利用導數工具確定函數分類討論的“界點”

金濤

【摘要】我們利用導數工具求解曲線切線方程、函數單調性、極值、最值以及含參問題時都要確定分類討論的“界點”.本文從三個方面論述上述觀點，解決學生在此方面的困惑，從而達到舉一反三的效果.

【關鍵詞】導數;解決;分類討論的“界點”

導數在函數中的應用較廣泛，通常用來解決求曲線切線方程（或已知曲線切線方程求參數）、函數的單調性、函數的極值 、最值等基礎問題.高考試題常常出現利用導數證明不等式、利用導數解決已知單調區間或極值求參數的取值范圍以及函數零點等問題，并常常滲透著分類討論等數學思想.下面筆者就如何利用導數工具確定函數分類討論的“界點”談幾點方法.

一、根據一元二次函數的二次項系數來確定分類討論的“界點”

導函數中含有二次三項式，需對最高項的系數分類討論：

（1）根據一元二次函數二次項系數是否等于0，判斷該函數為二次函數.

（2）由二次項系數的正負，判斷二次函數圖像的開口方向，從而尋找導數的變號零點.

若不能確定導函數零點是否分布在定義域內，零點將定義域劃分為哪幾個區間，則需要分類討論.本題可根據函數h′（x）的零點a是否在定義域[1，2]內進行討論，然后利用導數的工具性得到函數在給定區間內的單調性，從而得到最值，判斷所求最值與已知條件是否相符，從而得到參數的取值范圍.

總之，導數工具在函數方面的運用很普遍，筆者在平時的教學中也特意引導學生注重對函數的分類討論的“界點”的探究.本文主要從一元二次函數的二次項系數確定分類討論的“界點”;二次函數的判別式確定分類討論的“界點”;導函數零點的大小確定分類討論的“界點”;導函數零點與定義域的關系確定分類討論的“界點”這四方面進行探究，但愿有益于各位.