[J]. 中學數學月刊，2002（6）.

[4]? 胡仕華.四面體的一個體積公式[J]. 中學數學教學，2004（3）.

[5]? 四面體的一個體積定理的證明和應用[J]. 數學通訊，1996（3）.

[6]? 王永洪. 四面體的正余弦公式及體積公式[J]. 中學數學，2010（1）.

[7]? 劉毅. 四面體的另一種空間角的正弦定理[J]. 數學通訊，1997（7）.

[8]? 戴翔天. 已知四面體的條棱長求體積公式[J]. 中學教研（數學），1992（11）.