思辨圓融，學生數學思維生長的新路徑

張軍

摘? 要：“思辨性思維”是一種高階思維、高階認知能力，具有深刻性、縝密性和靈活性等特性。在數學教學中，教師要聚焦主要矛盾、注重方法啟迪、積極反饋評價，從而不斷激發學生的思辨意識，培育學生的思辨能力，優化學生的思辨品質。思辨圓融是學生數學思維生長的新路徑。

關鍵詞：小學數學;數學思維;思辨圓融

數學學科從本質上看有兩個作用：其一是發展學生的思維;其二是引導學生應用。發展學生的數學思維，教師往往注重其抽象性、邏輯性、嚴謹性等特質，而忽視了思辨性。具體表現為學生的思辨意識淡薄、思辨能力薄弱、思辨應用僵化等，表現為學生的思維片面、固化、隨意等。培養學生的思辨意識、思辨能力，提升學生的思辨品質有兩個方面的要求：其一是“思”的意識、能力，其二是“辨”的意識、能力。只有讓學生在數學學習中“思”“辨”圓融、共生，才能發展學生的高階思維、高階認知能力。思辨圓融是學生數學思維生長的新路徑。

■一、思辨圓融：“思辨性思維”的內涵及其特質

將思辨圓融放置于數學學科視角下進行考量，可以基于不同的視角。基于思維的視角，思辨圓融涉及學生的數學思考、分析、推理、判斷等數學化、形式化的思維活動;基于心理學視角，思辨圓融是指學生能進行多維度、整體的、宏觀的學習，能超越一般性的邏輯思維、抽象思維，有一種辯證性的意味;基于問題解決的視角，思辨圓融是指學生能主動地進行問題觀察、發現、分析、思考并解決的過程;基于發生學視角，思辨圓融不僅是從“未知”到“已知”的過程，更是從“已知”到“未知”的過程，等等。思辨圓融是一種高層次的、高階的思維能力。

1. 深刻性

相比較于其他的思維，思辨性思維更具有深刻性。在數學教學中，教師不僅僅要引導學生“思考”，更要引導學生“辨析”，還要催生學生“周巧”。只有將“思考”“辨析”結合起來、圓融起來，才能真正地讓學生抵達“思辨圓融”“思辨共生”的學習樣態。比如教學“圓的認識”，對于“圓有無數條半徑”“圓有無數條直徑”，許多教師總是通過引導學生進行實驗，比如通過折圓的折痕、畫圓的直徑等來證明。但試問“折痕真的有無數條嗎？”“在圓內真的可以畫無數條直徑嗎？”這里，其實就為學生的思辨提供了素材、載體、契機。教學匯總，教師可以引導學生思辨：“圓周上有多少個點？所以圓有多少條直徑？”“圓的一條直徑可以在圓內旋轉多少次？所以圓有多少條直徑？”通過思辨，學生的數學學習走向深刻。

2. 縝密性

較之于其他思維，思辨性思維更具縝密性。思辨性思維的視角往往更開闊，向度更多元。學生通過思辨，能更全面、更深刻地考量思辨對象，通過思維比較、思維分析、思維綜合等，對數學問題的主要矛盾以及矛盾的主要方面做出基本判斷，做出科學的抉擇、決策等。比如教學“因數和倍數”（蘇教版五年級下冊）這一部分內容，教師就必須引導學生對諸多命題作正向、逆向、多向的思辨。如“質因數”這一概念，不僅僅是一個“實體性概念”，更是一個“關系性概念”。說它是一個實體性概念，主要是因為“質因數”本身首先必須是一個質數，或者說是素數;說它是一個關系性概念，主要是因為“質因數”一定是“另一個數的因數”。換言之，“質因數”表征的是兩個數之間的關系，是“一個數的因數中的質數”。對“質因數”概念的咀嚼、思辨，有助于學生深刻理解“質因數”的概念本質。

3. 靈活性

思辨性思維是靈活的、靈動的，它不僅僅對事實、知識等進行正面思辨，更進行反面思辨、對比思辨、引申思辨、分層思辨、類別思辨等。思辨的固著點不固化，而是擁有一種“思維轉換的想象力”，擁有“使熟悉知識陌生化的洞察力”，等等。比如教學“分數的初步認識（一）”，筆者從引導學生思辨分數“二分之一”開始。通過思辨性問題“你見過半個東西嗎？”激活學生已有的知識經驗;通過思辨性問題“半個與小半個、大半個有怎樣的不同？”激活學生對平均分的概念的理解;通過思辨性問題“一半和半個是同一回事嗎？”讓學生感悟分數的二重意義，即“分率意義”和“具體數量意義”;通過思辨性問題“半個和一半在生活中是怎樣表達的？”讓學生建立單位“1”的概念，等等。思辨性考量，能讓學生真正領悟數學的真諦。

■二、思辨圓融：“思辨性思維”教學策略

一般來說，邏輯的、理性的、演繹的思維是學生數學學習、創新的“主力部隊”，為學生的數學學習提供支撐、鋪墊;而非邏輯、非理性、直覺的思維則是學生數學學習、創新的“特種部隊”，能為學生數學學習攻堅克難、多元創新。在數學教學中，思辨圓融，就是要讓學生的自主思辨與他主思辨圓融共生，針對性思辨與拓展性思辨共生，隱性思辨與顯現思辨共生，等等。思辨圓融，是數學教學的應然之舉。

1. 聚焦矛盾，激發學生的思辨意識

發展學生的圓融思辨能力，首先要激發學生的思辨意識。在數學學習中，學生會產生許多認知沖突，這些認知沖突一方面是由學生的已有認知與數學新知的失衡、失調引發的;另一方面是由數學知識前后的整合、統整等引發的。作為教師，要善于通過教學聚焦矛盾，包括知識的主要矛盾和矛盾的主要方面。通過聚焦矛盾，能有效地激發學生的認知沖突，讓學生產生思辨意向、思辨意識、思辨沖動。

比如教學“平行四邊形的認識”時，對“平行四邊形的高”這一概念，許多學生容易產生以下一些學習問題，如“不能深刻掌握高的內涵，不會畫高”“沒有認識到平行四邊形可以畫兩種高”“將平行四邊形的兩種高與無數條高的概念相混淆”，等等。基于此，筆者基于學生認知模糊、認知沖突引導學生進行思辨：平行四邊形的高是指什么？平行四邊形有多少條高？有幾組高？如此，引導學生抓住“平行四邊形的兩組對邊分別平行的特征”、抓住“平行四邊形的高的定義”，引導學生聯系“垂直”“距離”“高”等核心概念進行思辨。在思辨中，學生深刻認識到，既然平行四邊形有兩組對邊分別平行，而平行線之間的距離就是高，那么平行四邊形就有兩組高，并且有無數條高。

聚焦矛盾，能讓學生的思辨性思維有抓手。當學生遇到認知沖突之后，聚焦矛盾，引導學生思辨，激發學生產生思辨的內在需求，從而能讓學生主動思辨。思辨意識的養成，能破除學生的思維定式，能破解制約學生思維的瓶頸，從而讓學生的思維不墨守成規、不走“死胡同”。當學生通過主動思辨茅塞頓開、恍然大悟時，學生的數學思維就變得靈動起來。

2. 注重方法，培養學生的思辨能力

數學思辨不是“冥思苦想”，而是有著一定的方法、策略的。注重方法、策略，能有效地培育學生的思辨能力。教學中，教師可以引導學生開展互補式思辨、正反式思辨、爭論式思辨、相應式思辨等。在學生思辨的過程中，教師要注重思辨全局，注重思辨認知，注重思辨批判。通過對學生思辨方法的培育，引導學生有序地思辨，積累、內化學生的思辨經驗。

比如教學“三角形的穩定性”（蘇教版四年級下冊），許多學生根據筆者向他們提供的三根小棒搭建成三角形之后認為，三角形具有穩定性，而平行四邊形容易變形。但也有學生持反對意見，他們將三根小棒的接頭處弄得非常松，三角形也左右搖晃了起來;有學生認為四邊形也具有穩定性，因為將四根小棒的接頭處捆緊，四邊形也不容易搖動，等等。顯然，學生的思維只是停留在概念和知識的表層上。為此，筆者分發給不同小組三根小棒、四根小棒，讓學生拼接三角形和四邊形。通過實驗，學生對“三角形的穩定性”的數學內涵進行思辨：原來“三角形的穩定性”是指“當三根小棒的長度確定了，這個三角形的形狀、大小等也就確定了”。通過方法的啟迪，學生思辨出數學知識的本真內涵。

方法的思辨是一種智慧的思辨。作為教師，要主動引導學生深化對方法的感受、體驗，通過優化思辨方法、思辨方式，讓學生思辨出彩，進而彰顯出思辨的魅力。只有這樣，學生才能真正領悟數學思辨的真諦。

3. 積極反饋，優化學生的思辨品質

圓融性的思辨思維，要求教師要營造思辨氣場，給予學生思辨的自由。在思辨性思維活動中，教師要給學生提供積極的反饋，對學生的思維活動進行評價。通過評價，將理性思維與非理性思維、邏輯思維與直覺思維融通起來，既要讓學生的數學學習遵循一定的程序，同時又不拘泥于邏輯程序，從而不斷地提升學生的數學思維品質。

教學“三角形三邊關系”（蘇教版四年級下冊），筆者引導學生采用實驗的方法進行探究。在實驗的過程中，學生對“三角形兩邊大于第三邊”以及“三角形兩邊小于第三邊”這兩種情況能夠得出信服的結論，即“當兩根小棒的長度大于第三根小棒時，三根小棒能圍成三角形”“當兩根小棒的長度小于第三根小棒時，三根小棒不能圍成三角形”。但是，對于“當兩根小棒的長度等于第三根小棒時，三根小棒能否圍成三角形”則有不同的觀點。在教學過程中，不同的學生基于各自不同的觀點展開思辨。在思辨的過程中，有學生引入了“兩點之間線段最短”這一幾何學公理，從而有力論證了“三角形的三邊關系”。在數學教學中，引導學生進行思辨性思維，能讓學生不同的思維得到相連、相通。這種“互聯”“互通”愈深廣、愈頻繁，學生的思維運行就愈高速，學生的數學學習能力就能獲得越大的提升。

“思辨圓融”“思辨共生”，包括“邏輯思維”與“非邏輯思維”、“理性思維”與“非理性思維”、“直覺思維”與“演繹思維”的圓融，等等。作為教師，要激活學生的思辨因子，彰顯數學學習的思辨魅力，追求數學思辨的靈動與智慧。通過教學，不斷發掘學生的思辨潛質，提升學生的思辨品質，生成學生的思辨智慧。